定量的分析与评价NBA赛季赛程.docx
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定量的分析与评价NBA赛季赛程
D题赛程安排
你所在的年级有5个班，每班一支球队在同一块场地上进行单循环赛,共要进行10场比赛.如何安排赛程使对各队来说都尽量公平呢.下面是随便安排的一个赛程:
记5支球队为A,B,C,D,E，在下表左半部分的右上三角的10个空格中,随手填上1,2,10,就得到一个赛程,即第1场A对B,第2场B对C,,第10场C对E.为方便起见将这些数字沿对角线对称地填入左下三角.
这个赛程的公平性如何呢,不妨只看看各队每两场比赛中间得到的休整时间是否均等.表的右半部分是各队每两场比赛间相隔的场次数,显然这个赛程对A,E有利,对D则不公平.
A
B
C
D
E
每两场比赛间相隔场次数
A
X
1
9
3
6
1,2,2
B
1
X
2
5
8
0,2,2
C
9
2
X
7
10
4,1,0
D
3
5
7
X
4
0,0,1
E
6
8
10
4
X
1,1,1
从上面的例子出发讨论以下问题:
1）对于5支球队的比赛,给出一个各队每两场比赛中间都至少相隔一场的赛程.
2）当n支球队比赛时,各队每两场比赛中间相隔的场次数的上限是多少.
3）在达到2）的上限的条件下,给出n=8,n=9的赛程,并说明它们的编制过程.
4）除了每两场比赛间相隔场次数这一指标外,你还能给出哪些指标来衡量一个赛程的优劣,并说明3）中给出的赛程达到这些指标的程度.
问题背景
现如今体育赛事频繁举行，而NBA是全世界篮球球迷们最钟爱的赛事之一。
对于NBA这样庞大的赛事，编制一个完整的、对各球队尽可能公平的赛程是一件非常复杂的事情，赛程的安排对球队实力的发挥和战绩有一定的影响。
本题主要是要求用数学建模方法对NBA2008-2009赛季赛程进行定量的分析与评价：
1）为了分析赛程对某一支球队的利弊，你认为有哪些要考虑的因素，根据这些因素将赛程转换为便于进行数学处理的数字格式，并给出评价赛程利弊的数量指标。
2）按照1）的结果计算、分析赛程对姚明加盟的火箭队的利弊，并找出赛程对30支球队最有利和最不利的球队。
3）分析赛程可以发现，每支球队与同区的每一球队赛4场（主客各2场），与不同部的每一球队赛2场（主客各1场），与同部不同区的每一球队有赛4场和赛3场（2主1客或2客1主）两种情况，每支球队的主客场数量相同且同部3个区的球队间保持均衡。
试根据赛程找出与同部不同区球队比赛中，选取赛3场的球队的方法。
这种方法如何实现，对该方法给予评价，也可以给出你认为合适的方法。
目前现状
NBA共有30支球队，他们一个赛季的常规赛共要打1230场比赛，他们的赛地分布在美国各地。
要安排这么多场次的比赛，并非易事。
早在几年前，NBA就声称他们的所有赛程都是由电脑随机抽取的。
其实，并非所有的比赛都由电脑抽取，有些重要比赛都是人为安排的。
NBA的赛程表是由NBA办公室的马特·温尼克牵头安排的，他在安排赛程表时，会考虑很多因素。
首先，比赛场数是确定的：
每支球队与另一赛区的每支球队都会进行2场比赛，1场在主场，1场在客场。
比如说，今年的常规赛，湖人队和凯尔特人队会在波士顿和洛杉矶各打一场比赛。
其次，每支球队会跟同一分区的球队进行4场比赛，2场在主场，2场在客场。
比如说，凯尔特人会和76人队打4场比赛。
最后，虽然是同一赛区，但是不在同一分区的球队，将会进行3场或4场的比赛。
像凯尔特人会同4支球队只打3场常规赛——山猫、公牛、雄鹿以及奇才队。
进行3场比赛的对手每年都是轮换的，这样，几年之内凯尔特人跟每队对阵的场数都是一样的——去年他们同鹰，魔术，步行者和活塞只打了3场比赛，所以，本赛季凯尔特人的比赛分布如下：
15支西部赛区对手x 2，比赛场数30；4支大西洋分区对手x 4，比赛场数16；6支东部赛区对手x 4，比赛场数24；4支东部赛区对手x 3，比赛场数12；总计：
比赛场数82。
当NBA完成赛程表的第一稿后，他们会将赛程表发给各个球队复查。
如果没有一个特别的理由，球队通常不能改变比赛日和开始时间。
主场比赛日各队自己申报
每个赛季，NBA都要打1230场主场的比赛，那么，NBA是如何决定主场比赛时间的呢？
NBA规定，每年的3月份，各球队需要向NBA提交一份清单，列出主场可以进行NBA比赛的50至75个晚上。
像凯尔特人队的情况是这样的，他们的主场球馆波士顿北岸花园球馆，是租赁Bruins家族的，该球场不仅用作凯尔特人的主场，还承办众多的音乐会和其他赛事。
这些赛事有时会在相同时间进行，那就是为什么每年的全明星赛之后，凯尔特人总是要进行连续一周的西海岸客场之旅，因为那时迪斯尼冰上汇演会在北岸花园球馆举行。
凯尔特人和Bruins家族使用球馆的主场协议时间，通常在周一、周三和周五，绝大多数情况下，周二和周四是他们到客场去打比赛的日子。
而周二和周四打客场的习惯，让凯尔特人本赛季吃了大亏，凯尔特人知道，NBA肯定会让他们和湖人在圣诞大战中唱主角，但波士顿人的愿望是想在圣诞节这天在主场打比赛，既为卫冕冠军尊贵地位，又可以有效阻击湖人通过这个亿万球迷瞩目的重要比赛中复仇成功。
他们拿到赛程表时，却发现自己要到洛杉矶去打圣诞大战。
这样的结果，让主帅里弗斯和凯尔特人球员们很不爽。
能怪谁呢？
全因他们周二和周四喜欢到客场去打比赛的习惯，正是这一习惯，导致他们失去了今年圣诞大战的主场比赛权。
NBA在安排湖人和凯尔特人的圣诞大战时，正是考虑了凯尔特人的这一习惯后，才将这场比赛安排在洛杉矶来进行的。
但凯尔特人的这一习惯也在慢慢改变。
本赛季NBA就安排了他们4场周二和周四的主场比赛（他们周二和周四的比赛共14场，其中10个客场）。
今年揭幕战（当地时间10月28日周二）凯尔特人主场对骑士，是自2003年3月18日以来，凯尔特人第一次周二在主场打常规赛。
马刺队也常常受到一段时间不能在主场比赛的困扰。
每年1月底2月初，马刺都会迎来一个被称为“牛仔之旅”的连续8个客场之旅。
因为他们的主场AT&T中心这段时间将举办一年一度的牛仔竞技大赛。
今年他们的“牛仔之旅”，从2月3日客场对勇士开始，一直到2月22日客场对奇才结束。
8个对手除勇士、掘金和奇才外，还有凯尔特人、网队、猛龙、尼克斯和活塞。
火箭也是这样，他们在2008年11月初，迎来了一个连续9天5个客场之旅，是因为丰田中心要举办第九届拉丁格莱美奖颁奖礼。
湖人不能在主场打背靠背
科比所在的洛杉矶湖人队是一支偶像型球队，但是，他们在赛程安排上的讲究也非常多，其中最让人难忘的，是他们不能在自己的主场打背靠背的比赛。
自己的地盘自己却说了不算，让人有些郁闷。
湖人之所以不能在主场打背靠背的比赛，是因为他们的主场体育馆斯台普斯球馆，除主办湖人队的比赛外，还要主办洛杉矶快船队，洛杉矶国王队（曲棍球）以及其他一些赛事的比赛，包括世界花样滑冰锦标赛等。
由于洛杉矶是一个国际大都市，斯台普斯球馆经常被人租赁举办一些产品展销会等活动，这也影响了湖人队的赛程安排。
还有，湖人在主场的比赛，开赛时间多数会比较晚，通常都是深夜10时30分（北京时间上午11时30分），这是因为他们的主场比赛之前，斯台普斯要进行其他的活动。
电视转播改变赛程
几经调整确认后，最终完整版本的NBA赛程表将会面向公众，球迷们开始就他们最喜爱的球队赛程进行所谓的“阴谋论”辩论。
当然，这不代表NBA制定赛程表的工作就完成了，合作的电视台有时会在赛季中调整比赛时间，协议中的排他条款意味着为了能够电视转播，有些比赛的时间不得不做些调整。
比如说，上赛季在凯尔特人得到凯文·加内特之后，一些比赛的时间因为电视台的原因有所变动。
冬季气候以及旅程等问题，也可能引起比赛时间表重新制定。
还有，根据集体薪资协定，球队不可以在进行跨两个时区的飞行旅程当天进行比赛。
该协定还规定了何时可以在假日进行比赛，以及在NBA全明星赛的48个小时之内不得进行比赛。
每场比赛的开始时间，也是NBA规定的。
比如说，在有些城市，非周末晚上的比赛7时开赛，而在其他城市会是7时30分开赛。
特殊日子特殊安排
对于有些特殊的日子的比赛，NBA还是人为地安排了参赛球队。
迎春接福的元旦和球迷们可以装神弄鬼的万圣节，也是由电脑来抽取参赛队。
万圣节是北京时间11月1日，许多年份的这一天，是NBA新赛季揭幕日，但NBA也不会特别安排哪些队、哪些球员进行对决，全是由电脑抽取的。
对于全明星、季后赛、总决赛这些赛事，已经和NBA常规赛事分离，这些比赛的赛程都要人为来安排。
只有圣诞大战，是NBA特意安排的。
因为NBA需要炒作、需要用一些特殊球队、特殊球员之间的恩怨对决，来赚取球迷眼球，达到提升NBA人气之目的。
纵观圣诞大战史，不论是上世纪90年代公牛VS尼克斯（1992年）、公牛VS热（1997年），还是本世纪以来的湖人VS国王（2002年）、湖人VS火箭（2003），无论是前几年的奥尼尔VS科比的圣诞经典大战，还是2008年的湖人和凯尔特人的圣诞大战，赛前、赛后无不口水横飞，赛中铁肘飞舞，NBA人为地制造了种种恩怨和对决。
季后赛赛程将调整
NBA总裁大卫·斯特恩说，将对季后赛的赛程作出适当调整。
他说：
“现在的季后赛让人觉得有些长，下赛季我们将做出一些调整，让赛程紧凑些。
”
他的设想是将每轮的比赛压缩3天，每轮之间也不会有太长的等待时间。
另外一个日程问题是比赛时间的问题，季后赛有些场次的比赛太晚，而影响了门票收入。
斯特恩说也将考虑这个问题，尽量将比赛时间安排的合理一些。
按照斯特恩的亲身体会，西区的比赛对于东部的球迷来说结束得太晚，像有些场次的比赛，结束时已经是凌晨两点。
斯特恩表示，对于这一点他自己没有问题，但对于球迷来说就显得非常不公平。
他表示：
“你所做的所有工作都要集中在这样一个问题，当时谁在观看比赛，最好的评价标准就是收视率。
”
收集获得数据或实验数据
通过对NBA2007-2008比赛的赛绩进行分析
，认为NBA赛程对东西联盟的30支球队的影响是客观存在的，并通过对以往赛程和赛绩的分析确定了主要的客观影响因素包括三个方面，即连续同强队比赛的次数、背靠背的次数及连续客场的次数。
1、连续同强队比赛的次数
连续同强队比赛指的是连续2场或2场以上同强队比赛，考虑到队员们心理、体力等因素的关系，对手强弱对球队的实力发挥和今后的赛事存在客观的影响。
2、背靠背的次数
背靠背指的是连续两天都参加比赛，考虑到了球员们的体质、体力的关系，背靠背的多少必定影响到球队最终的赛绩。
3、连续客场的次数
客场指的是球队在其他球队场地上比赛考虑到天时地利及人和的关系，连续2场或2场以上在客场比赛必定对球队的利弊存在影响。
5.1.2各球队实力的确定
根据2007-2008的赛绩表中的胜率指标，对球队实力按从强到弱依次排列表1，为了使球队的强弱指标便于量化，将排名进行简化（排名前15只球队分为强队，排名后15个球队分为弱队）。
表1各球队的实力排名
球队名称
凯尔特人
活塞
湖人
马刺
黄蜂
火箭
太阳
爵士
排名
1
2
3
4
5
6
7
8
球队名称
魔术
小牛
掘金
勇士
骑士
奇才
开拓者
猛龙
排名
9
10
11
12
13
14
15
16
球队名称
76人
国王
老鹰
步行者
蓝网
公牛
山猫
雄鹿
排名
17
18
19
20
21
22
23
24
球队名称
尼克斯
快船
灰熊
森林狼
超音速
热火
排名
25
26
27
28
29
30
5.1.3球队各影响因素值统计与确定
将附录（2008-2009）赛季赛程表转换为便于数学处理的数字格式，再利用EXCEL将影响因素进行统计得到表2各球队各影响因素值的统计表：
表2各球队各影响因素值的统计表
队
球
素
因
响
影
连续与强队比赛次数
连续客场次数
背靠背
勇士
13
8
7
雄鹿
9
3
5
小牛
12
4
4
网
9
4
4
太阳
11
9
9
山猫
8
5
5
森林狼
12
8
8
热火
6
5
6
骑士
7
5
6
奇才
7
6
6
尼克斯
10
4
5
魔术
8
7
5
猛龙
9
5
4
马刺
12
7
5
老鹰
8
6
6
快船
14
11
9
凯尔特人
6
6
6
开拓者
11
8
8
爵士
11
6
7
掘金
10
6
5
火箭
11
8
7
活塞
10
5
5
灰熊
13
6
6
黄蜂
13
8
7
湖人
13
10
6
国王
16
9
9
公牛
12
5
3
超音速
11
7
7
步行者
11
5
5
76人
10
6
4
为了便于表2中每一列数据做统一的比较，首先用极差规范化方法分别对相应的影响因素值作相应的规范化处理，
1）背靠背的次数规范计算：
（1）
2）连续客场的次数规范计算：
（2）
3）连续同强队比赛的次数规范计算：
（3）
其中
表示第j个球队连续两天内都有比赛的次数，
表示第j个球队连续在客场比赛2场或2场以上的次数，
表示第j个球队连续同2个或2个以上的强队比赛的次数。
再利用
（1）
（2）（3）式计算后（Matlab将矩阵规范化）[2]得规范化后各球队各影响因素值，如表3；
表3各球队各影响因素规范化后值
背靠背的次数规范化后的值
连续客场的次数规范化后的值
连续同强队比赛的次数规范后的值
勇士
0.5000
0.6250
0.7000
雄鹿
0.4000
0
0.3000
小牛
0
0.1250
0.6000
网
0
0.1250
0.3000
太阳
1.0000
0.7500
0.5000
山猫
0
0.2500
0.2000
森林狼
1.0000
0.6250
0.6000
热火
0.5000
0.2500
0
骑士
0.6667
0.2500
0.1000
奇才
0.4000
0.3750
0.1000
尼克斯
0
0.1250
0.4000
魔术
0.4000
0.5000
0.2000
猛龙
0
0.2500
0.3000
马刺
0.3333
0.5000
0.6000
老鹰
0.4000
0.3750
0.2000
快船
1.0000
1.0000
0.8000
凯尔特人
0.6000
0.3750
0
开拓者
1.0000
0.6250
0.5000
爵士
1.0000
0.3750
0.5000
掘金
0.2000
0.3750
0.4000
火箭
0.5000
0.6250
0.5000
活塞
0.4000
0.2500
0.4000
灰熊
0.5000
0.3750
0.7000
黄蜂
1.0000
0.6250
0.7000
湖人
0.4000
0.8750
0.7000
国王
1.0000
0.7500
1.0000
公牛
0
0.2500
0.6000
超音速
0.7500
0.5000
0.5000
步行者
0.3333
0.2500
0.5000
76人
0
0.3750
0.4000
5.1.4计算并确定各影响因素的权重
首先对所确定的主要三个影响因素进行量化处理,从而给出影响因素的量化值,设强度集为{很强,较强,强,稍强,不强},对应的数值为5,4,3,2,1。
根据实际情况取偏大型柯西分布隶属函数
：
（4）
其中
为待定系数，实际上强度为“很强”时，则隶属度为1，即
=1；当强度为“强”时，则隶属度为0.8，即
；当强度为“不强”时，则认为隶属度为0.01，即
；于是可以计算出：
（5）
将其代入（4）可得隶属函数；
（6）
经计算
则强度集{很强,强,较强,稍强,不强}的量化值为（1，0.9126，0.8，0.5245，0.01）。
利用此量化值对影响因素进行赋权处理结果见表4（影响因素的权值表）；
表4影响因素的权值表
影响因素
连续2场及以上强队
连续2场及以上客场
背靠背比赛
赋予值
很强
强
比较强
隶属值
1
0.8
0.9126
归一后权值
0.37
0.29
0.34
5.1.5建立各球队的利弊指标
综合考虑以上影响因素，利用层次分析法可以计算出赛程对球队的利弊指数，于是建立赛程安排对各球队利弊的数量指标————利弊指数，将其记为T；
（7）
其中
为第i个影响因素权重，
为某一个球队第i个影响因素值。
再利用所得的表3数据，建立各球队各影响因素值的矩阵：
其中
为第
个球队第
个影响因素值。
取表4归一后的权向量：
则赛程对每支球队利弊指数
为：
（8）
则
的值越大表示赛程对球队越不利，反之则越有利。
再利用Matlab软件计算，将计算的结果利用Excel进行从小到大排列，结果见表5；
表5赛程对各支球队利弊指标权向量表
利弊指数
球队
名次
利弊指数
球队
名次
0.1465
凯尔特人
1
0.3565
活塞
16
0.1472
网
2
0.3708
步行者
17
0.1835
猛龙
3
0.4803
马刺
18
0.1843
尼克斯
4
0.5015
灰熊
19
0.2425
热火
5
0.5363
火箭
20
0.247
雄鹿
6
0.585
超音速
21
0.2567
76人
7
0.6102
勇士
22
0.2582
小牛
8
0.6338
爵士
23
0.2818
奇才
9
0.6487
湖人
24
0.2945
公牛
10
0.7063
开拓者
25
0.3127
山猫
11
0.7425
太阳
26
0.3188
老鹰
12
0.7432
国王
27
0.3247
掘金
13
0.7803
黄蜂
28
0.3362
骑士
14
0.926
快船
29
0.355
魔术
15
0.9275
森林狼
30
现行处理方式
综合分析2008～2009年的赛程安排，得出以下结论：
1）实力差距有悬殊的、有接近的，判断知NBA赛程安排是由电脑随机抽签产生，这种随机产生比赛赛程的方法，随机性太大。
2）同部每支球队与另外两个区的4队之间进行3场比赛，而且每个区正好各2队（为了保持比赛的平衡性）
3）通过对赛程安排的统计，知比赛中实力相差很大的球队间，根本没有可打性，在同一水平线上的球队才有可赛性，所以赛程安排中实力相差比较大的球队间安排的赛程相对少才比较公平，赛3场的球队间的实力差值越大，越具有公平合理性。
个人希望达到的目标要求
五模型的建立与求解
5.1问题
（1）
5.1.1主要影响因素的确定
对于问题
（1），需要分析赛程安排对某一球队的利弊的影响因素，我们综合考虑了上个赛季的球队赛绩和本赛季的赛程情况，只考虑不利因素，这样便于对问题的分析和数据的处理。
我们考虑到以下几个因素对球赛会造成影响：
球员的劳累程度，劳累主要是由球队连续作战（即背靠背作战）和主客场之间的旅途造成的劳累两方面引起，这对球队实力发挥水平有重要影响。
球队之间的实力差距，我们只考虑连续比赛情况，若某一球队连续和比该球队实力强的球队比赛，将会影响到球队状态。
我们再把问题细化，分类分析讨论，最后确定赛程对某一球队的不利影响因素有4个：
（1）球队连续与强队比赛，我们把它称为S1影响因素。
客场是指球队在其他球队的场地进行比赛，这样就要考虑到旅途使队员的休息受到一些影响，同时连续比赛也会使体力下降，影响到球队的水平发挥。
（2）连续异地对阵实力一般的球队或连续主场对阵强队，在异地比赛中，需要考虑到旅途对球队的休息有影响，同时我们还需要考虑连续作战对球队的实力发挥有影响，我们把它们的影响归为一类称为S2影响因素。
（3）主场连续对阵水平相当的球队，在主场虽然有主场优势，但是连续作战时体力尚未恢复，对第二场比赛不利，我们把它称为S3影响因素。
（1）与强队之间的非连续进行地比赛,与强队比赛后，不论中间休息多少天，对球队都有不利影响，我们把它称为S4影响因素。
5.1.2球队实力排名的确定
依据2007—2008年赛季的各球队在比赛中胜利的场数，我们对NBA30个球队根据胜的场数进行实力排名，各球队排名结果如表1所示。
我们规定30支球队中的前6名为强队。
本文讨论的是赛程中连续比赛对球队的影响。
表12007—2008年赛季球队实力排名
球队
胜
负
胜率
排名
球队
胜
负
胜率
排名
凯尔特人
66
16
80.500%
1
开拓者
41
41
50.000%
16
活塞
59
23
72.000%
2
76人
40
42
48.800%
17
湖人
57
25
69.500%
3
国王
38
44
46.300%
18
马刺
56
26
68.300%
4
老鹰
37
45
45.100%
19
黄蜂
56
26
68.300%
5
步行者
36
46
43.900%
20
太阳
55
27
67.100%
6
篮网
34
48
41.500%
21
火箭
55
27
67.100%
7
公牛
33
49
40.200%
22
爵士
54
28
65.900%
8
山猫
32
50
39.000%
23
魔术
52
30
63.400%
9
雄鹿
26
56
31.700%
24
小牛
51
31
62.200%
10
尼克斯
23
59
28.000%
25
掘金
50
32
61.000%
11
快船
23
59
28.000%
26
勇士
48
34
58.500%
12
森林狼
22
60
26.800%
27
骑士
45
37
54.900%
13
灰熊
22
60
26.800%
28
奇才
43
39
52.400%
14
超音速
20
62
24.400%
29
猛龙
41
41
50.000%
15
热火
15
67
18.300%
30
5.1.3将赛程转换为便于数据处理的格式
为了便于对NBA2008—2009年赛季的赛程进行分析，我们得做些数据处理。
首先将30个球队逐个编号，并利用MATL
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