中学数学第二节 等差数列.docx

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中学数学第二节等差数列

第二节　等差数列

【最新考纲】　1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．

1．等差数列的有关概念

（1）定义：

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．用符号表示为ɑn＋1－ɑn＝d（n∈N*，d为常数）．

（2）等差中项：

数列ɑ，A，b成等差数列的充要条件是A＝

，其中A叫做ɑ，b的等差中项．

2．等差数列的有关公式

（1）通项公式：

ɑn＝ɑ1＋（n－1）d，ɑn＝ɑm＋（n－m）d．

（2）前n项和公式：

Sn＝nɑ1＋

＝

．

3．等差数列的性质

已知数列{ɑn}是等差数列，Sn是其前n项和．

（1）若m、n、p、q、k是正整数，且m＋n＝p＋q＝2k，则ɑm＋ɑn＝ɑp＋ɑq＝2ɑk．

（2）ɑm，ɑm＋k，ɑm＋2k，ɑm＋3k，…仍是等差数列，公差为kd．

（3）数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，也是等差数列．

（4）若数列{ɑn}的前n项和为Sn，则S2n－1＝（2n－1）ɑn，S2n＝n（ɑ1＋ɑ2n）＝n（ɑn＋ɑn＋1）．

（5）等差数列的通项公式形如ɑn＝ɑn＋b（ɑ，b为常数），前n项和公式形如Sn＝An2＋Bn（A，B为常数），结合函数性质研究等差数列常常可以事半功倍．

1．（质疑夯基）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．（　　）

（2）数列{ɑn}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2ɑn＋1＝ɑn＋ɑn＋2.（　　）

（3）等差数列{ɑn}的单调性是由公差d决定的．（　　）

（4）数列{ɑn}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．（　　）

答案：

（1）×　

（2）√　（3）√　（4）×

2．（2017·郑州一检）等差数列{ɑn}的前n项和为Sn，且S3＝6，ɑ3＝0，则公差d等于（　　）

A．－1B．1C．2D．－2

解析：

依题意得S3＝3ɑ2＝6，即ɑ2＝2，故d＝ɑ3－ɑ2＝－2，选D.

答案：

D

3．在等差数列{ɑn}中，ɑ1＝2，ɑ3＋ɑ5＝10，则ɑ7＝（　　）

A．5B．8C．10D．14

解析：

法一　设等差数列的公差为d，则ɑ3＋ɑ5＝2ɑ1＋6d＝4＋6d＝10，所以d＝1，ɑ7＝ɑ1＋6d＝2＋6＝8.

法二　由等差数列的性质可得ɑ1＋ɑ7＝ɑ3＋ɑ5＝10，又ɑ1＝2，所以ɑ7＝8.

答案：

B

4．（2015·课标全国Ⅱ卷）设Sn是等差数列{ɑn}的前n项和，若ɑ1＋ɑ3＋ɑ5＝3，则S5＝（　　）

A．5B．7C．9D．11

解析：

法一　∵ɑ1＋ɑ5＝2ɑ3，∴ɑ1＋ɑ3＋ɑ5＝3ɑ3＝3，∴ɑ3＝1，

∴S5＝

＝5ɑ3＝5，故选A.

法二　∵ɑ1＋ɑ3＋ɑ5＝ɑ1＋（ɑ1＋2d）＋（ɑ1＋4d）＝3ɑ1＋6d＝3，

∴ɑ1＋2d＝1，

∴S5＝5ɑ1＋

d＝5（ɑ1＋2d）＝5，故选A.

答案：

A

5．（2015·陕西卷）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________．

解析：

设数列首项为ɑ1，则

＝1010，故ɑ1＝5.

答案：

5

一个推导

利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式．

两个技巧

1．若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，ɑ－2d，ɑ－d，ɑ，ɑ＋d，ɑ＋2d，….

2．若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，ɑ－3d，ɑ－d，ɑ＋d，ɑ＋3d，….

两种思想

1．等差数列的通项公式，前n项和公式涉及“五个量”，“知三求二”，需运用方程思想求解，特别是求ɑ1和d.

2．等差数列{ɑn}中，ɑn＝ɑn＋b（ɑ，b为常数），Sn＝An2＋Bn（A，B为常数），均是关于“n”的函数，充分运用函数思想，借助函数的图象、性质简化解题过程．

四种方法

等差数列的四种判断方法

1．定义法：

ɑn＋1－ɑn＝d（d是常数）⇔{ɑn}是等差数列．

2．等差中项法：

2ɑn＋1＝ɑn＋ɑn＋2（n∈N*）⇔{ɑn}是等差数列．

3．通项公式：

ɑn＝pn＋q（p，q为常数）⇔{ɑn}是等差数列．

4．前n项和公式：

Sn＝An2＋Bn（A、B为常数）⇔{ɑn}是等差数列．

一、选择题

1．（2017·豫东、豫北十所名校联考（五））已知等差数列{ɑn}中，ɑ5＝13，S5＝35，则公差d＝（　　）

A．－2　　　　B．－1　　　　C．1　　　　D．3

解析：

依题意，得

解得

答案：

D

2．（2015·重庆卷）在等差数列{ɑn}中，若ɑ2＝4，ɑ4＝2，则ɑ6＝（　　）

A．－1B．0C．1D．6

解析：

∵{ɑn}为等差数列，∴2ɑ4＝ɑ2＋ɑ6，∴ɑ6＝2ɑ4－ɑ2，即ɑ6＝2×2－4＝0.

答案：

B

3．（2016·陕西八校联考）在等差数列{ɑn}中，ɑ1＝0，公差d≠0，若ɑm＝ɑ1＋ɑ2＋…＋ɑ9，则m的值为（　　）

A．37B．36C．20D．19

解析：

ɑm＝ɑ1＋ɑ2＋…＋ɑ9＝9ɑ1＋

d＝36d＝ɑ37，∴m＝37.故选A.

答案：

A

4．（2016·深圳调研）等差数列{ɑn}中，已知ɑ5＞0，ɑ4＋ɑ7＜0，则{ɑn}的前n项和Sn的最大值为（　　）

A．S7B．S6C．S5D．S4

解析：

∵

∴

∴Sn的最大值为S5.

答案：

C

5．（2017·河南三市二调）设Sn为等差数列{ɑn}的前n项和，若ɑ1＝1，ɑ3＝5，Sk＋2－Sk＝36，则k的值为（　　）

A．8B．7C．6D．5

解析：

设等差数列的公差为d，由等差数列的性质可得2d＝ɑ3－ɑ1＝4，得d＝2，所以ɑn＝1＋2（n－1）＝2n－1，Sk＋2－Sk＝ɑk＋2＋ɑk＋1＝2（k＋2）－1＋2（k＋1）－1＝4k＋4＝36，解得k＝8.

答案：

A

二、填空题

6．（2015·广东卷）在等差数列{ɑn}中，若ɑ3＋ɑ4＋ɑ5＋ɑ6＋ɑ7＝25，则ɑ2＋ɑ8＝________．

解析：

因为等差数列{ɑn}中，ɑ3＋ɑ4＋ɑ5＋ɑ6＋ɑ7＝25，所以5ɑ5＝25，即ɑ5＝5.所以ɑ2＋ɑ8＝2ɑ5＝10.

答案：

10

7．若等差数列{ɑn}满足ɑ7＋ɑ8＋ɑ9＞0，ɑ7＋ɑ10＜0，则当n＝________时，{ɑn}的前n项和最大．

解析：

由等差数列的性质可得ɑ7＋ɑ8＋ɑ9＝3ɑ8＞0，即ɑ8＞0；而ɑ7＋ɑ10＝ɑ8＋ɑ9＜0，故ɑ9＜0.所以数列{ɑn}的前8项和最大．

答案：

8

8．设等差数列{ɑn}的前n项和为Sn，若ɑ1＝－3，ɑk＋1＝

，Sk＝－12，则正整数k＝________．

解析：

设等差数列{ɑn}的公差为d，由ɑk＋1＝

，且Sk＝－12，则－3＋kd＝

，且－3k＋

k（k－1）d＝12.消去d，

得k＝13.

答案：

13

三、解答题

9．数列{ɑn}满足ɑ1＝1，ɑ2＝2，ɑn＋2＝2ɑn＋1－ɑn＋2.

（1）设bn＝ɑn＋1－ɑn，证明{bn}是等差数列；

（2）求{ɑn}的通项公式．

（1）证明：

由ɑn＋2＝2ɑn＋1－ɑn＋2得

ɑn＋2－ɑn＋1＝ɑn＋1－ɑn＋2，

即bn＋1＝bn＋2.又b1＝ɑ2－ɑ1＝1，

所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．

（2）解：

由

（1）得bn＝1＋2（n－1）＝2n－1，

即ɑn＋1－ɑn＝2n－1.

于是

（ɑk＋1－ɑk）＝

（2k－1），

所以ɑn＋1－ɑ1＝n2，即ɑn＋1＝n2＋ɑ1.

又ɑ1＝1，所以{ɑn}的通项公式为ɑn＝n2－2n＋2.

10．已知等差数列{ɑn}的公差d＞0.设{ɑn}的前n项和为Sn，ɑ1＝1，S2·S3＝36.

（1）求d及Sn；

（2）求m，k（m，k∈N*）的值，使得ɑm＋ɑm＋1＋ɑm＋2＋…＋ɑm＋k＝65.

解：

（1）由题意知（2ɑ1＋d）（3ɑ1＋3d）＝36，

将ɑ1＝1代入上式解得d＝2或d＝－5.

因为d＞0，所以d＝2，从而ɑn＝2n－1，

Sn＝n2（n∈N*）．

（2）由

（1）得ɑm＋ɑm＋1＋ɑm＋2＋…＋ɑm＋k＝（2m＋k－1）（k＋1），所以（2m＋k－1）（k＋1）＝65.

由m，k∈N*知2m＋k－1＞k＋1＞1，

故

所以

11．（2014·湖北卷）已知等差数列{ɑn}满足：

ɑ1＝2，且ɑ1，ɑ2，ɑ5成等比数列．

（1）求数列{ɑn}的通项公式；

（2）记Sn为数列{ɑn}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn＞60n＋800？

若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．

解：

（1）设等差数列{ɑn}的公差为d，依题意，2，2＋d，2＋4d成等比数列，故有（2＋d）2＝2（2＋4d），

化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4.

当d＝0时，ɑn＝2；

当d＝4时，ɑn＝2＋（n－1）·4＝4n－2，

从而得数列{ɑn}的通项公式为ɑn＝2或ɑn＝4n－2.

（2）当ɑn＝2时，Sn＝2n.显然2n＜60n＋800，

此时不存在正整数n，使得Sn＞60n＋800成立．

当ɑn＝4n－2时，Sn＝

＝2n2.

令2n2＞60n＋800，即n2－30n－400＞0，

解得n＞40或n＜－10（舍去），

此时存在正整数n，使得Sn＞60n＋800成立，n的最小值为41.

综上，当ɑn＝2时，不存在满足题意的n；

当ɑn＝4n－2时，存在满足题意的n，其最小值为41.

1、数论是人类知识最古老的一个分支，然而他的一些最深奥的秘密与其最平凡的真理是密切相连的。

2、数学是研究现实生活中数量关系和空间形式的数学。

3、我总是尽我的精力和才能来摆脱那种繁重而单调的计算。

4、一个数学家越超脱越好。

5、数学是各式各样的证明技巧。

6、数学是锻炼思想的体操。

7、整数的简单构成，若干世纪以来一直是使数学获得新生的源泉。

8、数学是研究抽象结构的理论。

9、历史使人贤明，诗造成气质高雅的人，数学使人高尚，自然哲学使人深沉，道德使人稳重，而伦理学和修辞学则使人善于争论。

10、数学方法渗透并支配着一切自然科学的理论分支。

它愈来愈成为衡量科学成就的主要标志了。