小学奥数打印版数学二上.docx

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小学奥数打印版数学二上

第一讲速算与巧算

一、“凑整”先算

1.计算：

（1）24+44+56

（2）53+36+47

解：

（1）24+44+56=24+（44+56）=24+100=124

这样想：

因为44+56=100是个整百的数，所以先把它们的和算出来.

（2）53+36+47=53+47+36=（53+47）+36=100+36=136

这样想：

因为53+47=100是个整百的数，所以先把+47带着符号搬家，搬到+36前面；然后再把53+47的和算出来.

2.计算：

（1）96+15

（2）52+69

解：

（1）96+15=96+（4+11）=（96+4）+11=100+11=111

这样想：

把15分拆成15=4+11，这是因为96+4=100，可凑整先算.

（2）52+69=（21+31）+69=21+（31+69）=21+100=121

这样想：

因为69+31=100，所以把52分拆成21与31之和，再把31+69=100凑整先算.

3.计算：

（1）63+18+19

（2）28+28+28

解：

（1）63+18+19=60+2+1+18+19=60+（2+18）+（1+19）=60+20+20=100

这样想：

将63分拆成63=60+2+1就是因为2+18和1+19可以凑整先算.

（2）28+28+28　=（28+2）+（28+2）+（28+2）-6=30+30+30-6=90-6=84

这样想：

因为28+2=30可凑整，但最后要把多加的三个2减去.

　　二、改变运算顺序：

在只有“+”、“-”号的混合算式中，运算顺序可改变

计算：

（1）45-18+19

（2）45+18-19

解：

（1）45-18+19=45+19-18=45+（19-18）=45+1=46

这样想：

把+19带着符号搬家，搬到-18的前面.然后先算19-18=1.

（2）45+18-19=45+（18-19）=45-1=44这样想：

加18减19的结果就等于减1.

三、计算等差连续数的和

相邻的两个数的差都相等的一串数就叫等差连续数，又叫等差数列，如：

　　1，2，3，4，5，6，7，8，9

　　1，3，5，7，9

　　2，4，6，8，10

　　3，6，9，12，15

　　4，8，12，16，20等等都是等差连续数.

1.等差连续数的个数是奇数时，它们的和等于中间数乘以个数，简记成：

（1）计算：

1+2+3+4+5+6+7+8+9

　　=5×9中间数是5

　　=45共9个数

（2）计算：

1+3+5+7+9

　　=5×5中间数是5

　　=25共有5个数

（3）计算：

2+4+6+8+10

　　=6×5中间数是6

　　=30共有5个数

（4）计算：

3+6+9+12+15

　　=9×5中间数是9

　　=45共有5个数

（5）计算：

4+8+12+16+20

　　=12×5中间数是12

　　=60共有5个数

2.等差连续数的个数是偶数时，它们的和等于首数与末数之和乘以个数的一半，简记成：

（1）计算：

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

　　=（1+10）×5=11×5=55

　　共10个数，个数的一半是5，首数是1，末数是10.

（2）计算：

3+5+7+9+11+13+15+17

　　=（3+17）×4=20×4=80

　　共8个数，个数的一半是4，首数是3，末数是17.

（3）计算：

2+4+6+8+10+12+14+16+18+20

　　=（2+20）×5=110

　　共10个数，个数的一半是5，首数是2，末数是20.

四、基准数法

（1）计算：

23+20+19+22+18+21

解：

仔细观察，各个加数的大小都接近20，所以可以把每个加数先按20相加，然后再把少算的加上，把多算的减去.

23+20+19+22+18+21=20×6+3+0-1+2-2+1=120+3=123

6个加数都按20相加，其和=20×6=120.23按20计算就少加了“3”，所以再加上“3”；19按20计算多加了“1”，所以再减去“1”，以此类推.

（2）计算：

102+100+99+101+98

解：

方法1：

仔细观察，可知各个加数都接近100，所以选100为基准数，采用基准数法进行巧算.102+100+99+101+98=100×5+2+0-1+1-2=500

方法2：

仔细观察，可将5个数重新排列如下：

（实际上就是把有的加数带有符号搬家）

　　102+100+99+101+98

　　=98+99+100+101+102=100×5=500

可发现这是一个等差连续数的求和问题，中间数是100，个数是5

习题一

1.计算：

（1）18+28+72

（2）87+15+13（3）43+56+17+24（4）28+44+39+62+56+21

2.计算：

（1）98+67

（2）43+28（3）75+26

3.计算：

（1）82-49+18

（2）82-50+49（3）41-64+29

4.计算：

（1）99+98+97+96+95

（2）9+99+999

5.计算：

（1）5+6+7+8+9

（2）5+10+15+20+25+30+35（3）9+18+27+36+45+54

（4）12+14+16+18+20+22+24+26

6.计算：

（1）53+49+51+48+52+50

（2）87+74+85+83+75+77+80+78+81+84

7.计算：

1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5

习题一解答

1.解：

（1）18+28+72=18+（28+72）=18+100=118

（2）87+15+13=（87+13）+15=100+15=115

（3）43+56+17+24=（43+17）+（56+24）=60+80=140

（4）28+44+39+62+56+21=（28+62）+（44+56）+（39+21）=90+100+60=250

2.解：

（1）98+67=98+2+65=100+65=165

（2）43+28=43+7+21=50+21=71或43+28=41+（2+28）=41+30=71

（3）75+26=75+25+1=100+1=101

3.解：

（1）82-49+18=82+18-49=100-49=51

（2）82-50+49=82-1=81（减50再加49等于减1）

（3）41-64+29=41+29-64=70-64=6

4.解：

（1）99+98+97+96+95=100×5-1-2-3-4-5=500-15=485

　　　　（每个加数都按100算，再把多加的减去）或99+98+97+96+95=97×5=485

（2）9+99+999=10+100+1000-3=1110-3=1107

5.解：

（1）5+6+7+8+9=7×5=35

（2）5+10+15+20+25+30+35=20×7=140

（3）9+18+27+36+45+54=（9+54）×3=63×3=189

（4）12+14+16+18+20+22+24+26=（12+26）×4=38×4=152

6.解：

（1）53+49+51+48+52+50=50×6+3-1+1-2+2+0=300+3=303

（2）87+74+85+83+75+77+80+78+81+84=80×10+7-6+5+3-5-3+0-2+1+4=800+4=804

7.解：

方法1：

原式=21+21+21+15=78方法2：

原式=21×4-6=84-6=78

方法3：

原式=（1+2+3+4+5+6）×3+15=21×3+15=63+15=78

第二讲数数与计数

（一）

数学需要观察.大数学家欧拉就特别强调观察对于数学发现的重要作用，认为“观察是一件极为重要的事”.本讲数数与计数的学习有助于培养同学们的观察能力.在这里请大家记住，观察不只是用眼睛看，还要用脑子想，要充分发挥想像力.

例1数一数，图2－1和图2－2中各有多少黑方块和白方块？

解：

仔细观察图2－1，可发现黑方块和白方块同样多.因为每一行中有4个黑方块和4个白方块，共有8行，所以：

黑方块是：

4×8=32（个）白方块是：

4×8=32（个）

再仔细观察图2－2，从上往下看：

第一行白方块5个，黑方块4个；第二行白方块4个，黑方块5个；

第三、五、七行同第一行，第四、六、八行同第二行；

但最后的第九行是白方块5个，黑方块4个.可见白方块总数比黑方块总数多1个.

白方块总数：

5+4+5+4+5+4+5+4+5=41（个）黑方块总数：

4+5+4+5+4+5+4+5+4=40（个）

再一种方法是：

每一行的白方块和黑方块共9个.共有9行，所以，白、黑方块的总数是：

9×9=81（个）.由于白方块比黑方块多1个，所以白方块是41个，黑方块是40个.

例2图2－3所示砖墙是由正六边形的特型砖砌成，中间有个“雪花”状的墙洞，问需要几块正六边形的砖（图2－4）才能把它补好？

解：

仔细观察，并发挥想象力可得出答案，用七块正六边形的砖可把这个墙洞补好.如果动手画一画，就会看得更清楚了.

例3将8个小立方块组成如图2－5所示的“丁”字型，再将表面都涂成红色，然后就把小立方块分开，问：

（1）3面被涂成红色的小立方块有多少个？

（2）4面被涂成红色的小立方块有多少个？

（3）5面被涂成红色的小立方块有多少个？

解：

如图2－6所示，看着图，想像涂色情况.当把整个表面都涂成红色后，只有那些“粘在一起”的面（又叫互相接触的面），没有被涂色.每个小立方体都有6个面，减去没涂色的面数，就得涂色的面数.每个小立方体涂色面数都写在了它的上面，参看图2－6所示.

（1）3面涂色的小立方体共有1个；

（2）4面涂色的小立方体共有4个；

（3）5面涂色的小立方体共有3个.

例4如图2－7所示，一个大长方体的表面上都涂上红色，然后切成18个小立方体（切线如图中虚线所示）.在这些切成的小立方体中，问：

（1）1面涂成红色的有几个？

（2）2面涂成红色的有几个？

（3）3面涂成红色的有几个？

解：

仔细观察图形，并发挥想像力，可知：

（1）上下两层中间的2块只有一面涂色；

（2）每层四边中间的1块有两面涂色，上下两层共8块；（3）每层四角的4块有三面涂色，上下两层共有8块.最后检验一下小立体总块数：

2+8+8=18（个）.

习题二

1.如图2－8所示，数一数，需要多少块砖才能把坏了的墙补好？

2.图2－9所示的墙洞，用1号和2号两种特型砖能补好吗？

若能补好，共需几块？

3.图2－10所示为一块地板，它是由1号、2号和3号三种不同图案的瓷砖拼成.问这三种瓷砖各用了多少块？

4.如图2－11所示，一个木制的正方体，棱长为3寸，它的六个面都被涂成了红色.如果沿着图中画出的线切成棱长为1寸的小正方体

求：

（1）3面涂成红色的有多少块？

（2）2面涂成红色的有多少块？

（3）1面涂成红色的有多少块？

（4）各面都没有涂色的有多少块？

（5）切成的小正方体共有多少块？

5.图2－12所示为棱长4寸的正方体木块，将它的表面全染成蓝色，然后锯成棱长为1寸的小正方体.

问：

（1）有3面被染成蓝色的多少块？

（2）有2面被染成蓝色的多少块？

（3）有1面被染成蓝色的多少块？

（4）各面都没有被染色的多少块？

（5）锯成的小正方体木块共有多少块？

6.图2－13所示为一个由小正方体堆成的“塔”.如果把它的外表面（包括底面）全部涂成绿色，那么当把“塔”完全拆开时，3面被涂成绿色的小正方体有多少块？

7.图2－14中的小狗与小猫的身体的外形是用绳子分别围成的，你知道哪一条绳子长吗？

（仔细观察，想办法比较出来）.

习题二解答

1.解：

用10块砖可把墙补好，可以从下往上一层一层地数（发挥想像力）：

共1+2+2+1+2+2=10（块）.

　如果用铅笔把砖画出来（注意把砖缝对好）就会十分清楚了，如图2－15所示.

2.解：

仔细观察，同时发挥想像力可知需1号砖2块、2号砖1块，也就是共需（如图2－16所示）

3.解：

因为图形复杂，要特别仔细，最好是有次序地按行分类数，再进行统计：

4.解：

（1）3面涂色的有8块：

它们是最上层四个角上的4块和最下层四个角上的4块.

（2）2面涂色的有12块：

它们是上、下两层每边中间的那块共8块和中层四角的4块.

（3）1面涂色的有6块：

它们是各面（共有6个面）中心的那块.

（4）各面都没有涂色的有一块：

它是正方体中心的那块.

（5）共切成了3×3×3=27（块）.

　或是如下计算：

　8+12+6+1=27（块）.

5.解：

同上题

（1）8块；

（2）24块；（3）24块；（4）8块；（5）64块.

6.解：

3面被涂成绿色的小正方体共有16块，就是图2—18中有“点”的那些块（注意最下层有2块看不见）.

7.解：

分类数一数可知，围成小猫的那条绳子比较长.因为小狗身体的外形是由32条直线段和6条斜线段组成；小猫身体的外形是由32条直线段和8条斜线段组成

第三讲数数与计数

（二）

例1数一数，图3－1中共有多少点？

解：

（1）方法1：

如图3－2所示从上往下一层一层数：

第一层1个第二层2个第三层3个第四层4个第五层5个第六层6个第七层7

第八层8个第九层9个第十层10个第十一层9个第十二层8个第十三层7个

第十四层6个第十五层5个第十六层4个第十七层3个第十八层2个

第十九层1个总数1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+（9+8+7+6+5+4+3+2+1）=55+45=100（利用已学过的知识计算）.

（2）方法2：

如图3－3所示：

从上往下，沿折线数

第一层1个第二层3个第三层5个第四层7个第五层9个第六层11个

第七层13个第八层15个第九层17个第十层19个

总数：

1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100（利用已学过的知识计算）.

（3）方法3：

把点群的整体转个角度，成为如图3－4所示的样子，变成为10行10列的点阵.显然点的总数为10×10=100（个）.

想一想：

①数数与计数，有时有不同的方法，需要多动脑筋.②由方法1和方法3得出下式：

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10即等号左边这样的一串数之和等于中间数的自乘积.由此我们猜想：

　　1=1×1

　　1+2+1=2×2

　　1+2+3+2+1=3×3

　　1+2+3+4+3+2+1=4×4

　　1+2+3+4+5+4+3+2+1=5×5

　　1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=6×6

　　1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=7×7

　　1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1=8×8

　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=9×9

　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10

这样的等式还可以一直写下去，能写出很多很多.同学们可以自己检验一下，看是否正确，如果正确我们就发现了一条规律.

③由方法2和方法3也可以得出下式：

　　1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10.

即从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的自乘积.由此我们猜想：

　　1+3=2×2

　　1+3+5=3×3

　　1+3+5+7=4×4

　　1+3+5+7+9=5×5

　　1+3+5+7+9+11=6×6

　　1+3+5+7+9+11+13=7×7

　　1+3+5+7+9+11+13+15=8×8

　　1+3+5+7+9+11+13+15+17=9×9

　　1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10

还可往下一直写下去，同学们自己检验一下，看是否正确，如果正确，我们就又发现了一条规律.

例2数一数，图3－5中有多少条线段？

解：

（1）我们已知，两点间的直线部分是一条线段.以A点为共同端点的线段有：

　　ABACADAEAF5条.

　　以B点为共同左端点的线段有：

　　BCBDBEBF4条.

　　以C点为共同左端点的线段有：

　　CDCECF3条.

　　以D点为共同左端点的线段有：

　　DEDF2条.

　　以E点为共同左端点的线段有：

　　EF1条.

　　总数5+4+3+2+1=15条.

（2）用图示法更为直观明了.见图3－6.

总数5+4+3+2+1=15（条）.

想一想：

①由例2可知，一条大线段上有六个点，就有：

总数=5+4+3+2+1条线段.由此猜想如下规律（见图3－7）：

还可以一直做下去.总之，线段总条线是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数比总数小1.我们又发现了一条规律.它说明了点数与线段总数之间的关系.

②上面的事实也可以这样说：

如果把相邻两点间的线段叫做基本线段，那么一条大线段上的基本线段数和线段总条数之间的关系是：

线段总条数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数等于基本线段的条数（见图3－8）.基本线段数线段总条数

还可以一直写下去，同学们可以自己试试看.

例3数一数，图3－9中共有多少个锐角？

解：

（1）我们知道，图中任意两条从O点发出的射线都组成一个锐角.所以，以OA边为公共边的锐角有：

∠LAOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE，∠AOF共5个.

以OB边为公共边的锐角有：

∠BOC，∠BOD，∠BOE，∠BOF共4个.

以OC边为公共边的锐角有：

∠COD，∠COE，∠COF共3个.以OD边为公共边的锐角有：

∠DOE，∠DOF共2个.以OE边为一边的锐角有：

∠EOF只1个.锐角总数5+4+3+2+1＝15（个）.

②用图示法更为直观明了：

如图3－10所示，锐角总数为：

5+4+3+2+1=15（个）.

想一想：

①由例3可知：

由一点发出的六条射线，组成的锐角的总数=5+4+3+2+1（个），由此猜想出如下规律：

（见图3－11～15）两条射线1个角（见图3－11）

　三条射线2+1个角（见图3－12）

　四条射线3+2+1个角（见图3－13）

五条射线4+3+2+1个角（见图3－14）

六条射线5+4+3+2+1个角（见图3－15）

总之，角的总数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数比射线数小1.

②同样，也可以这样想：

如果把相邻两条射线构成的角叫做基本角，那么有共同顶点的基本角和角的总数之间的关系是：

角的总数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数等于基本角个数.

③注意，例2和例3的情况极其相似.虽然例2是关于线段的，例3是关于角的，但求总数时，它们有同样的数学表达式.同学们可以看出，一个数学式子可以表达表面上完全不同的事物中的数量关系，这就是数学的魔力.

习题三

1.书库里把书如图3－16所示的那样沿墙堆放起来.请你数一数这些书共有多少本？

2.图3－17所示是一个跳棋盘，请你数一数，这个跳棋盘上共有多少个棋孔？

3.数一数，图3－18中有多少条线段？

4.数一数，图3－19中有多少锐角？

5.数一数，图3－20中有多少个三角形？

6.数一数，图3－21中有多少正方形？

习题三解答

1.解：

方法1：

从左往右一摞一摞地数，再相加求和：

10+11+12+13+14+15+14+13+12+11+10=135（本）.

方法2：

把这摞书形成的图形看成是由一个长方形和一个三角形“尖顶”组成.

　　长方形中的书10×11=110

　　三角形中的书1+2+3+4+5+4+3+2+1=25

　　总数：

110+25=135（本）.

2.解：

因为棋孔较多，应找出排列规律，以便于计数.仔细观察可知，图中大三角形ABC上的棋孔的排列规律是（从上往下数）：

1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，另外还有三个小三角形中的棋孔的排列规律是1，2，3，4，所以棋孔总数是：

（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13）+（1+2+3+4）×3=91+10×3=121（个）.

3.解：

方法1：

按图3－22所示方法数（图中只画出了一部分）

线段总数：

7+6+5+4+3+2+1=28（条）.

方法2：

基本线段共7条，所以线段总数是：

7+6+5+4+3+2+1=28（条）.

4.解：

按图3－23的方法数：

角的总数：

7+6+5+4+3+2+1=28（个）.

5.解：

方法1：

（1）三角形是由三条边构成的图形.以OA边为左公共边构成的三角形有：

△OAB，△OAC，△OAD，△OAE，△OAF，△OAG，△OAH，共7个；

　　以OB边为左公共边构成的三角形有：

△OBC，△OBD，△OBE，△OBF，△OBG，△OBH，共6个；

　　以OC边为左公共边构成的三角形有：

△OCD，△OCE，△OCF，△OCG，△OCH，共5个；

　　以OD边为左公共边构成的三角形有：

△ODE，△ODF，△ODG，△ODH，共4个；

　　以OE边为左公共边构成的三角形有：

△OEF，△OEG，△OEH，共3个；

　　以OF边为左公共边构成的三角形有：

△OFG，△OFH，共2个；

　　以OG边和OH，GH两边构成的三角形仅有：

△OGH1个；

　　三角形总数：

7+6+5+4+3+2+1=28（个）.

（2）方法2：

显然底边AH上的每一条线段对应着一个三角形，而基本线段是7条，所以三角形总数为：

7+6+5+4+3+2+1=28（个）.

6.解：

最小的正方形有25个，

由4个小正方形组成的正方形16个；由9个小正方形组成的正方形9个；

由16个小正方形组成的正方形4个；由25个小正方形组成的正方形1个；

正方形总数：

25+16+9+4+1=55个.

第四讲认识简单数列

我们把按一定规律排列起来的一列数叫数列.

在这一讲里，我们要认识一些重要的简单数列，还要学习找出数列的生成规律；学会把数列中缺少的数写出来，最后还要学习解答一些生活中涉及数列知识的实际问题.

例1找出下面各数列的规律，并填空.

（1）1，2，3，4，5，□，□，8，9，10.

（2）1，3，5，7，9，□，□，15，17，19.

　　（3）2，4，6，8，10，□，□，16，18，20.

　　（4）1，4，7，10，□，□，19，22，25.

（5）5，10，15，20，□，□，35，40，45.

注意：

自然数列、奇数列、偶数列也是等差数列.

例2找出下面的数列的规律并填空.1，1，2，3，5，8，13，□，□，55，89.

解：

这叫斐波那契数列，从第三个数起，每个数都是它前面的两个数之和.这是个有重要用途的数列.8+13=21，13+21=34.所以：

空处依次填：

例3找出下面数列的生成规律并填空.1，2，4，8，16，□，□，128，256.

解：

它叫等比数列，它的后一个数是前一个数的2倍.16×2=32，32×2=64，所以空处依次填：

例4找出下面数列的规律，并填空.1，2，4，7，11，□，□，29，37.

解：

这数列规律是：

后一个数减前一个数的差是逐渐变大的，这些差是个自然数列：

例5找出下面数列的规律，并填空：

1，3，7，15，31，□，□，255，511.

解：

规律是：

后一个数减前一个数的差是逐渐变大的，