一元二次方程求解公式法求解.docx
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一元二次方程求解公式法求解
一元二次方程求解（公式法求解）
一．选择题（共2小题）
1．已知a是一元二次方程x2﹣x﹣1=0较大的根，则下面对a的估计正确的是
（）
A．0＜a＜1B．1＜a＜1.5
C．1.5＜a＜2
D．2＜a＜3
2．一元二次方程x2+2x﹣6=0的根是（）
A．x1=x2=B．x1=0，x2=﹣2C．x1=，x2=﹣3D．x1=﹣，x2=3
二．填空题（共19小题）
．方程
x
2﹣|x|﹣1=0的根是
．
3
4．已知等腰三角形的一腰为
x，周长为20，则方程x2﹣12x+31=0的根为
．
5．已知代数式7x（x+5）+10与代数式9x﹣9的值互为相反数，则x=
．
．若
2+3xy﹣2y2
，那么
=
．
6
x
=0
7．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是，条件是．
8．用公式法解方程2x2﹣7x+1=0，其中b2﹣4ac=，x1=，x2=．
．一元二次方程
2﹣4a﹣7=0的解为．
9
a
10．小明同学用配方法推导关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，他是这样做的：
小明的解法从第步开始出现错误；这一步的运算依据应是．
11（．1）解下列方程：
①x2﹣2x﹣2=0；②2x2+3x﹣1=0；③2x2﹣4x+1=0；④x2+6x+3=0；
（2）上面的四个方程中，有三个方程的一次项系数有共同特点，请你用代数式
表示这个特点，并推导出具有这个特点的一元二次方程的求根公式．
．已知
x=（b
2﹣4c＞0），则x2+bx+c的值为
．
12
．方程
2﹣6x﹣1=0的负数根为
．
13
2x
．方程
2﹣3x+1=0的解是
．
14
x
．已知一元二次方程
2﹣3x=1，则b2﹣4ac=
．
15
2x
16．方程x2﹣4x﹣7=0的根是
．
17．一元二次方程3x2﹣4x﹣2=0的解是
．
18．有一个数值转换机，其流程如图所示：
若输入a=﹣6，则输出的x的值为．
19．已知a＜b＜0，且，则=
．
．方程
2﹣5x+3=0的解是
．
20
x
2+ab﹣b2
，则
=
．
21．若实数a，b满足a
=0
三．解答题（共19小题）
22．解方程：
x2﹣3x+1=0．
23．解方程：
x2﹣5x+2=0．
24．解方程：
x2﹣3x﹣7=0．
25．2x2+3x﹣1=0．
26．解下列方程
（1）用配方法解方程：
2x2+5x+3=0；
（2）用公式法解方程：
（x﹣2）（x﹣4）=12．
27．解下列方程：
（1）x2﹣2x=2x+1（配方法）
（2）2x2﹣2x﹣5=0（公式法）
28．解方程：
2x2﹣5x+1=0．
29．解方程：
（1）x2﹣6x﹣6=0
（2）2x2﹣7x+6=0．
30．解方程：
2x2+3x﹣1=0．
31．解方程：
x2+3x+1=0．
32．
（1）解方程：
x2=3（x+1）．
（2）用配方法解方程：
x2﹣2x﹣24=0．
33．用公式法解下列方程
2x2+6=7x．
34．解方程：
x2+3x﹣2=0．
35．解方程：
2x2﹣3x﹣1=0．
36．解方程：
3x2﹣6x﹣2=0．
37．用公式法解方程：
x2+x﹣1=0．
38．解方程
（l）2x2﹣3x+1=0（公式法）
（2）3x2﹣6x+4=0（配方法）
39．设关于x的二次方程（k2﹣6k+8）x2+（2k2﹣6k﹣4）x+k2=4的两根都是整数．求
满足条件的所有实数k的值．
40．解方程：
3x2﹣4x﹣1=0．
一元二次方程求解（公式法求解）
参考答案与试题解析
一．选择题（共2小题）
1．（2014?
荆州）已知a是一元二次方程x2﹣x﹣1=0较大的根，则下面对a的估
计正确的是（）
A．0＜a＜1B．1＜a＜1.5C．1.5＜a＜2D．2＜a＜3【分析】先求出方程的解，再求出的围，最后即可得出答案．【解答】解：
解方程x2﹣x﹣1=0得：
x=，
∵a是方程x2﹣x﹣1=0较大的根，∴a=，
∵2＜＜3，
∴3＜1+＜4，
∴＜＜2，故选：
C．
【点评】本题考查了解一元二次方程，估算无理数的大小的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中．
2．（2014?
）一元二次方程x2+2x﹣6=0的根是（
）
A．x1=x2=B．x1=0，x2=﹣2
C．x1=，x2=﹣3D．x1=﹣，x2=3
【分析】找出方程中二次项系数
a，一次项系数b及常数项c，再根据x=，将a，
b及c的值代入计算，即可求出原方程的解．
【解答】解：
∵a=1，b=2，c=﹣6
∴x====﹣±2，
∴x1=，x2=﹣3；
故选：
C．
【点评】此题考查了利用公式法求一元二次方程的解，利用公式法解一元二次方程时，首先将方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算
出根的判别式，当根的判别式≥0时，将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解．
二．填空题（共19小题）
．（
2011
春桐城市月考）方程
2﹣|x|﹣1=0的根是
或．
3
?
x
【分析】分x＞0和x＜0两种情况进行讨论，当x＞0时，方程x2﹣x﹣1=0；当x
＜0时，方程x2+x﹣1=0；分别求符合条件的解即可．【解答】解：
当x＞0时，方程x2﹣x﹣1=0；
∴x=；
当x＜0时，方程x2+x﹣1=0；∴x=，
∴x=；
故答案为或．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法﹣公式法，要特别注意分类讨论思想的运用．
4．（2014?
下城区一模）已知等腰三角形的一腰为x，周长为20，则方程x2﹣12x+31=0的根为6．
【分析】求出方程的解得到x的值，即为腰长，检验即可得到方程的解．
【解答】解：
方程x2﹣12x+31=0，
变形得：
x2﹣12x=﹣31，
配方得：
x2﹣12x+36=5，即（x﹣6）2=5，
开方得：
x﹣6=±，
解得：
x=6+或x=6﹣，
当x=6﹣时，2x=12﹣2＜20﹣12+2，不能构成三角形，舍去，则方程x2﹣12x+31=0的根为6+．
故答案为：
6+
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，三角形的三边关系，以及等腰三角形的性质，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
5．（2015秋?
阳县月考）已知代数式7x（x+5）+10与代数式9x﹣9的值互为相
反数，则x=．
【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【解答】解：
根据题意得：
7x（x+5）+10+9x﹣9=0，
整理得：
7x2+44x+1=0，
这里a=7，b=44，c=1，
∵△=442﹣28=1908，
∴x==．
故答案为：
．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
．（
呼和浩特模拟）若
2+3xy﹣2y2
，那么
=
．
6
2012?
x
=0
【分析】观察原方程的未知数是次数与所求的的未知数的次数知，方程的两边同
时乘以，即可得到关于的方程，然后利用“换元法”、“公式法”解答即可．
【解答】解：
由原方程，得
两边同时乘以得：
（）2+3﹣2=0
设=t，则上式方程即为：
t2+3t﹣2=0，
解得，t=，
所以=；
故答案是：
．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法．解答此题的关键是将原方程转化为关于的一元二次方程．
7．（2016秋?
新沂市校级月考）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式
是，条件是b2﹣4ac≥0．
【分析】可根据配方法解一元二次方程的一般方法，解一元二次方程ax2+bx+c=0．
【解答】解：
由一元二次方程ax2+bx+c=0，
移项，得ax2+bx=﹣c
化系数为1，得x2+x=﹣
配方，得x2+x+=﹣+
即：
（x+）2=
当b2﹣4ac≥0时，开方，得x+=
解得：
x=．
故答案为：
，b2﹣4ac≥0．
【点评】本题考查了用配方法推导公式法解一元二次方程的一般方法．
8．（2011
秋册亨县校级月考）用公式法解方程
2﹣7x+1=0，其中b2﹣4ac=
?
2x
41，x1=，x2=．
【分析】根据已知得出a=2，b=﹣7，c=1，代入b2﹣4ac求出即可，再代入公式
x=求出即可．
【解答】解：
2x2﹣7x+1=0，
a=2，b=﹣7，c=1，
∴b2﹣4ac=（﹣7）2﹣4×2×1=41，
∴x==，
∴x1=，x2=，
故答案为：
41，，．
【点评】本题考查了对解一元二次方程﹣公式法的应用，关键是检查学生能否能
运用公式求方程的解，本题主要培养了学生的计算能力．
9．（2011?
）一元二次方程a2﹣4a﹣7=0的解为a1=2+，a2=2﹣．
【分析】用公式法直接求解即可．
【解答】解：
a=
=
=2±，
∴a1=2+，a2=2﹣，
故答案为：
a1=2+，a2=2﹣．
【点评】本题考查了用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：
用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：
①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
10．（2016?
丰台区一模）小明同学用配方法推导关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，他是这样做的：
小明的解法从第
四步开始出现错误；这一步的运算依据应是
平方根的定
义．
【分析】根据配方法解一元二次方程即可判定第四步开方时出错．
【解答】解：
小明的解法从第四步开始出现错误；这一步的运算依据应是平方根的定义；
故答案为四；平方根的定义．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．
用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）形如x2+px+q=0型：
第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右
两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．
11．（2000?
区）
（1）解下列方程：
①x2﹣2x﹣2=0；②2x2+3x﹣1=0；③2x2﹣4x+1=0；
④x2+6x+3=0；
（2）上面的四个方程中，有三个方程的一次项系数有共同特点，请你用代数式
表示这个特点，并推导出具有这个特点的一元二次方程的求根公式．
【分析】
（1）直接代入公式计算即可．
（2）其中方程①③④的一次项系数为偶数2n（n是整数）．然后再利用求根公式代入计算即可．
【解答】解：
（1）①解方程x2﹣2x﹣2=0①，∵a=1，b=﹣2，c=﹣2，
∴x===1，
∴x1=1+，x2=1．②解方程2x2+3x﹣l=0，∵a=2，b=3，c=﹣1，
∴x==，
∴x1=，x2=．（2分）③解方程2x2﹣4x+1=0，
∵a=2，b=﹣4，c=1，∴x===，
x1=，x2=．（3分）
④解方程x2+6x+3=0，
∵a=1，b=6，c=3，∴x===﹣3，
∴x1=，x2=．（4分）
（2）其中方程①③④的一次项系数为偶数2n（n是整数）．（8分）
一元二次方程ax2+bx+c=0，其中b2﹣4ac≥0，b=2n，n为整数．
∵b2﹣4ac≥0，即（2n）2﹣4ac≥0，
∴n2﹣ac≥0，
∴x==
==（11分）
∴一元二次方程ax2+2nx+c=0（n2﹣ac≥0）的求根公式为．（12分）
【点评】本题主要考查了解一元二次方程的公式法．关键是正确理解求根公式，正确对二次根式进行化简．
．（
2016
秋安陆市期中）已知
x=（b
2﹣4c＞0），则x2+bx+c的值为0．
12
?
【分析】把x的值代入代数式，再进行计算即可．
【解答】解：
∵x=（b2﹣4c＞0），
∴x2+bx+c=（）2+b+c
=++c
=
=
=0．
故答案为：
0．
【点评】本题考查了一元二次方程，实数的运算法则，求代数式的值的应用，能
根据实数的运算法则进行计算是解此题的关键．
．（
2015
秋校级月考）方程
2﹣6x﹣1=0的负数根为x=．
13
?
2x
【分析】先计算判别式的值，再利用求根公式法解方程，然后找出负数根即可．
【解答】解：
△=（﹣6）2﹣4×2×（﹣1）=44，
x==，
所以x1=＞0，x2=＜0．
即方程的负数根为x=．
故答案为x=．
【点评】本题考查了公式法解一元二次方程：
用求根公式解一元二次方程的方法
是公式法．
．（
）方程
x
2﹣3x+1=0的解是
x1，2
．
14
2010?
=x=
【分析】观察原方程，可用公式法求解；首先确定
a、b、c的值，在b2﹣4ac≥0
的前提条件下，代入求根公式进行计算．
【解答】解：
a=1，b=﹣3，c=1，
b2﹣4ac=9﹣4=5＞0，
x=；
∴x1=，x2=．
故答案为：
x1=，x2=．
【点评】在一元二次方程的四种解法中，公式法是主要的，公式法可以说是通法，即能解任何一个一元二次方程．但对某些特殊形式的一元二次方程，用直接开平方法简便．因此，在遇到一道题时，应选择适当的方法去解．
15（．2011秋?
浠水县校级月考）已知一元二次方程2x2﹣3x=1，则b2﹣4ac=17．【分析】先将已知方程转化为一般式方程，然后将a、b、c的数值代入所求的代数式，并求值即可．
【解答】解：
由原方程，得
2x2﹣3x﹣1=0，
∴二次项系数a=2，一次项系数b=﹣3，常数项c=﹣1，
∴b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）=9+8=17；
故答案是：
17．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法．在求b2﹣4ac的值时，需要熟悉该代数式中的a、b、c所表示的意义．
．（
2013
秋邹平县校级期末）方程
x
2﹣4x﹣7=0的根是
x1，2﹣．
16
?
=2+x=2
【分析】先求出b2﹣4ac的值，最后代入公式求出即可．
【解答】解：
x2﹣4x﹣7=0，
b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×（﹣7）=44，
x=，
x1=2+，x2=2﹣，
故答案为：
；
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生能否正确运用公式解
一元二次方程．
17．（2012秋?
开县校级月考）一元二次方程3x2﹣4x﹣2=0的解是．
【分析】利用公式法解此一元二次方程的知识，即可求得答案．
【解答】解：
∵a=3，b=﹣4，c=﹣2，
∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×3×（﹣2）=40，
∴x===．
故答案为：
．
【点评】此题考查了公式法解一元二次方程的知识．此题难度不大，注意熟记公式是关键．
18．（2012秋?
周宁县期中）有一个数值转换机，其流程如图所示：
若输入a=﹣6，则输出的x的值为无解．
【分析】将a=﹣6代入方程x2﹣3x﹣a=0中，利用公式法求出方程的解即可．
【解答】解：
输入的数a=﹣6＜0，代入得：
x2﹣3x+6=0，
这里a=1，b=﹣3，c=6，
∵△=9﹣24=﹣15＜0，
则此方程无解．
故答案为：
无解
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，利用此方法解方程时，找出
b及c的值，代入求根公式即可求出解．
a，
19．（2012?
家港市模拟）已知a＜b＜0，且，则=．
【分析】根据题意得到a2﹣6ab+b2=0，把它看作为a的一元二次方程，利用求根
公式得到a==（3±2）b，由于a＜b＜0，则a=（3﹣2）b，然后把a=（3﹣2）b
代入所求的代数式中进行化简即可．
【解答】解：
法①∵+=6，
∴a2﹣6ab+b2=0，
∴a==（3±2）b，
∵a＜b＜0，
∴a=（3﹣2）b，
∴====．
法②：
原式通分得：
a2+b2=6ab；则（a+b）2=8ab，（a﹣b）2=4ab
又a＜b＜0；故a+b=﹣，a﹣b=
所以
故答案为．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）
的求根公式为：
x=（b2﹣4ac≥0）．也考查了二次根式的混合运算．
．（
达州）方程
2﹣5x+3=0的解是
．
20
2002?
x
【分析】观察方程，此题用公式法解答比较简单，首先确定
a，b，c的值，判断
方程是否有解，若有解直接代入公式求解即可．
【解答】解：
根据求根公式可知：
x==．
【点评】公式法适用于任何一元二次方程．方程
ax2+bx+c=0的解为x=，需要熟
练掌握．
．（
2010
秋仪征市校级月考）若实数
，
b
满足
2+ab﹣b2
，则
=
．
21
?
a
a
=0
【分析】把b看成常数，解关于a的一元二次方程，然后求出的值．
【解答】解：
a2+ab﹣b2=0
△=b2+4b2=5b2．
a==b
∴=．
故答案是：
【点评】本题考查的是用一元二次方程的求根公式解方程，
把b看成是常数，用
求根公式解关于a的一元二次方程，然后求出的值．
三．解答题（共19小题）
22．（2015?
东西湖区校级模拟）解方程：
x2﹣3x+1=0．
【分析】先观察再确定方法解方程，此题采用公式法求解即可．
【解答】解：
∵a=1，b=﹣3，c=1
∴b2﹣4ac=5
∴x=．
故，．
【点评】此题比较简单，考查了一元二次方程的解法，解题时注意选择适宜的解题方法．
23．（2015?
模拟）解方程：
x2﹣5x+2=0．
【分析】找出a，b及c的值，得到根的判别式的值大于0，代入求根公式即可
求出解．
【解答】解：
这里a=1，b=﹣5，c=2，
∵△=25﹣8=17＞0，
∴x=，
则x1=，x2=．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，利用公式法解方程时，首先将方程整理为一般形式，找出a，b及c的值，当根的判别式的值大于等于0时，代入求根公式即可求出解．
24．（2015?
黄陂区校级模拟）解方程：
x2﹣3x﹣7=0．
【分析】利用求根公式x=来解方程．
【解答】解：
在方程x2﹣3x﹣7=0中，a=1，b=﹣3，c=﹣7．则x===，
解得x1=，x2=．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法．熟记公式是解题的关键．
25．（2008?
）2x2+3x﹣1=0．
【分析】此题考查了公式法解一元二次方程，解题时要注意将方程化为一般形式，
确定a，b，c的值，然后检验方程是否有解，若有解，代入公式即可求解．
【解答】解：
∵a=2，b=3，c=﹣1
∴b2﹣4ac=17＞0
∴x=
∴x1=，x2=．
【点评】解此题的关键是熟练应用求根公式，要注意将方程化为一般形式，确定a、b、c的值．
26．（2016春?
泰山区期中）解下列方程
（1）用配方法解方程：
2x2+5x+3=0；
（2）用公式法解方程：
（x﹣2）（x﹣4）=12．
【分析】
（1）根据配方法的步骤先两边都除以2，移项，配方，开方即可得出两
个一元一次方程，再求出方程的解即可；
（2）把a=1，b=﹣6，c=﹣4代入求根公式x=计算即可．【解答】解：
（1）方程两边同除以2，得：
x2+x+=0，
移项，得x2+=，
配方，得x2+x+（）2=+（）2，
（x+）2=，
x+=或x+=，
x1=﹣l；x2=；
（2）原方程可化为：
x2﹣6x﹣4=0，
∵a=1，b=﹣6，c=﹣4；∴x===，
∴x=3±，
x1=3+，x2=3﹣；
【点评】本题考查了配方法和公式法解一元二次方程，关键是能正确配方，配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
27．（2015春?
沂源县期末）解下列方程：
（1）x2﹣2x=2x+1（配方法）
（2）2x2﹣2x﹣5=0（公式法）
【分析】
（1）方程利用配方法求出解即可；
（2）方程利用公式法求出解即可．
【解答】解：
（1）方程整理得：
x2﹣4x=1，
配方得：
x2﹣4x+4=5，即（x
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