区间分析在中的应用非线性系统模型参数估计图文精.docx

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区间分析在中的应用非线性系统模型参数估计图文精

第29卷第4期增刊2008年4月

仪器仪表学报

ChineseJournalofScientificlnstrument

V01.29No.4Apr.2008

区间分析在非线性系统模型参数估计中的应用

杨卫锋曾芳玲

（解放军电子工程学院合肥230037

摘要在未知但有界（UB曲误差假设下,把非线性系统模型参数估计看成是一个集合逆变换问题,利用基于区间分析的SIVIA算法可以得到参数成员集的近似但可靠的集估计,进一步计算便可得到待估参数的点估计.通过对谷氨酸菌体生长模型参数估计进行仿真,验证了该方法的有效性:

通过与其他算法相比较,结果显示该方法还具有较强的鲁棒性和一定的适用性.

关键词区间分析非线性系统参数估计未知但有界（UBB有界误差估计

ApplicationofIntervalAnalysisforParameterEstimationof

NonlinearSystem

Model

YangWeifengZengFangling

（ElectronicEngineeringInstituteP翻Hefei230037China

AbstractTheproblemoftheparameterestimationofnonlinearsy’stemmodeIiSviewed鹌oneofsetinversionintheunknown・-but・-bounded（UBBcontext,andtheapproximatesetofthemembershipsetcanbeobtainedbyusingtheSIVIA（SetInverterViaIntervalAnalysisalgorithmwhichisbased01"1intervalanalysis.Afterfurthercomputation,thepointestimationoftheparameterstobeestimatedcanalsobeobtained.TheeffectivenessoftheSIVIAalgorithmistestedbyparameterestimationofglutamicacidbacteriumgrowthmodel.Italsoshowsthattheapproachisofastrongerrobustnessandadeterminateapplicabilitybycomparingwiththeothermethods.Keywordsintervalanalysisnonlinearsystemparameterestimationunknown・・but--bounded（UBBbounded.errorestimation

1引言

在系统模型的参数估计中,经典的基于统计特性的参数估计方法都是假设系统中的不确定性（或误差服从一定的概率模型,然后根据不同的假设条件,相应的采用最大后验概率估计、最大似然估计、最小二乘估计等方法对参数进行估计.当系统误差的统计特性已知时,这种成熟的参数估计方法无疑是最好的选择,但实际上,由于观测误差、模型结构误差以及随机噪声等各种不确定因素的存在,使得这种假设一般很难得以满足,另外,基于统计特性的参数估计方法还会受到其他因素困扰111,特别是当模型输出相对于参数是非线性时【21,这就使得这种经典的参数估计方法也还存在着一定的不足。

系统模型中,误差的界限通常比其统计特性更容易获得,且在某些情况下对数据的表示也更加合理.因此,基于未知但有界（unknown-but-bounded,UBB误差假设的有界误差估计或称为集员辨识【3'4】的方法则可以在某种程度上较好的弥补统计方法的不足.在UBB误差情况下,对非线性系统模型进行参数估计可以看成是一个集合逆变换（set

第4期增刊杨卫锋等:

区间分析在非线性系统模型参数估计中的应用

inversion问题,借助基于区间分析（IntervalAnalysis,IA16,9]的SIVIA（SetInverterViaIntervalAnalysis算法12,6-101,我们就可以得到待估参数的近似但可靠的估计集,经过进一步计算,即可得到待估参数的点估计。

当既可以得到误差的概率统计特性,又知道误差界限,我们可以把参数估计的统计估计方法和有界误差估计方法结合起来,各取所长,以得到更理想的参数估计结果。

2有界误差估计

在UBB误差背景下,设实际观测数据J,（f∈R‘,系统模型的未知参数向量P∈R”,模型的理论输出%（Bf∈R‘,输出误差为e（p,,=Y（t--Ym（P,f,若设曼（,和虿（f分别为已知的可接受输出误差的下界和上界,则当且仅当P（p,f∈E={P（rI兰O≤e（t≤虿O>时,我们称P是可行的.设所有可行值P的集合即成员集为S,用下式表示

S=伽∈R“Iy（‘一Ym（P,‘,,、∈【旦（‘,虿（‘】,f=1,2,…,七

著著

=n{,∈gnk（弘‘∈陟以】}-n瓯（2i=li=l

式中:

眇（ff】=【y（,f一万（t,y（t一旦（,j】,y（‘为‘时刻的观测值,ym（p,‘为‘时刻的输出.由（2式可以看出,随着样本容量的增多,S的包含范围将逐步缩小,当样本容量足够多时,S将收敛到系统模型的真实参数.

表示S的方法很多,但多数的算法都是针对于线性参数系统的情况,即虼（弘f是P的线性函数,这时S通常对应于一个比较简单的凸集,如超平行体、椭球体等,我们可以比较准确地表示它,但当ym（p,,是P的非线性函数时,S可能是非凸集,并且有可能是由若干个不连通的部分所构成的一个集合,此时,我们想要可靠地表示S,情况就要复杂的多.但不管J,,（p,,是,的线性函数与否,区间分析都可以为估计S的一个近似但可靠的集合提供有力的工具支持12声1∞.

61

在集合意义上,假设此（p,f的反函数为虼叫（,,f,则S也可用下式表示:

S=儿_1（y（f一E=J■卅（y（3其中Y=J,（f一曰为模型输出的先验可行集,（3显然是一个集合逆变换问题.在UBB误差情况下,把非线性系统模型参数估计看成是一个集合逆变换问题,利用基于区间分析的SIVIA算法,就可以得到待估参数的近似但可靠的估计集了。

3集合逆变换的区间分析方法

使用区间分析进行非线性参数估计有两种方法:

一是使用基于区间分析的区间全局优化算法【9l优化某一目标函数来寻找最优参数:

二是在UBB误差情况下,寻找所有与误差相容的不确定参数集12,6-m1.本文利用L.Jaulin和E.Walter等人提出的SIVIA算法进行非线性系统模型参数估计（使用区间分析进行线性系统模型参数估计详见文献[11].

对于（3式所示的集合逆变换问题。

利用SIVIA算法总可以得到两个正规的子块石面路集（regularsubpavingtgl墨,S使得:

S—cScS（4i霞SIVIA算法的先验搜索域【鳓13S（为了保证【风】∈肛”肯定包含S,【风】可能非常大,模型输出的先验可行集l厂,用户预设的容差参数靠（当所考查的区间向量的宽度比晶小时,搜索结束,这样就可以防止算法无休止的搜索下去,SIVIA算法不同于传统的随机搜索方法,它采用二分法,递归地全面而系统地搜索【风】,在搜索的过程中,进行以下测试判断:

・如果眇】。

（【纠,fcY,那么肯定有【P】cS,这时【p】是可行的,把【p】存放到墨和S中:

・如果眇】。

（【纠,tNY=a,那么肯定有【p]ns=o,这时【p】是不可行的,则把【纠删除:

・此外,【P】是不确定的,即它可能是可行的也可能是不可行的,此时,若它的宽度w（【p】比%

第29卷仪器仪表学报

大,那么对其二分,并对所产生的新区问向量重新进行测试判断,若w（【p】比岛小,那么就认为【p】满足要求,并把它存放到S中.

由此,则基于区间分析的SIVIA算法可概括如下（初始化S#a,S:

=g:

SIVIA（in:

Ym,Y,[p】,Co;inout:

签,S

lif【J,】。

（[p】nl,=greturn;

2if【y】。

（咖】cy,then{蓬≥sU【,】;

S:

=SU[p】;return;};

3if以咖】<岛then{S:

=SU[p】;return;};4SIVIA（in:

%,Y,L【纠,So,s,S;

SIVIA（in:

虼,Y,R[p】,60,s,S.

其中:

L[p】=【Pl,磊】×…×【pi,（pi+歹;/2】

X…×【P。

瓦】,

RIp】=【Pl,死】×…×【（pj+死/2,歹j】

×…×【P。

A】.

有限次递推后,就可以得到ScScS,这就意味着未知集合S被包含在两个已知集合S和j之中了,所以,只要我们求得S和露,也就可以近似得到S了.

属于S但不属于S的所有区间向量所组成的子块石面路集称为不确定层,用心口j\S表示.丛的宽度越窄,S逼近真实成员集的效果越好,反之就差.

值得指出的是,利用SIVIA算法对非线性系统模型进行参数估计时,都是假设参数与误差是相容的,由于过于乐观地估计误差的界限或因为传感器在给定时间点故障以致假设不相容时,由（2式可以看出,利用SIVIA所得到的结果可能是个空集.这种情况下,为了得到问题的解集,可利用稳健非线性估计方法【ado]对其进行估计.由于用于估计的信息减少了,所以,对相同问题的估计结果,所得估计集的体积较前要稍大一点.当参数空间的维数比较高时,可将收缩算子（contractor191应用于SIVIA算法以减少计算的时间复杂度和空间复杂度,提高算法的速度和效率.

624仿真试验

本文以谷氨酸菌体生长模型参数估计为例,验证SIVIA算法的有效性.

菌体种子接入发酵罐后,就在罐内按自然规律生长繁殖,在整个发酵期间,若无杂菌和噬菌体的侵袭,罐内外没有大规模菌体迁移,菌体在发酵罐内的自然生长繁殖过程可以用Verhulst方程来描述【12.15l:

dYm（t/dt=%（f（1一ym（t/k,%（O=%o.在工业生产的实际过程中,鉴于接入发酵罐中的菌体有一个适应环境的过程,菌体的增殖有一段时间的滞后‘,为此,将上式改写成:

lYm（t=Ymo,0≤f≤『l

【dyAt/dt=砜◇（1一虼（f/尼

对上述的微分方程进行求解可得:

虼（r=k/（1+exp（a-rxt,%o=k/（1+e8（5式（5即可作为菌体在发酵罐内的生长模型.

4.1仿真条件

非线性系统模型虼（f=k/（1+exp（a-rxf,其中k、a、r分别为待估计的模型参数,ym（t为模型输出,观测值,（f如表1所利协151.

设实际观测数据与模型输出之间的误差P（f:

』如.Ym（t∈[-o.1,n1】,脚,...’7,待~ly（f一%（f∈【--0.05,0.05】,t=8,…,21~。

估参数k、a、r的先验可行集为:

【P。

】=【o,6]x[O,6】×【O,5】,

用户预设精度:

‰=0.01.

表1实际观测数据

y（tty（tty（tO’32

O|35

O.36

0.4

O.58

0.64

0.74

9O.78

10082

1lO.85

120.86

130.87

140.87

150.89

1609

17O,9

180,9

190.9

200.9

210.9

4.2仿真结果

利用SIVIA算法在3.1节仿真条件下进行仿真,可得【蓬】c【S】c【S】（其中【墨】,【S】,【S】分别表

第4期增刊杨卫锋等:

区间分析在非线性系统模型参数估计中的应用

示S,S,S的区间壳（intervalhull19J,其中:

『跚=【0.317149763903071,0.44951915020967刀×f1.50961521625074,2.00924161852012]×『O.859614208190967,0.950111244205584]陋1=『0.28334198857887,0.4700728652567961

xfl.32629442032995,2.061279153035351×f0.853436360543557,0.959414236903773]

表2参数估计结果（1

表2参数估计结果（2

理论上我们应取晦】的中心即S的切比雪夫中心（UBB误差情况下经典的点估计做为待估参数的估计值.由于我们无法得到精确的【S】,又由于不确定层丛中的数据可能是可行的也可能是不可行的,所以,本例为讨论简便和保险起见,不妨保守一点,选S做为参数集S的近似估计,取【S】的中心做为待估参数的估计值,并将所得结果与微粒群优化（PSO算法【12】、人工神经网络（ANNlbl、标准遗传算法（SGA【14】及改进遗传算法（IGA‘”J所得结果进行比较,如表2所示.

4.3仿真结果分析

将表2中估计值分别作为模型参数,以表1中的实际观测数据作为检验样本,进行模型拟合度的比较.采用和文献112J相同的分析方法,使用剩余标准差（RSM作为评价指标,如式（6所示.

RSM:

y

J,一

I--l

（6其中:

只为实际观测值,允为模型拟合值,刀为用于模型参数估计的样本个数.实际观测值与模型拟合63值的比较如表3所示（为简便,这里仅给出本文方法所得的拟合值,其他方法所得拟合值详见文献[12].利用式（6,得本文方法所得的模型剩余标准差为RSWIA-0.08554,其他几种方法所得的模型剩余标准差分别为【121:

RSWpso---O.08672,RSWAhaq=0.08828,

RSWSGA=0.08721.RSWIGA=0.090387.

由此可以看出,本例中,基于区间分析的参数估计精度略高于其他几种方法.

表3实际观测数据与模型拟合值的比较

yiyjyiyIytyi

0.320.24460.78

0.350.31870.82

0.360.40150.85

0.40.48790.86

0.580.57180.87

0.640.64770.87

0.740.71220.89

0.76400.90.8936

0.80380.90.8972

0.83350.90.8996

0.85490.90.9013

O.87020.90.9024

O.88lOO.90.9032

0.8884

5结论

由第4部分的仿真试验结果以及评价指标之间的比较,我们可以得出以下结论:

基于区间分析的非线性系统模型参数估计的结果不再只是待估参数的一个点估计,而是肯定包含待估参数真值的一个集估计:

计算出所得估计集的切比雪夫中心,即可得待估参数的点估计.基于区间分析的非线性参数估计的这种特性,为我们可以更准确地估计和评价所得结果提供了一定的依据.由于该方法可以把系统模型中所有因素引起的不确定性看作是一个有界误差来进行处理,只需知道有界误差的上界和下界,而不必知道系统模型参数的概率统计,因此,该方法具有较强的鲁棒性和一定的适用性.

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区间分析在非线性系统模型参数估计中的应用作者：

作者单位：

杨卫锋，曾芳玲解放军电子工程学院合肥230037相似文献（10条1.期刊论文王凌.李令莱.郑大钟非线性系统参数估计的一类有效搜索策略-自动化学报2003,29（6结合模拟退火的随机概率突跳性搜索和单纯形法的凸多面体几何搜索,提出了非线性系统参数估计的一类有效搜索策略.通过对多种非线性定常系统的多维参数估计和非线性时变水箱系统的参数与时滞在线联合估计的仿真研究,验证了该方法的可行性、有效性及其一定的抗噪声能力.2.期刊论文董亚丽.王彦刚一类非线性系统的自适应反步控制-系统科学与数学2009,29（8研究一类带有未知常数参量的非线性系统的镇定及自适应控制器设计问题,提出了一类非线性系统参数估计器设计及自适应反步控制器设计的新方法.构造出Lyapunov函数,并给出闭环系统全局渐近稳定的新的充分条件.例子表明了所获方法的有效性.3.期刊论文贺利.黄正良.HeLi.HuangZhengliang采用多项式逼近非线性系统的指定精度参数估计法-西南科技大学学报2002,17（4提出了一种采用多项式逼近非线性系统的指定精度参数估计法.此方法避免了传统方法对多项式阶数的经验估计,可以根据实际需要的精度确定多项式的阶数,同时获得多项式的参数估计.仿真结果说明了该方法的有效性.4.学位论文周淑秋一类非线性系统的建模预报方法及其在航母运动极短期预报中的应用1996在实际中存在着大量的非线性系统,因此研究非线性系统的建模预报方法有很重要的意义.该论文研究带外输的非线性多项式自回归滑动平均（PNARMAX模型的建模预报方法及其在航母运动极短期预报中的应用.5.期刊论文侯忠生.于百胜.黄文虎.HOUZhong-sheng.YUBai-sheng.HUANGWen-hu非线性系统参数估计的投影算法-哈尔滨工业大学学报2000,32（3研究了非线性系统的时变参数估计问题，给出了基于新的估计准则的非线性系统投影算法——梯度投影算法的改进形式，证明了算法的收敛性，并讨论了算法的优缺点.最后给出一个仿真算例，验证了所给算法的有效性6.学位论文于丽多新息随机梯度型辨识方法2008常规辨识方法，如最小二乘、卡尔曼滤波和最小均方算法都是采用单新息修正技术的辨识方法.多新息辨识方法拓宽了新息辨识的概念，它是单新息辨识算法的推广，它具有良好的收敛性能和克服坏数据的能力，具有较强的鲁棒性，所以对它的研究既具有重要的理论意义，又具有潜在的应用价值.论文基于国家自然科学基金项目《一类非线性系统辨识建模理论与方法的研究》，拟定了多新息随机梯度型辨识方法研究课题，选题属于应用基础研究，具有理论意义和实用价值。

作者在查阅了相关文献的基础上，对有色噪声干扰系统和输入非线性系统的多新息辨识问题进行了研究，并对提出的部分参数辨识方法收敛性进行了分析，取得了下列研究成果。

线性模型的多新息随机梯度型辨识方法：

1.带（噪声或有色噪声干扰的线性模型最小二乘类辨识算法、随机梯度型辨识算法的研究相当成熟.但最小二乘辨识算法计算量大，随机梯度辨识算法的收敛速度较慢.为了提高随机梯度型辨识算法的收敛速率，论文首先针对线性受控AR模型（CAR模型，提出了CAR模型的多新息随机梯度辨识算法，推导了有色噪声干扰受控ARMA线性模型（CARMA模型的多新息增广随机梯度算法，运用随机过程理论和鞅理论详细的分析CARMA模型的多新息增广随机梯度算法的收敛性，并用仿真例子说明提出的多新息随机梯度算法比经典的随机梯度算法有更快的收敛速度.2.进一步将多新息辨识方法推广到更为复杂线性模型的辨识，如动态调节模