新投资金融保险精算学基本理论讲解DOC 93页.docx
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第一章：
利息理论基础
第一节：
利息的度量
一、利息的定义
利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场合，它的实质是资金的使用者付给资金所有者的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能支配该笔资金而蒙受的损失。
二、利息的度量
利息可以按照不同的标准来度量，主要的度量方式有
1、 按照计息时刻划分：
期末计息：
利率
期初计息：
贴现率
2、 按照积累方式划分：
（1）线性积累：
单利计息
单贴现计息
（2）指数积累：
复利计息
复贴现计息
（3）单复利/贴现计息之间的相关关系
Ø
单利的实质利率逐期递减，复利的实质利率保持恒定。
单贴现的实质利率逐期递增，复贴现的实质利率保持恒定。
时，相同单复利场合，复利计息比单利计息产生更大的积累值。
所以长期业务一般复利计息。
时，相同单复利场合，单利计息比复利计息产生更大的积累值。
所以短期业务一般单利计息。
3、按照利息转换频率划分：
（1）一年转换一次：
实质利率（实质贴现率）
（2）一年转换次：
名义利率（名义贴现率）
（3）连续计息（一年转换无穷次）：
利息效力
特别，恒定利息效力场合有
三、变利息
1、 什么是变利息
2、 常见的变利息情况
（1）连续变化场合
（2）离散变化场合
第二节：
利息问题求解原则
一、利息问题求解四要素
1、 原始投资本金
2、投资时期的长度
3、利率及计息方式
4、本金在投资期末的积累值
二、利息问题求解的原则
1、本质
任何一个有关利息问题的求解本质都是对四要素知三求一的问题。
2、工具
现金流图：
一维坐标图，记录资金按时间顺序投入或抽出的示意图。
3、方法
建立现金流分析方程（求值方程）
4、原则
在任意时间参照点，求值方程等号两边现时值相等。
第三节：
年金
一、年金的定义与分类
1、 年金的定义：
按一定的时间间隔支付的一系列付款称为年金。
原始含义是限于一年支付一次的付款，现已推广到任意间隔长度的系列付款。
2、 年金的分类：
（1） 基本年金
约束条件：
等时间间隔付款
付款频率与利息转换频率一致
每次付款金额恒定
（2） 一般年金
不满足基本年金三个约束条件的年金即为一般年金。
（3）
二、基本年金
1、 分类
（1）付款时刻不同：
初付年金/延付年金
（2）付款期限不同：
有限年金/永久年金
2、 基本年金公式推导
3、 变利率年金问题
（1） 时期变利率（第个时期利率为）
（2） 付款变利率（第次付款的年金始终以利率计息）
三、一般年金
1、分类
（1）支付频率不同于计息频率
（2）变额年金
2、支付频率不同于计息频率年金
（1）支付频率小于计息频率的年金分析
方法一：
利率转换
方法二：
年金的代数分析
（2）支付频率大于计息频率的年金分析
方法一：
利率转换
方法二：
年金的代数分析
（3） 连续年金
特别，在常数利息效力场合
3、变额年金
（1） 等差年金
初始投资P元，等差Q元的年金的一般公式：
现时值：
积累值：
特别地，
递增年金：
P=Q=1
现时值：
积累值：
递减年金：
P=n，Q=-1
现时值：
积累值：
（2） 等比年金（下一期年金值为前一期年金值的（）倍）
现时值：
积累值：
第四节：
收益率
一、收益率的概念
1、贴现资金流与现金流动表
2、收益率的定义：
使得投资返回净现时值等于零时的利率称为收益率。
也称为“内返回率”
二、收益率的唯一性判别
1、 由于收益率是高次方程的解，所以它的解很可能不唯一。
2、 Descartes符号判别定理：
收益率的最大重数小于等于资金流的符号改变次数。
3、 收益率唯一性判别定理二：
整个投资期间未动用投资余额始终为正，收益率唯一。
三、再投资率
1、 本金的再投资率
2、 利息的再投资率
四、基金的利息度量
1、 币值加权方法
2、 时间加权方法
第五节：
分期偿还表和偿债基金
一、分期偿还和偿债基金的概念
1、 分期偿还：
借款人按一定的周期用分期付款的办法偿还贷款，这种还贷方法称为分期偿还。
2、 偿债基金：
借款人在贷款期末用一次的集中付款来偿还贷款人。
利息则在此期间分期付款，并假设借款人周期性地付款给一个“基金”，该“基金”在贷款期末的积累值正好可以偿还贷款本金。
二、分期偿还表
时期
付款金额
支付利息
偿还本金
未偿还贷款余额
0
-
-
-
1
1
1
1
0
总计
三、偿债基金
时期
付款金额
支付利息
存入偿债基金
偿债基金积累值
未偿还贷款余额
0
-
-
-
-
1
1
0
总计
对偿债基金而言，第次付款的实际支付利息为：
第次付款的实际偿还本金为：
第二章 生命表函数与生命表构造
第一节生命表函数
一、生存函数
1、 定义：
2、 概率意义：
新生儿能活到的概率
3、 与分布函数的关系：
4、 与密度函数的关系：
二、剩余寿命
1、定义：
已经活到x岁的人（简记），还能继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T（x）。
2、剩余寿命的分布函数
5、 ：
，
它的概率意义为：
将在未来的年内去世的概率，简记
3、剩余寿命的生存函数：
，
它的概率意义为：
能活过岁的概率，简记
特别：
（1）
（2）
（3）
（4）：
将在岁与岁之间去世的概率
4、 整值剩余寿命
（1）定义：
未来存活的完整年数，简记
（2）概率函数：
5、剩余寿命的期望与方差
（1）期望剩余寿命：
剩余寿命的期望值（均值），简记
（2）剩余寿命的方差：
6、整值剩余寿命的期望与方差
（1）期望整值剩余寿命：
整值剩余寿命的期望值（均值），简记
（2）整值剩余寿命的方差：
2
三、死亡效力
1、定义：
的人瞬时死亡率，记作
2、死亡效力与生存函数的关系
3、死亡效力与密度函数的关系
4、死亡效力表示剩余寿命的密度函数
记为剩余寿命的分布函数，为的密度函数，则
第二节生命表的构造
一、有关寿命分布的参数模型
1、deMoivre模型（1729）
2、Gompertz模型（1825）
3、Makeham模型（1860）
4、Weibull模型（1939）
二、生命表的起源
1、参数模型的缺点
（1）至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。
这四个常用模型的拟合效果不令人满意。
（2）使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差
（3）寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布。
（4）在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。
2、生命表的起源
（1）生命表的定义
根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表.
（2）生命表的发展历史
1662年,JoneGraunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写过《生命表的自然和政治观察》。
这是生命表的最早起源。
1693年，EdmundHalley,《根据Breslau城出生与下葬统计表对人类死亡程度的估计》，在文中第一次使用了生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。
人们因而把Halley称为生命表的创始人。
（3）生命表的特点
构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布假定（非参数方法）
三、生命表的构造
1、原理
在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群的生存概率。
（用频数估计频率）
2、常用符号
（1）新生生命组个体数：
（2）年龄：
（3）极限年龄：
（4）个新生生命能生存到年龄的期望个数：
（5）个新生生命中在年龄与之间死亡的期望个数：
特别，当时，记作
（6）个新生生命在年龄与区间共存活年数：
（7）个新生生命中能活到年龄的个体的剩余寿命总数：
四、选择与终极生命表
1、选择-终极生命构造的原因
（1）需要构造选择生命表的原因：
刚刚接受体检的新成员的健康状况会优于很早以前接受体检的老成员。
（2）需要构造终极生命表的原因：
选择效力会随时间而逐渐消失
2、选择-终极生命表的使用
第三节有关分数年龄的假设
一、使用背景
生命表提供了整数年龄上的寿命分布,但有时我们需要分数年龄上的生存状况,于是我们通常依靠相邻两个整数生存数据,选择某种分数年龄的生存分布假定，估计分数年龄的生存状况
二、基本原理
插值法
三、常用假定
1、均匀分布（UniformDistribution）假定:
（线形插值）
2、恒定死亡效力（ConstantForce）假定（几何插值）
3、Balducci假定（调和插值）
四、三个假定下的生命表函数
函数
均匀分布假定
恒定死亡效力假定
Balducci假定
第三章人寿保险趸缴纯保费的厘定
第一节 人寿保险趸缴纯保费厘定的原理
一、人寿保险简介
1、什么是人寿保险
（1） 狭义的人寿保险是以被保险人在保障期是否死亡作为保险标的的一种保险。
（2） 广义的人寿保险是以被保险人的寿命作为保险标的的一种保险。
它包括以保障期内被保险人死亡为标的的狭义寿险，也包括以保障期内被保险人生存为标底的生存保险和两全保险。
2、人寿保险的分类
根据不同的标准，人寿保险有不同的分类：
（1） 以被保险人的受益金额是否恒定进行划分，可分为：
定额受益保险，变额受益保险。
（2） 以保障期是否有限进行划分，可分为：
定期寿险和终身寿险。
（3） 以保单签约日和保障期是否同时进行划分，可分为：
非延期保险和延期保险。
（4） 以保障标的进行划分，可分为：
人寿保险（狭义）、生存保险和两全保险。
3、人寿保险的性质
（1） 保障的长期性：
寿险的保障期通常比较长。
这使得从投保到赔付期间的投资受益（利息）成为不容忽视的因素。
因而，寿险产品纯保费的厘定通常要考虑利率的影响。
（2） 保险赔付金额和赔付时间的不确定性：
人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人的生命状况。
以狭义的定期变额人寿保险为例，如果被保险人在保障期内没有死亡，到期赔付金额为零；如果被保险人在保障期内死亡，保险公司将在被保险人死亡时给付与死亡时间相关的某个数额的赔偿金。
被保险人的死亡时间是一个随机变量。
这就意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量，它依赖于被保险人剩余寿命分布。
（3） 被保障人群的大数性：
对单个被保险人而言，他会在什么时刻死亡是不可估计的。
但对大量的被保险人构成的一个大数群体而言，他们的剩余寿命分布是有统计规律的。
这就意味着，保险公司可以依靠概率统计的原理计算出平均赔付并可预测将来的风险。
二、人寿保险趸缴纯保费厘定的原理
1、假定
传统的人寿保险产品的趸缴纯保费是在如下假定下厘定的：
假定一：
同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿命独立同分布。
假定二：
被保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进行拟合。
假定三：
保险公司可以预测将来的投资受益（即预定利率）。
2、原理
保险公司在上面三个假定条件下，按照净均衡的原则来厘定趸缴纯保费的数额。
所谓净均衡原则，即保费收入的期望现时值正好等于将来的保险赔付金的期望现时值。
它的实质是在统计意义上的收支平衡。
是在大数场合下，收费期望现时值等于支出期望现时值。
而趸缴纯保费是指在保单生效日一次性支付将来保险赔付金的期望现时值。
记
：
保单生效到赔付的时间
：
从赔付时刻回溯至保单生效时的利息贴现，称为贴现函数。
：
赔付时刻赔付的金额，或者说是被保险人的受益金额，称为受益函数。
：
受益赔付额回溯到保单生效时的现时值，称为现时随机变量，它是一个依赖于赔付时间、赔付金额和贴现函数的随机变量，简记为，有
按照净均衡原则，趸缴纯保费就等于。
第二节 死亡即刻赔付保险趸缴纯保费的厘定
一、死亡即刻赔付的含义
1、 死亡即刻陪付就是指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内的死亡，保险公司将在死亡事件发生之后，立刻给予保险赔付。
它是在实际应用场合，保险公司通常采用的理赔方式。
2、 由于死亡可能发生在被保险人投保之后的任意时刻，所以死亡即刻陪付时刻是一个连续随机变量，它距保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的剩余寿命。
二、主要险种死亡即刻赔付趸缴纯保费的厘定
1、年定期寿险
（1）定义：
保险人只对被保险人在投保后的年内发生的保险责任范围内的死亡给付保险金的险种，又称为年死亡保险。
（2）假定：
的人投保保额为1单位元数的年定期寿险
（3）基本函数关系
（4）年定期寿险死亡即刻陪付趸缴纯保费（）的厘定
（5）现值随机变量的方差
记
则
2、终身寿险
（1）定义：
保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险责任范围内的死亡均给付保险金的险种。
（2）假定：
的人投保保额为1单位元数的终身寿险
（3）基本函数关系
（4）终身寿险死亡即刻赔付趸缴纯保费（）的厘定
（5）现值随机变量的方差
记
则
3、延期年的终身寿险
（1） 定义：
保险人只对被保险人在投保年后发生的保险责任范围内的死亡给付保险金的险种。
（2）
（2）假定：
的人投保保额为1单位元数的延期年的终身寿险
（3）基本函数关系
（4）延期年的终身寿险死亡即刻陪付趸缴纯保费（）的厘定
（5）现值随机变量的方差
记
则
4、年定期生存险
（1）定义：
被保险人投保后生存至年期满时，保险人在第年末支付保险金的险种。
（2）假定：
的人投保保额为1单位元数的年定期生存险
（3）基本函数关系
（4）年定期生存险趸缴纯保费（）的厘定
（5）现值随机变量的方差
5、年定期两全险
（1）定义：
被保险人投保后如果在年期内发生保险责任范围内的死亡，保险人即刻给付保险金；如果被保险人生存至年期满，保险人在第年末支付保险金的保险。
所以年定期两全险实际上等价于年生存保险加上年定期寿险的组合。
（2）假定：
的人投保保额为1单位元数的年定期两全险
（3）基本函数关系
（4）年定期两全险死亡即刻赔付趸缴纯保费（）的厘定
记
年定期寿险现值随机变量为，年定期生存险现值随机变量为，年定期两全险现值随机变量为，已知
则有
即
（5）现值随机变量的方差
因为
所以
又因为
所以年定期两全保险现值随机变量的方差等价于
6、延期年的年定期两全险
（1）定义：
被保险人在投保后的前年的死亡不获赔偿，从第年开始为期年的定期两全险。
显然它相当于延期年的年定期寿险和延期年的年定期生存险的组合
（2）假定：
的人投保保额为1单位元数的延期年的年定期两全险
（3）基本函数关系
（4）延期年的年定期两全险死亡即刻赔付趸缴纯保费（）的厘定
记
延期年的年定期寿险现值随机变量为，延期年的年定期生存险现值随机变量为，延期年的年定期两全险现值随机变量为，有
即
从延期年的定期两全保险的定义还可以直接推出它的趸缴纯保费等于
（5）现值随机变量的方差
因为
且
所以延期年的年定期两全保险现值随机变量的方差等价于
7、递增终身寿险
（1）定义：
递增终身寿险是变额受益保险的一种特殊情况。
假定受益金额为剩余寿命的递增线性函数。
（2）假定：
的人投保初始保额为1单位元数的递增终身寿险，
如果保险赔偿金一年递增一次，即受益函数为：
，记这种递增终身寿险趸缴纯保费为
如果保险赔偿金一年递增次，即受益函数为，记这种递增终身寿险趸缴纯保费为
如果保险赔偿金一年递增无穷次（连续递增），即受益函数为，记这种递增终身寿险趸缴纯保费为
（3） 基本函数关系
的现值随机变量为
的现值随机变量为
的现值随机变量为
（4） 递增终身人寿保险死亡即刻赔付趸缴纯保费的厘定
的厘定
的厘定
的厘定
8、递减年定期寿险
（1）定义：
递减定期寿险是变额受益保险的一种特殊情况。
假定受益金额为剩余寿命的递减线性函数。
（2）假定：
的人投保初始保额为1单位元数的递减定期寿险，
如果保险赔偿金一年递减一次，即受益函数为：
，记这种递减定期寿险趸缴纯保费为
如果保险赔偿金一年递减次，即受益函数为，记这种递减定期寿险趸缴纯保费为
如果保险赔偿金一年递减无穷次（连续递增），即受益函数为，记这种减定期寿险趸缴纯保费为
（3）基本函数关系
的现值随机变量为
的现值随机变量为
的现值随机变量为
（4）递减定期寿险死亡即刻赔付趸缴纯保费的厘定
的厘定
的厘定
的厘定
第三节 死亡年末赔付保险趸缴纯保费的厘定
一、死亡年末赔付的含义
1、死亡年末陪付是指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内的死亡，保险公司将在死亡事件发生的当年年末给予保险赔付。
2、由于赔付时刻都发生在死亡事件发生的当年年末，所以死亡年末陪付时刻是一个离散随机变量，它距保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的整值剩余寿命加一。
这正好可以使用以整值年龄为刻度的生命表所提供的生命表函数。
所以死亡年末赔付方式是保险精算师在厘定净净净趸缴保费时通常先假定的理赔方式。
二、主要险种死亡即刻赔付趸缴纯保费的厘定
1、年定期寿险
（1）基本函数关系
记为被保险人整值剩余寿命，则
（2）年定期寿险死亡年末陪付趸缴纯保费（）的厘定
等式两边同乘以，得
这一等式显示了保单发行时个岁的被保险人的净趸缴保费总和与按死亡预期流出的资金量现时值之间的平衡关系。
（3）现值随机变量的方差
记
则
（4）比较
显然，和死亡即刻赔付情况下趸缴纯保费的计算模型相比，这两个精算模型的构造思想、计算步骤都一样，唯一不同的就是一个连续（），一个离散（）；一个的期望是求积分得到（），一个的期望是求累加和得到（）。
2、其它险种场合
显然，其它险种场合的情况和定期寿险场合一样。
我们容易得到如下结果：
险种
净趸缴保费
终身寿险
延期年终身寿险
年两全保险
延期年年两全保险
递增终身寿险（一年递增一次）
递减年定期寿险（一年递减一次）
三、死亡即刻赔付与死亡年末赔付的关系（剩余寿命在分数时期均匀分布假定下）
以终身寿险为例，有剩余寿命等于整值剩余寿命加死亡之年分数生存寿命：
则
同理可以验证，在如下两个条件：
（1）
（2）只依赖于剩余寿命的整数部分，即
则有
换言之，满足如上两个条件，死亡即刻赔付即为死亡年末赔付的倍。
第四节 递归方程
公式一：
理解：
的单位金额终身寿险在第一年末的价值等于在第一年死亡的情况下1单位的赔付额，或生存满一年的情况下净趸缴保费。
公式二：
理解：
个岁的被保险人所缴的趸缴保费之和经过一年的积累，当年年末可为所有的被保险人提供次年的净趸缴保费，还可以为所有在当年去世的被保险人提供额外的。
公式三：
理解：
年龄为的被保险人在活到岁时的净趸缴保费与当初岁时的净趸缴保费之差等于保费的一年利息减去提供一年的保险成本。
公式四：
理解：
的趸缴纯保费等于其未来所有年份的保险成本的现时值之和。
第五节 计算基数
一、什么是计算基数
定义：
在保险精算学中，有些保费的计算过程往往很繁琐，为简化计算步骤，引入一些换算函数，这些换算函数是一些根据假定条件事先算好的中间量，也称为计算基数，一般的保费计算都可以表示成这些计算基数的函数形式。
二、常用计算基数
三、用计算基数表示常见寿险的趸缴纯保费
第四章 生存年金
第一节 生存年金简介
一、生存年金的定义和分类
1、生存年金的定义：
以被保险人存活为条件，间隔相等的时期（年、半年、季、月）支付一次保险金的保险类型。
2、生存年金的分类
（1） 延付年金、初付年金
（2） 连续年金、离散年金
（3） 定期年金、终身年金
（4） 非延期年金、延期年金
（5） 被保险人支付的保费年金、保险人支付的保险赔付年金
3、生存年金与确定性年金的关系
（1） 确定性年金：
支付期数确定的年金（利息理论中所讲的年金）。
（2） 生存年金与确定性年金的联系：
都是每隔一段时间的系列付款
（3） 生存年金与确定性年金的区别：
确定性年金的支付期数是确定的，而生存年金的支付期数是不确定的（以被保险人生存为条件）
二、生存年金的用途
1、 被保险人保费交付常使用生存年金的方式
2、 某些场合保险人理赔时支付的保险金采用生存年金的方式，特别在：
养老保险、残疾保险、抚恤保险、失业保险等场合。
第二节 与生存相关联的一次性支付
一、年期生存保险定义
现龄岁的人在投保年后仍然存活，可以在第年末获得生存赔付的保险称为年期生存保险。
这就是我们在第三章讲到的纯生存保险。
单位元数的年期生存保险的趸缴纯保费为。
在生存年金研究中习惯用表示该保险的精算现值
二、相关公式及意义
理解：
年龄
现时值
1
1
S
1
第三节 连续生存年金
一、连续生存年金简介
1、定义：
在保障时期内，以被保险人生存为条件，连续支付年金的保险。
2、分类：
终身（永久）连续生存年金、定期连续生存年金
延期连续生存年金、非延期连续生存年金
3、连续生存年金精算现值估计方法
u 当期支付技巧：
考虑未来连续支付的现时值之和
u 综合支付技巧：
考虑年金在因死亡或到期而结束时的总值。
二、终身连续生存年金精算现值的估计
1、综合支付技巧
步骤一：
计算到死亡发生时间T为止的所有已支付的年金的现值之和
步骤二：
计算这个年金现值关于时间积分所得的年金期望值，即终身连续生存年金精算现值，记作：
2、当期支付技巧
步骤一：
计算在时刻所支付的当期年金的现值
步骤二：
计算该当期年金现值按照可能支付的时间积分，得到期望年金现值
3、相关公式
三、定期连续生存年金精算现值的估计
1、综合支付技巧
2、当期支付技巧
3、相关公式
四、延期连续生存年金精算现值的估计
1、延期年终身生存年金：
当活到岁之后，每年可获1单位元数的连续支付的延期年金，其精算现值记作
也等价于
2、延期年年定期生存年金：
当在岁与岁之间存活时，每年可获1单位元数的连续支付的延期年金，其精算现值记作
也等价于
第四节 离散生存年金
一、离散生存年金简介
1、定义：
在保障时期内，以被保险人生存为条件，每隔一段时间支付一次年金的保险。
2、连续生存年金
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