线性代数第二章习题部分答案.docx
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线性代数第二章习题部分答案
第二章向量组的线性相关性
§2-1§2-2𝐧维向量，线性相关与线性无关
（一）
一、填空题
1.设3α1−α+2α2+α=5α3+α,其中α1=（2,5,1,3）T,
α2=（10,1,5,10）T,α3=（4,1,−1,1）T,则α=（1,2,3,4）T.
2.设α1=（1,1,1）T,α2=（2,1,1）T,α3=（0,2,4）T,
则线性组合α1−3α2+α3=（−5,0,2）T.
3.设矩阵A=，设βi为矩阵A的第i个列向量，
则2β1+β2−β3=（−2,8,−2）T.
二、试确定下列向量组的线性相关性
1.α1=（2,1,0）T,α2=（1,2,1）T,α3=（1,1,1）T
解：
设k1α1+k2α2+k3α3=0,
则k1210+k2121+k3111=000
即2k1+k2+k3=0k1+2k2+k3=0k2+k3=0k1+2k2+k3=0−3k2−k3=0k2+k3=0k1+2k2+k3=0k2+k3=0k3=0
k1=k2=k3=0，线性无关。
2.α1=（1,−1,2）T,α2=（0,0,0）T,α3=（1,4,3）T
线性相关
三、设有向量组α1=（1,1,0）T,α2=（1,3,−1）T,α3=（5,−3,t）T，问t取何值时该向量组线性相关。
解：
设k1α1+k2α2+k3α3=0,
则k1110+k213−1+k35−3t=0
即k1+k2+5k3=0k1+3k2−3k3=0−k2+tk3=0k1+k2+5k3=0k2−4k3=0−k2+tk3=0k1+k2+5k3=0k1+3k2−3k3=0（t−4）k3=0
所以，t=4,线性相关;t≠4,线性无关
四、设a1,a2线性无关，a1+b,a2+b线性相关，求向量b用a1,a2线性表示的表示式。
解：
因为a1+b,a2+b线性相关，所以存在不全为零的k1，k2，使得k1（a1+b）+k2（a2+b）=0,即（k1+k2）b=−k1a1−k2a2.又因为a1,a2线性无关，所以k1+k2≠0，于是，b=−k1k1+k2a1−k2k1+k2a2.
五、已知向量组α1,α2,⋯,α2n，令β1=α1+α2,β2=α2+α3,⋯,β2n=α2n+α1，求证向量组β1,β2,⋯,β2n线性相关。
解：
因为β1−β2+β3−β4+⋯+β2n−1−β2n=0，
所以，向量组β1,β2,⋯,β2n线性相关。
§2-2线性相关与线性无关
（二）
一、设a1,a2线性相关，b1,b2线性相关，问a1+b1,a2+b2是否一定线性相关？
并举例说明之。
解：
取a1=00,a2=10,b1=00,b2=01.
a1+b1,a2+b2线性相关。
取a1=00,a2=10,b1=01,b2=00.
a1+b1,a2+b2线性无关。
二、举例说明下列各命题是错误的：
1．若向量组a1,a2,⋯,am是线性相关的，则a1可由a2,⋯,am线性表示。
解：
取a1=10,a2=00.
2．若有不全为0的数λ1，λ2，⋯，λm,使
λ1a1+λ2a2+⋯λmam+λ1b1+λ2b2+⋯+λmbm=0
成立，则a1,a2,⋯,am是线性相关，b1,b2,⋯,bm是线性相关.
解：
取a1=01,a2=10,b1=10,b2=01.
3．若只有当λ1，λ2，⋯，λm全为0时，等式
λ1a1+λ2a2+⋯λmam+λ1b1+λ2b2+⋯+λmbm=0
才能成立，则a1,a2,⋯,am是线性无关，b1,b2,⋯,bm是线性无关。
解：
取a1=00,a2=10,b1=01,b2=00.
4．若a1,a2,⋯,am是线性相关，b1,b2,⋯,bm是线性相关，则有不全为0的数λ1，λ2，⋯，λm，使λ1a1+λ2a2+⋯λmam=0，λ1b1+λ2b2+⋯+λmbm=0
同时成立。
解：
取a1=20,a2=10,b1=10,b2=10.
三、设向量组a1,a2,⋯,am线性相关，且a1≠0,证明存在某个向量ak（2≤k≤m），使ak能由a1,⋯,ak−1线性表示。
证明：
因为向量组a1,a2,⋯,am线性相关，所以存在不全为零的λ1，λ2，⋯,λm使得λ1a1+λ2a2+⋯+λmam=0。
设λ1，λ2，⋯,λm中最后一个不为零的数是λk，即λk≠0，λk+1=0⋯,λm=0，又因为a1≠0，所以，λk≠λ1。
即有λk≠0（2≤k≤m），使得λ1a1+λ2a2+⋯+λkak=0，于是，ak=−λ1λka1+−λ2λka2+⋯+−λk−1λkak−1，命题得证。
四、已知Ra1,a2,a3=2,Ra2,a3,a4=3,
证明：
（1）a1能由a2,a3线性表示。
（2）a4不能由a1,a2,a3线性表示。
证明：
（1）因为Ra2,a3,a4=3，所以a2,a3,a4线性无关，由定理1知a2,a3也线性无关；又因为Ra1,a2,a3=2，所以，a1,a2,a3线性相关，由定理3得a1能由a2,a3线性表示。
（2）反证法。
假设a4能由a1,a2,a3线性表示。
再利用
（1）的结果，可推出a4能由a2,a3线性表示，由定理2得a2,a3,a4线性相关，与Ra2,a3,a4=3矛盾。
所以，a4不能由a1,a2,a3线性表示。
五、设b1=a1,b2=a1+a2,⋯,br=a1+a2+⋯+ar，且向量a1,a2,⋯,ar线性无关，证明向量组b1，b2，⋯，br线性无关。
证明：
设k1b1+k2b2+⋯+krbr=0，则k1a1+k2a1+a2+⋯+kr（a1+a2+⋯+ar）=0（k1+k2+⋯+kr）a1+（k2+⋯+kr）a2+⋯+krar=0
而向量a1,a2,⋯,ar线性无关，所以，k1+k2+⋯+kr=0k2+⋯+kr=0⋯kr=0⟹k1=0k2=0⋯kr=0
所以，向量组b1，b2，⋯，br线性无关。
§2-3极大无关组
（一）
一、证明n阶单位矩阵的秩为n.
证明：
n阶单位矩阵的列向量组为ei=（0,⋯,0,1,0,⋯,0）T,i=1,⋯,n,设k1e1+k2e2+⋯+knen=0,则
k110⋮0+k201⋮0+⋯+kn00⋮1=00⋮0⟹k1k2⋮kn=00⋮0⟹k1=0k2=0⋯kr=0
所以，e1,e2,⋯,en线性无关，秩为n，则n阶单位矩阵的秩为n.
二、设矩阵A=a11a120a22⋯a1na2n⋮⋮⋱⋮00⋯ann（其中a11a22⋯ann≠0）则RA=n.
证明：
设矩阵A的列向量组为a1=a110⋮0,a2=a12a22⋮0,⋯,an=a1na2n⋮ann
设k1a1+k2a2+⋯+knan=0,则k1a110⋮0+k2a12a22⋮0+⋯+kna1na2n⋮ann=00⋮0⟹k1a11+k2a12+⋯+kna1nk2a22+⋯+kna2n⋮knann=00⋮0⟹k1=0k2=0⋯kn=0
所以，a1,a2,⋯,an线性无关，秩为n，则RA=n.
三、求下列向量组的秩
1.α1=（1,−1,0）T,α2=（2,1,1）T,α3=（1,3,−1）T
R=3
2.α1=（1,2,1,3）T,α2=（4,−1,−5,−6）T,
α3=（1,−3,−4,−7）T
解：
A=（α1,α2,α3）=1412−1−31−5−43−6−7r2−2r1r3−r1r4−3r11410−9−50−9−50−18−10r3−r2r4−2r21410−9−5000000
所以，R（α1,α2,α3）=2,α1,α2为极大无关组。
四、设a1,a2,⋯,an是一组n维向量，已知n维单位坐标向量e1,e2,⋯,en能由它们线性表示，证明a1,a2,⋯,an线性无关。
证明：
因为n维单位坐标向量e1,e2,⋯,en能由a1,a2,⋯,an线性表示，所以，R（e1,e2,⋯,en）≤R（a1,a2,⋯,an），而Re1,e2,⋯,en=n，R（a1,a2,⋯,an）≤n，所以，Ra1,a2,⋯,an=n，于是，a1,a2,⋯,an线性无关。
五、设a1,a2,⋯,an是一组n维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是：
任一n维向量都可由它们线性表示。
证明：
充分性：
如果任一n维向量都可由a1,a2,⋯,an线性表示，
则n维单位坐标向量e1,e2,⋯,en能由a1,a2,⋯,an线性表示，利用上一题的结果，a1,a2,⋯,an线性无关。
必要性：
如果a1,a2,⋯,an线性无关，对于任一n维向量a.
如果a=ai（i=1,2,⋯,n）,则a=0a1+⋯+0ai−1+1ai+0ai+1+⋯+0an，所以，向量a能由a1,a2,⋯,an线性表示。
如果a≠ai（i=1,2,⋯,n），则a,a1,a2,⋯,an这n+1个n维向量线性相关，而a1,a2,⋯,an线性无关，由定理3得向量a能由a1,a2,⋯,an线性表示。
（另证：
如果a1,a2,⋯,an线性无关，而ℝn的维数是n，所以a1,a2,⋯,an为ℝn的一组基，所以ℝn中的一n维向量都可由它们线性表示。
）
§2-3极大无关组
（二）
一、设A,B为同阶矩阵，求证RA+B≤R（A,B）≤RA+R（B）。
证明：
设A的列向量组为a1，a2，⋯，an，极大无关组为a1，a2，⋯，as；B的列向量组为b1，b2，⋯，bn，极大无关组为b1，b2，⋯，br.
则A+B的列向量组为a1+b1，a2+b2，⋯，an+bn能由（A,B）的列向量组a1，a2，⋯，an，b1，b2，⋯，bn线性表示，所以，RA+B≤R（A,B）.
又（A,B）的列向量组a1，a2，⋯，an，b1，b2，⋯，bn能由
a1，a2，⋯，as，b1，b2，⋯，br，所以，
RA,B≤R（a1，⋯，as，b1，⋯，br）≤s+r=RA+R（B）.
二、设向量组B:
b1，b2，⋯，br能由向量组A:
a1，a2，⋯，as线性表示
（b1，b2，⋯，br）=a1，a2，⋯，asK
其中K为s×r矩阵，且A线性无关。
证明B线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩为RK=r.
证明：
必要性.已知B:
b1，b2，⋯，br线性无关.则RB=r,
设矩阵B=（b1，b2，⋯，br）,矩阵A=a1，a2，⋯，as，则B=AK，所以，r=RB≤R（Ks×r）≤r，得RK=r.
充分性.已知RK=r，则K的列向量组k1，k2，⋯，kr线性无关。
设λ1b1+λ2b2+⋯+λrbr=0⟹（b1，b2，⋯，br）λ1λ2⋮λr=0⟹a1，a2，⋯，asKλ1λ2⋮λr=0A:
a1，a2，⋯，as线性无关Kλ1λ2⋮λr=0
⟹k1，k2，⋯，krλ1λ2⋮λr=0k1，k2，⋯，kr线性无关λ1=λ2=⋯=λr=0
⟹B:
b1，b2，⋯，br线性无关。
三、设β1=a2+a3+⋯+anβ2=a1+a3+⋯+an⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯βn=a1+a2+⋯+an−1
证明：
向量组a1,a2,⋯,an与向量组β1,β2,⋯,βn等价。
证明：
因为β1=0a1+a2+a3+⋯+anβ2=a1+0a2+a3+⋯+an⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯βn=a1+a2+⋯+an−1+0an
所以，向量组β1,β2,⋯,βn可以由向量组a1,a2,⋯,an线性表示。
把β1=a2+a3+⋯+anβ2=a1+a3+⋯+an⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯βn=a1+a2+⋯+an−1各式相加后得β1+β2+⋯+βn=n−1a1+a2+⋯+an
1n−1（β1+β2+⋯+βn）=a1+a2+⋯+an
可得a1=1n−1（β1+β2+⋯+βn）−β1a2=1n−1（β1+β2+⋯+βn）−β2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯an=1n−1（β1+β2+⋯+βn）−βn
所以，向量组a1,a2,⋯,an可以由向量组β1,β2,⋯,βn线性表示。
由上，向量组a1,a2,⋯,an与向量组β1,β2,⋯,βn等价。
四、已知3阶矩阵A与3维列向量x满足A3x=3Ax−A2x，且向量组x,Ax,A2x线性无关，记P=（x,Ax,A2x），求3阶矩阵B使AP=PB.
解：
设B=b11b12b13b21b22b23b31b32b33，
AP=PB⟹Ax,Ax,A2x=（x,Ax,A2x）B
⟹Ax,A2x,3Ax−A2x=（x,Ax,A2x）b11b12b13b21b22b23b31b32b33⟹Ax=b11x+b21Ax+b31A2xA2x=b12x+b22Ax+b32A2x3Ax−A2x=b13x+b23Ax+b33A2xb11x+b21−1Ax+b31A2x=0b12x+b22Ax+（b32−1）A2x=0b13x+b23−3Ax+（b33+1）A2x=0
由向量组x,Ax,A2x线性无关得B=00010301−1.
§2-4，§2-5向量空间，内积与标准正交基
一、设V1={x=x1,x2,⋯,xnT|x1+x2+⋯+xn=0},
V2={x=x1,x2,⋯,xnT|x1+x2+⋯+xn=1},
V3={x=x1,x2,⋯,xnT|x1=2x2,x3=4x4},
问V1,V2,V3是不是向量空间，为什么？
答：
V1是，V2不是，V3是
二、验证：
α1=（0,1,1）T,α2=（1,0,1）T,α3=（1,1,0）T为ℝ3的一个基,并把α=（2,5,8）T用这个基线性表示.
解：
（α1,α2,α3,α）=8r1↔r2r3−r1r4−3r1−13r3−r2r3×（−12）r4−3r1−1/2r2−r3r1−r3/205/21−1/2
所以，α=112α1+52α2−12α3.
三、证明ℝn中不存在n+1个线性无关的向量，从而ℝn中不存在n+1个两两正交的非零向量。
证明：
因为ℝn的维数是n，所以ℝn中不存在n+1个线性无关的向量。
又因为两两正交的非零向量必是线性无关的，所以，ℝn中不存在n+1个两两正交的非零向量。
四、用施密特法把下列向量组规范正交化α1,α2,α3=
解：
β1=α1=111;
β2=α2−（β1,α2）（β1,β1）β1=123−63111=−101;
β3=α3−β1,α3β1,β1β1−β2,α3β2,β2β2;
=149−143111−82−101=131−21
所以，e1=（13,13,13）T,e2=（−12,0,12）T,e3=（16,−26,16）T.
六、证明下列各题
（1）x为n维列向量，且xTx=1,求证：
H=E−2xxT是对称的正交阵。
（2）设A,B为同阶正交阵，证明：
AB也是正交阵。
证明：
（1）HT=E−2xxTT=ET−2（xT）TxT=E−2xxT=H，H对称；
HTH=E−2xxTE−2xxT=E−4xxT+4x（xTx）xT=E，H正交。
（2）因为A,B为同阶正交阵，所以，ATA=E，BTB=E，于是，
ABTAB=BTATAB=BTB=E，所以，AB也是正交阵。
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