18版高中数学第三章指数函数和对数函数3.1正整数指数函数学案北师大版必修1.doc

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3.1　正整数指数函数

1.了解正整数指数函数模型的实际背景．

2.了解正整数指数函数的概念．（重点）

3.理解具体的指数函数的图像特征．（重点）

4.会用正整数指数函数解决某些实际问题．（难点）

[基础·初探]

教材整理　正整数指数函数的概念

阅读教材P61～P63有关内容，完成下列问题．

1.一般地，函数y＝ax（a>0，a≠1，x∈N＋）叫作正整数指数函数，其中x是自变量，定义域是正整数集N＋.

2.正整数指数函数的图像特点

前面我们学习过的一次函数与二次函数，它们的图像是连续不间断的，而正整数指数函数的图像是在第一象限内的一群孤立的点．

3.当01时，y＝ax（x∈N＋）是增函数．

4.指数型函数

把形如y＝kax（k∈R，a>0，且a≠1）的函数称为指数型函数．

判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）正整数指数函数的定义域为N.（　　）

（2）正整数指数函数的图像是间断的．（　　）

（3）函数y＝2·3x，x∈N＋是正整数指数函数．（　　）

【答案】　

（1）×　

（2）√　（3）×

[小组合作型]

正整数指数函数的定义

（1）下列函数中是正整数指数函数的是（　　）

A．y＝10x＋1，（x∈N＋）　　 B．y＝（－2）x，（x∈N＋）

C．y＝5·2x，（x∈N＋） D．y＝x，（x∈N＋）

（2）函数y＝（a2－3a＋3）ax是正整数指数函数，则a＝________.

【精彩点拨】　明确正整数指数函数的结构形式是求解本例的关键．

【尝试解答】　　

（1）A中y＝10x＋1的指数为x＋1，而不是x，故不是正整数指数函数；

B中y＝（－2）x的底数－2<0，故不是正整数指数函数；

C中y＝5·2x的系数为5，不是1，故不是正整数指数函数；

D中y＝x符合正整数指数函数的定义．

（2）由正整数指数函数定义知解得∴a＝2.

【答案】　

（1）D　

（2）2　

1.正整数指数函数解析式的基本特征：

ax前面的系数必须是1，自变量x∈N＋，且x在指数的位置上，底数a是大于零且不等于1的常数．

2.要注意正整数指数函数y＝ax（a>0，a≠1，x∈N＋）与幂函数y＝xa的区别．

[再练一题]

1.正整数指数函数f（x）过点，则f（x）＝______.

【导学号：

04100039】

【解析】　设f（x）＝ax（a>0，a≠1），∴a2＝，

∴a＝，

∴f（x）＝x，x∈N＋.

【答案】　x，x∈N＋

正整数指数函数的图像与性质

（1）画出函数y＝x（x∈N＋）的图像，并说明函数的单调性；

（2）画出函数y＝3x（x∈N＋）的图像，并说明函数的单调性．

【精彩点拨】　使用描点法画图像，但因为函数的定义域是N＋，所以图像应是一些孤立的点，画图像时就没有“连线”步骤了．

【尝试解答】　　

（1）函数y＝x（x∈N＋）的图像如图①所示，从图像可知，函数y＝x（x∈N＋）是单调递减的．

（2）函数y＝3x（x∈N＋）的图像如图②所示，从图像可知，函数y＝3x（x∈N＋）是单调递增的．

①　　　　　　　　　　②

1.正整数指数函数是函数的一个特例，它的定义域是由一些正整数组成的集合，它的图像是由一些孤立的点组成的．

2.当01时，y＝ax（x∈N＋）是增函数．

[再练一题]

2.若函数y＝x的定义域为{1,2,3,4,5}，则函数的值域为________．

【解析】　当x＝1时，f（x）＝，

当x＝2时，f

（2）＝2＝，

当x＝3时，f（3）＝3＝，

当x＝4时，f（4）＝4＝，

当x＝5时，f（5）＝5＝.

所以函数f（x）的值域为.

【答案】　

[探究共研型]

正整数指数函数的应用

探究1　某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，一直分裂下去，你能用列表法表示1个细胞分裂次数分别为1,2,3,4,5时，得到的细胞个数吗？

用图像表示呢？

【提示】　

分裂次数（n）

1

2

3

4

5

细胞个数（y）

2

4

8

16

32

探究2　请你写出探究1中得到的细胞个数y与分裂次数n之间的函数关系式．

【提示】　细胞个数y与分裂次数n之间的关系式为y＝2n，n∈N＋.

　雾霾对人的身体健康的危害日益严重，患呼吸道疾病的人数明显增多，据不完全统计，某地从2009年到2013年间平均每年上升2%.若按这个增长率进行研究，设从2008年开始经过x（x∈N＋）年，患呼吸道疾病的人数为y人，若2013年患病人数为11万人：

（参考数据1.023≈1.06,1.025≈1.1）

（1）试计算出2008年患呼吸道疾病的人数；

（2）写出x，y之间的关系式，并计算2016年患呼吸道疾病的人数．

【精彩点拨】　利用正整数指数型函数模型，列出关系式，计算．

【尝试解答】　　

（1）设2008年患病人数为a万人，则a（1＋2%）5≈11，即a×1.025≈11.

∵1.025≈1.1，∴a≈10（万人），∴2008年患呼吸道疾病的人数约10万人．

（2）2009年患病的人数为10（1＋20%），

2010年患病的人数为10（1＋20%）＋10（1＋2%）×2%＝10（1＋2%）2，

2011年患病的人数为10（1＋20%）2＋10（1＋2%）2×2%＝10（1＋2%）3.

…

x年后患病的人数为10（1＋20%）x.

故y＝10（1＋2%）x＝10×1.02x（x∈N＋），

在2016年，x＝8，故患病人数y≈10×1.028＝10×1.025×1.023≈10×1.1×1.06＝11.66（万人）．

∴2016年患呼吸道疾病的人数约11.66万人．

1.由特殊到一般的归纳方法是探究增长型函数问题常用的手段．

2.在实际问题中，对于平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值或总产量y，可以用公式y＝N（1＋p）x表示．

[再练一题]

3.日本福岛核电站爆炸中释放的碘­131不断衰变，每经过8天（周期）剩留的这种物质是原来的50%，写出这种物质的剩留量y随时间x（周期）变化的函数解析式．

【解】　设这种物质最初的质量是1，经过x个周期，剩留量是y.

经过1个周期，剩留量y＝1×50%＝0.51；

经过2个周期，剩留量y＝（1×50%）×50%＝0.52；

…

经过x个周期，剩留量y＝0.5x（x∈N＋）.

1.给出下列函数：

①y＝πx；②y＝4－x；③y＝x3；④y＝（1－）x.当x∈N＋时，是正整数指数函数的个数为（　　）

A．1　　　　　　　　　　　 B．2

C．3 D．4

【解析】　由正整数指数函数的定义，知①y＝πx，

②y＝4－x＝x是正整数指数函数．

【答案】　B

2.函数y＝x，x∈N＋是（　　）

A．增函数　　　　　　　　　 B．减函数

C．奇函数 D．偶函数

【解析】　正整数指数函数，不具备奇偶性，故C、D错误，因为函数y＝x，x∈N＋的底数0<<1，故此函数是减函数．

【答案】　B

3.指数型函数y＝2x，x∈{1,2,3,4,5}的值域为________．

【解析】　当x＝1,2,3,4,5时，y＝2,4,8,16,32，

故y＝2x，x∈{1,2,3,4,5}的值域为{2,4,8,16,32}．

【答案】　{2,4,8,16,32}

4.某药品经过两次降价，每瓶的零售价由100元降为81元，已知两次降价的百分率相同，设为x，则求两次降价的百分率列出的方程为________．

【导学号：

04100040】

【解析】　由题意，两次降价后的药品价格满足100（1－x）2＝81.

【答案】　100（1－x）2＝81

5.由于某款手机的制作成本不断降低，若五年内每年手机价格降低原来的，设现在的手机价格为8100元．

（1）写出手机价格y随年数x的变化的关系式，并写出定义域；

（2）画出其函数图像．

【解】　

（1）y＝8100x＝8100x（1≤x≤5，x∈N＋），

∴y与x的关系式是y＝8100×x.

其定义域为{x|1≤x≤5，x∈N＋}．

（2）作图：

6