版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何97抛物线教师用书文新人教版.docx

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版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何97抛物线教师用书文新人教版

2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.7抛物线教师用书文新人教版

1．抛物线的概念

平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

2．抛物线的标准方程与几何性质

标准方程

y2＝2px（p>0）

y2＝－2px（p>0）

x2＝2py（p>0）

x2＝－2py（p>0）

p的几何意义：

焦点F到准线l的距离

图形

顶点

O（0,0）

对称轴

y＝0

x＝0

焦点

F

F

F

F

离心率

e＝1

准线方程

x＝－

x＝

y＝－

y＝

范围

x≥0，y∈R

x≤0，y∈R

y≥0，x∈R

y≤0，x∈R

开口方向

向右

向左

向上

向下

【知识拓展】

1．抛物线y2＝2px（p>0）上一点P（x0，y0）到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径．

2．y2＝ax的焦点坐标为，准线方程为x＝－.

3．设AB是过抛物线y2＝2px（p>0）焦点F的弦，

若A（x1，y1），B（x2，y2），则

（1）x1x2＝，y1y2＝－p2.

（2）弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝（α为弦AB的倾斜角）．

（3）以弦AB为直径的圆与准线相切．

（4）通径：

过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦．

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．（　×　）

（2）方程y＝ax2（a≠0）表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是（，0），准线方程是x＝－.（　×　）

（3）抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．（　×　）

（4）AB为抛物线y2＝2px（p>0）的过焦点F（，0）的弦，若A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2＝，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.（　√　）

1．（2016·四川）抛物线y2＝4x的焦点坐标是（　　）

A．（0,2）B．（0,1）

C．（2,0）D．（1,0）

答案　D

解析　∵对于抛物线y2＝ax，其焦点坐标为，

∴对于y2＝4x，焦点坐标为（1,0）．

2．（2017·济宁月考）已知抛物线C：

y2＝x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，|AF|＝x0，则x0等于（　　）

A．1B．2C．4D．8

答案　A

解析　由抛物线的定义，可得|AF|＝x0＋，

∵|AF|＝x0，∴x0＋＝x0，∴x0＝1.

3．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（　　）

A.B．[－2,2]

C．[－1,1]D．[－4,4]

答案　C

解析　Q（－2,0），设直线l的方程为y＝k（x＋2），代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋（4k2－8）x＋4k2＝0，

由Δ＝（4k2－8）2－4k2·4k2＝64（1－k2）≥0，

解得－1≤k≤1.

4．（教材改编）已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P（－2，－4），则该抛物线的标准方程为________________．

答案　y2＝－8x或x2＝－y

解析　设抛物线方程为y2＝2px（p≠0）或x2＝2py（p≠0）．将P（－2，－4）代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.

5．（2017·合肥调研）已知抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为________．

答案　2

解析　抛物线y2＝2px（p>0）的准线为x＝－，

圆x2＋y2－6x－7＝0，即（x－3）2＋y2＝16，

则圆心为（3,0），半径为4.

又因为抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，

所以3＋＝4，解得p＝2.

题型一　抛物线的定义及应用

例1　设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B（3,2），则|PB|＋|PF|的最小值为________．

答案　4

解析　如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，

交抛物线于点P1，

则|P1Q|＝|P1F|.

则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.

即|PB|＋|PF|的最小值为4.

引申探究

1．若将本例中的B点坐标改为（3,4），试求|PB|＋|PF|的最小值．

解　由题意可知点（3,4）在抛物线的外部．

∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，

∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝

＝＝2，

即|PB|＋|PF|的最小值为2.

2．若将本例中的条件改为：

已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值．

解　由题意知，抛物线的焦点为F（1,0）．

点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，

所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.

易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋|PF|的最小值为＝3，

所以d1＋d2的最小值为3－1.

思维升华　与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．

　设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A（－1,1）的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．

答案　

解析　如图，易知抛物线的焦点为F（1,0），准线是x＝－1，

由抛物线的定义知：

点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．

于是，问题转化为在抛物线上求一点P，

使点P到点A（－1,1）的距离与点P到F（1,0）的距离之和最小，

显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，

此时最小值为＝.

题型二　抛物线的标准方程和几何性质

命题点1　求抛物线的标准方程

例2　已知双曲线C1：

－＝1（a>0，b>0）的离心率为2.若抛物线C2：

x2＝2py（p>0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为（　　）

A．x2＝yB．x2＝y

C．x2＝8yD．x2＝16y

答案　D

解析　∵－＝1的离心率为2，

∴＝2，即＝＝4，∴＝3，＝.

x2＝2py（p>0）的焦点坐标为，－＝1的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.由题意得＝2，∴p＝8.故C2的方程为x2＝16y.

命题点2　抛物线的几何性质

例3　已知抛物线y2＝2px（p>0）的焦点为F，A（x1，y1），B（x2，y2）是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：

（1）y1y2＝－p2，x1x2＝；

（2）＋为定值；

（3）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．

证明　

（1）由已知得抛物线焦点坐标为（，0）．

由题意可设直线方程为x＝my＋，代入y2＝2px，

得y2＝2p，即y2－2pmy－p2＝0.（*）

则y1，y2是方程（*）的两个实数根，所以y1y2＝－p2.

因为y＝2px1，y＝2px2，所以yy＝4p2x1x2，

所以x1x2＝＝＝.

（2）＋＝＋

＝.

因为x1x2＝，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式，

得＋＝＝（定值）．

（3）设AB的中点为M（x0，y0），分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，则|MN|＝（|AC|＋|BD|）＝（|AF|＋|BF|）＝|AB|.

所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．

思维升华　

（1）求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．

（2）在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．

（1）（2016·全国乙卷）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为（　　）

A．2B．4C．6D．8

（2）若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为3，延长PF交抛物线于Q，若O为坐标原点，则S△OPQ＝________.

答案　

（1）B　

（2）

解析　

（1）不妨设抛物线C：

y2＝2px（p>0），则圆的方程可设为x2＋y2＝r2（r>0），如图，

又可设A（x0,2），

D，

点A（x0,2）在抛物线y2＝2px上，∴8＝2px0，①

点A（x0,2）在圆x2＋y2＝r2上，∴x＋8＝r2，②

点D在圆x2＋y2＝r2上，

∴5＋2＝r2，③

联立①②③，解得p＝4，即C的焦点到准线的距离为p＝4，故选B.

（2）如图所示，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为（1,0）．

又|PF|＝3，由抛物线定义知：

点P到准线x＝－1的距离为3，

∴点P的横坐标为2.将x＝2代入y2＝4x，得y2＝8，

由图知点P的纵坐标y＝2，

∴P（2,2），∴直线PF的方程为y＝2（x－1）．

方法一　联立直线与抛物线的方程

解之得或

由图知Q（，－），∴S△OPQ＝|OF|·|yP－yQ|

＝×1×|2＋|＝.

方法二　将y＝2（x－1）代入y2＝4x，

得2x2－5x＋2＝0，

∴x1＋x2＝，∴|PQ|＝x1＋x2＋p＝，

O到PQ的距离d＝，

∴S△OPQ＝×|PQ|×d

＝××＝.

题型三　直线与抛物线的综合问题

命题点1　直线与抛物线的交点问题

例4　已知抛物线C：

y2＝8x与点M（－2,2），过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点．若·＝0，则k＝________.

答案　2

解析　抛物线C的焦点为F（2,0），则直线方程为y＝k（x－2），与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2－（4k2＋8）x＋4k2＝0.设点A（x1，y1），B（x2，y2）．

则x1＋x2＝4＋，x1x2＝4.

所以y1＋y2＝k（x1＋x2）－4k＝，

y1y2＝k2[x1x2－2（x1＋x2）＋4]＝－16.

因为·＝（x1＋2，y1－2）·（x2＋2，y2－2）＝（x1＋2）（x2＋2）＋（y1－2）（y2－2）＝x1x2＋2（x1＋x2）＋y1y2－2（y1＋y2）＋8＝0，

将上面各个量代入，化简得k2－4k＋4＝0，所以k＝2.

命题点2　与抛物线弦的中点有关的问题

例5　（2016·全国丙卷）已知抛物线C：

y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．

（1）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：

AR∥FQ；

（2）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．

（1）证明　由题意知，F，设l1：

y＝a，l2：

y＝b，则ab≠0，且A，B，P，Q，R.

记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－（a＋b）y＋ab＝0.

由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.

记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则k1＝＝＝＝－＝－b＝＝k2.

所以AR∥FQ.

（2）解　设过AB的直线为l，设l与x轴的交点为D（x1,0），

则S△ABF＝|b－a||FD|＝|b－a|，

S△PQF＝.

由题意可得|b－a|＝，所以x1＝1，x1＝0（舍去）．

设满足条件的AB的中点为E（x，y）．

当AB与x轴不垂直时，由kAB＝kDE可得＝（x≠1）．而＝y，所以y2＝x－1（x≠1）．

当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E点坐标为（1,0），

所以，所求轨迹方程为y2＝x－1（x≠1）．

思维升华　

（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．

（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．

（3）涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．

提醒：

涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．

　（2016·天津模拟）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过点M（4,0）．

（1）若点F到直线l的距离为，求直线l的斜率；

（2）设A，B为抛物线上两点，且AB不垂直于x轴，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：

线段AB中点的横坐标为定值．

（1）解　由已知，得x＝4不合题意，

设直线l的方程为y＝k（x－4），

由已知，得抛物线C的焦点坐标为（1,0），

因为点F到直线l的距离为，

所以＝，解得k＝±，

所以直线l的斜率为±.

（2）证明　设线段AB中点的坐标为N（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），

因为AB不垂直于x轴，

则直线MN的斜率为，

直线AB的斜率为，

直线AB的方程为y－y0＝（x－x0），

联立方程

消去x得（1－）y2－y0y＋y＋x0（x0－4）＝0，

所以y1＋y2＝，因为N是AB中点，所以＝y0，

即＝y0，所以x0＝2，

即线段AB中点的横坐标为定值2.

6．直线与圆锥曲线问题的求解策略

典例　（12分）已知抛物线C：

y＝mx2（m>0），焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.

（1）求抛物线C的焦点坐标；

（2）若抛物线C上有一点R（xR,2）到焦点F的距离为3，求此时m的值；

（3）是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？

若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

思维点拨　（3）中证明·＝0.

规范解答

解　

（1）∵抛物线C：

x2＝y，∴它的焦点F（0，）．[2分]

（2）∵|RF|＝yR＋，∴2＋＝3，得m＝.[4分]

（3）存在，联立方程

消去y得mx2－2x－2＝0，

依题意，有Δ＝（－2）2－4×m×（－2）>0⇒m>－.[6分]

设A（x1，mx），B（x2，mx），则（*）

∵P是线段AB的中点，∴P（，），

即P（，yP），∴Q（，）．[8分]

得＝（x1－，mx－），＝（x2－，mx－），

若存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，则·＝0，

即（x1－）·（x2－）＋（mx－）（mx－）＝0，[10分]

结合（*）化简得－－＋4＝0，

即2m2－3m－2＝0，∴m＝2或m＝－，

而2∈（－，＋∞），－∉（－，＋∞）．

∴存在实数m＝2，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形．[12分]

解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤：

第一步：

联立方程，得关于x或y的一元二次方程；

第二步：

写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围（或指出直线过曲线内一点）；

第三步：

根据题目要求列出关于x1x2，x1＋x2（或y1y2，y1＋y2）的关系式，求得结果；

第四步：

反思回顾，查看有无忽略特殊情况．

1．（2017·太原月考）若抛物线y＝ax2的焦点坐标是（0,1），则a等于（　　）

A．1B.C．2D.

答案　D

解析　因为抛物线的标准方程为x2＝y，

所以其焦点坐标为（0，），则有＝1，a＝，故选D.

2．已知抛物线y2＝2px（p>0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（　　）

A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－2

答案　B

解析　∵y2＝2px（p>0）的焦点坐标为（，0），

∴过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，

即x＝y＋，将其代入y2＝2px，得y2＝2py＋p2，

即y2－2py－p2＝0.设A（x1，y1），B（x2，y2），

则y1＋y2＝2p，∴＝p＝2，

∴抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.

3．（2016·绵阳模拟）已知直线l1：

4x－3y＋6＝0和直线l2：

x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和l2的距离之和的最小值为（　　）

A.B.C．3D．2

答案　D

解析　直线l2：

x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，

抛物线y2＝4x的焦点为F（1,0），

则点P到直线l2：

x＝－1的距离等于|PF|，

过点F作直线l1：

4x－3y＋6＝0的垂线，

和抛物线的交点就是点P，

所以点P到直线l1：

4x－3y＋6＝0的距离和直线l2：

x＝－1的距离之和的最小值就是点F（1,0）到直线l1：

4x－3y＋6＝0的距离，

所以最小值为＝2，故选D.

4．已知抛物线y2＝2px（p>0）的焦点弦AB的两端点坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则的值一定等于（　　）

A．－4B．4C．p2D．－p2

答案　A

解析　①若焦点弦AB⊥x轴，

则x1＝x2＝，∴x1x2＝；

∴y1＝p，y2＝－p，∴y1y2＝－p2，∴＝－4.

②若焦点弦AB不垂直于x轴，

可设AB的直线方程为y＝k（x－），

联立y2＝2px，得k2x2－（k2p＋2p）x＋＝0，

则x1x2＝.∴y1y2＝－p2.故＝－4.

5．（2016·九江一模）过抛物线y2＝8x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交抛物线的准线于点C，若|AF|＝6，＝λ，则λ的值为（　　）

A.B.C.D．3

答案　D

解析　设A（x1，y1）（y1>0），B（x2，y2），C（－2，y3），

则x1＋2＝6，解得x1＝4，则y1＝4，

则直线AB的方程为y＝2（x－2），令x＝－2，

得C（－2，－8），联立

解得或

则B（1，－2），∴|BF|＝1＋2＝3，|BC|＝9，

∴λ＝3，故选D.

*6.（2016·济南模拟）已知直线y＝k（x＋2）（k>0）与抛物线C：

y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k的值为（　　）

A.B.C.D.

答案　C

解析　抛物线C的准线为l：

x＝－2，

直线y＝k（x＋2）恒过定点P（－2，0），

如图，过A，B分别作AM⊥l于M，

BN⊥l于N，由|FA|＝2|FB|，得|AM|＝2|BN|，

从而点B为AP的中点，连接OB，

则|OB|＝|AF|，所以|OB|＝|BF|，

从而点B的横坐标为1，点B的坐标为（1,2），

所以k＝＝，故选C.

7．设F为抛物线C：

y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝________.

答案　12

解析　焦点F的坐标为，

方法一　直线AB的斜率为，

所以直线AB的方程为y＝，

即y＝x－，代入y2＝3x，得x2－x＋＝0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝，

所以|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12.

方法二　由抛物线焦点弦的性质可得

|AB|＝＝＝12.

8．已知抛物线C：

y2＝2px（p>0）的准线为l，过M（1,0）且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若＝，则p＝________.

答案　2

解析　如图，由AB的斜率为，

知∠α＝60°，又＝，

∴M为AB的中点．

过点B作BP垂直准线l于点P，

则∠ABP＝60°，∴∠BAP＝30°，

∴|BP|＝|AB|＝|BM|.

∴M为焦点，即＝1，∴p＝2.

9．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：

y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝________.

答案　6

解析　抛物线y2＝8x的焦点为（2,0），

准线方程为x＝－2.

设椭圆方程为＋＝1（a>b>0），

由题意，c＝2，＝，

可得a＝4，b2＝16－4＝12.

故椭圆方程为＋＝1.

把x＝－2代入椭圆方程，解得y＝±3.

从而|AB|＝6.

10．（2016·大连模拟）已知抛物线C：

y2＝4x的焦点为F，准线为l，过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若△AMF与△AOF（其中O为坐标原点）的面积之比为3∶1，则点A的坐标为__________．

答案　（2，±2）

解析　如图所示，由题意，可得|OF|＝1，由抛物线的定义，

得|AF|＝|AM|，

∵△AMF与△AOF（其中O为坐标原点）的面积之比为3∶1，

∴＝＝3，

∴|AF|＝|AM|＝3，设A，

∴＋1＝3，∴＝2，y0＝±2，

∴点A的坐标是（2，±2）．

11．（2016·沈阳模拟）已知过抛物线y2＝2px（p>0）的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1

（1）求该抛物线的方程；

（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．

解　

（1）直线AB的方程是y＝2（x－），与y2＝2px联立，

从而有4x2－5px＋p2＝0.

所以x1＋x2＝，由抛物线定义得

|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p＝9，

所以p＝4，从而抛物线方程为y2＝8x.

（2）由于p＝4，则4x2－5px＋p2＝0，

即x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，

于是y1＝－2，y2＝4，

从而B（4,4）．设C（x3，y3），

则＝（x3，y3）＝（1，－2）＋λ（4,4）

＝（4λ＋1,4λ－2）．

又y＝8x3，即[2（2λ－1）]2＝8（4λ＋1），

整理得（2λ－1）2＝4λ＋1，

解得λ＝0或λ＝2.

12．抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．

（1）若＝2，求直线AB的斜率；

（2）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．

解　

（1）依题意知F（1,0），

设直线AB的方程为x＝my＋1.

将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得

y2－4my－4＝0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），

所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.①

因为＝2，所以y1＝－2y2.②

联立①和②，消去y1，y2，得m＝±.

所以直线AB的斜率是±2.

（2）由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，

从而点O与点C到直线AB的距离相等，

所以四边形OACB的面积等于2S△AOB.

因为2S△AOB＝2×·|OF|·|y1－y2|

＝＝4，

所以当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.

*13.（2016·郑州模拟）如图，已知两条抛物线E1：

y2＝2p1x（p1>0）和E2：

y2＝2p2x（p2>0），过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点．

（1）证明：

A1B1∥A2B2；

（2）过O作直线l（异于l1，l2）与E1，E2分别交于C1，C2两点，记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值．

（1）证明　设直线l1，l2的方程分别为y＝k1x，y＝k2x（k1，k2≠0），

由得A1（，），

由得A2（，）．

同理可得B1（，），B2（，）．

所以＝（－，－）

＝2p1（－，－）．

＝（－，－）

＝2p2（－，－）．

故＝，所以A1B1∥A2B2.

（2）解　由

（1）知A1B1∥A2B2，