新课标届高考数学二轮复习专题五立体几何专题能力训练14空间中的平行与垂直理.docx
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新课标届高考数学二轮复习专题五立体几何专题能力训练14空间中的平行与垂直理
专题能力训练 空间中的平行与垂直
能力突破训练
.如图为正方体的底面的中心,则下列直线中与垂直的是（）
.如图,在正方形中分别是的中点,沿把正方形折成一个四面体,使三点重合,重合后的点记为,点在△内的射影为.则下列说法正确的是（）
是△的垂心是△的内心
是△的外心是△的重心
（第题图）
（第题图）
.α,β是两个平面是两条直线,有下列四个命题:
①如果⊥⊥α∥β,那么α⊥β.
②如果⊥α∥α,那么⊥.
③如果α∥β⊂α,那么∥β.
④如果∥,α∥β,那么与α所成的角和与β所成的角相等.
其中正确的命题有.（填写所有正确命题的编号）
.已知正四棱锥的底面边长为,高为是边的中点,动点在表面上运动,并且总保持⊥,则动点的轨迹的周长为.
.下列命题中正确的是.（填上你认为正确的所有命题的序号）
①空间中三个平面α,β,γ,若α⊥β,γ⊥β,则α∥γ;
②若为三条两两异面的直线,则存在无数条直线与都相交;
③若球与棱长为的正四面体各面都相切,则该球的表面积为
;
④在三棱锥中,若⊥⊥,则⊥.
.
在正三棱柱中,点是的中点
.设∩.
求证:
（）∥平面;
（）⊥平面.
.
如图,在四棱锥中,侧面是边长为的正三角形,且与底面垂直,底面是∠°的菱形为的中点.
（）求证⊥;
（）证明在上存在一点,使得四点共面;
（）求点到平面的距离.
.
（山东青岛统一质检）如图,在四棱锥中,底面是菱形⊥平面是棱上的一个动点为的中点.
（）求证:
平面⊥平面;
（）若,求证∥平面.
思维提升训练
.平面α过正方体的顶点,α∥平面,α∩平面,α∩平面,则所成角的正弦值为（）
.
.
.
.
.
如图,在侧棱垂直底面的四棱柱中∥⊥
是的中点是平面与直线的交点.
（）证明:
①∥;②⊥平面;
（）求与平面所成角的正弦值.
.如图,在长方形中为的中点为的中点.现在沿将△向上折起,在折起的图形中解答下列问题:
（）在线段上是否存在一点,使∥平面?
若存在,请证明你的结论;若不存在,请说明理由;
（）若平面⊥平面,求证:
平面⊥平面.
.已知正三棱柱中
点为的中点,点在线段上.
（）当∶∶时,求证⊥;
（）是否存在点,使三棱锥的体积恰为三棱柱体积的
?
若存在,求的长,若不存在,请说明理由.
.如图,在四边形中（如图①）是的中点
.将△（如图①）沿直线折起,使二面角为°（如图②）.
（）求证⊥平面;
（）求异面直线与所成角的余弦值;
（）求点到平面的距离.
参考答案
专题能力训练 空间中的平行与垂直
能力突破训练
解析易知⊥平面.
∵⊂平面,∴⊥,故选.
解析如图,易知两两垂直,
∴⊥平面,从而⊥,
而⊥平面,则⊥,
∴⊥平面,∴⊥.
同理可知⊥⊥,
∴为△的垂心.
.②③④解析对于①,若⊥⊥α∥β,则α,β的位置关系无法确定,故错误;对于②,因为∥α,所以过直线作平面γ与平面α相交于直线,则∥.因为⊥α,所以⊥,所以⊥,故②正确;对于③,由两个平面平行的性质可知正确;对于④,由线面所成角的定义和等角定理可知其正确,故正确的命题有②③④.
解析
如图,取的中点的中点,连接.
设交于点,连接,易知⊥.
又∥,
∴⊥平面,
∴⊥.
又∩,∴⊥平面.
故点的轨迹是△,其周长为
.②③④解析①中也可以α与γ相交;②作平面与都相交;③中可得球的半径为
;④中由⊥⊥得点在底面△的射影为△的垂心,故⊥.
.证明（）连接,设交于点,连接.
∵点是的中点,点是的中点,
∴∥.
∵⊄平面⊂平面,
∴∥平面.
（）∵△是正三角形,点是的中点,
∴⊥.
∵平面⊥平面,平面∩平面⊂平面,
∴⊥平面.
∵⊂平面,∴⊥.
∵点是的中点
∴
.
∴△∽△,
∴∠∠.
∴∠∠∠∠°.
∴⊥.
∵∩,∴⊥平面.
.（）证法一取的中点,连接,依题意可知△,△均为正三角形,
所以⊥⊥.
又∩⊂平面⊂平面,
所以⊥平面.
又⊂平面,所以⊥.
证法二连接,依题意可知△,△均为正三角形.
因为为的中点,所以⊥⊥.
又∩⊂平面⊂平面,
所以⊥平面.
因为⊂平面,所以⊥.
（）证明当点为棱的中点时四点共面,证明如下:
取棱的中点,连接.
因为为的中点,所以∥.
在菱形中∥,所以∥,所以四点共面.
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