四点共圆例题及答案.docx

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四点共圆例题及答案

证明四点共圆的基本方法

　　证明四点共圆有下述一些基本方法：

方法1

　　从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．

方法2

　　把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆．（若能证明其两顶角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。

）

方法3

　　把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．

方法4

　　把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．（根据托勒密定理的逆定理）

方法5

　　证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．

　　上述五种基本方法中的每一种的根据，就是产生四点共圆的一种原因，因此当要求证四点共圆的问题时，首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这五种基本方法中选择一种证法，给予证明．

例1如图，E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点．求证：

E、F、G、H四点共圆．

　　证明菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，连接OE、OF、OG、OH．

　　∵AC和BD互相垂直，

　　∴在Rt△AOB、Rt△BOC、Rt△COD、Rt△DOA中，E、F、G、H，分别是AB、BC、CD、DA的中点，

　　即E、F、G、H四点共圆．

（2）若四边形的两个对角互补（或一个外角等于它的内对角），则四点共圆．

　　例2如图，在△ABC中，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC．

　　求证：

B、E、F、C四点共圆．　　

　　证明∵DE⊥AB，DF⊥AC，

　　∴∠AED＋∠AFD=180°，

　　即A、E、D、F四点共圆，

　　∠AEF=∠ADF．

　　又∵AD⊥BC，∠ADF＋∠CDF=90°，

　　∠CDF＋∠FCD=90°，

　　∠ADF=∠FCD．

　　∴∠AEF=∠FCD，

　　∠BEF＋∠FCB=180°，

　　即B、E、F、C四点共圆．

　　（3）若两个三角形有一条公共边，这条边所对的角相等，并且在公共边的同侧，那么这两个三角形有公共的外接圆．

【例1】在圆内接四边形ABCD中，∠A-∠C=12°，且∠A∶∠B=2∶3．求∠A、∠B、∠C、∠D的度数．

　　解∵四边形ABCD内接于圆，

　　∴∠A+∠C=180°．

　　∵∠A-∠C=12°，

　　∴∠A=96°，∠C=84°．

　　∵∠A∶∠B=2∶3，

　　∠D=180°-144°=36°．

　　利用圆内接四边形对角互补可以解决圆中有关角的计算问题．

　　本例利用圆内接四边形的一个外角等于内对角及平行线的同位角、圆中同弧所对的圆周角得到两个相似三角形的条件，进而得到结论．

　　关于圆内接四边形的性质，还有一个重要定理．现在中学课本一般都不列入，现介绍如下：

　　命题“菱形都内接于圆”对吗？

　　命题“菱形都内接于圆”是不正确的．所以是假命题．理由是：

根据圆的内接四边形的判定方法之一，如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆．这个判定的前提是一组对角互补，而菱形的性质是一组对角相等．而一组相等的角，它们的内角和不一定是180°．如果内角和是180°，而且又相等，那么只可能是每个内角等于90°，既具有菱形的性质，且每个内角等于90°，那末这个四边形一定是正方形．而正方形显然是菱形中的特例，不能说明一般情形．

　　判定四边形内接于圆的方法之二，是圆心到四边形四个顶点的距离相等．圆既是中心对称图形，又是轴对称图形，它的对称中心是圆心．菱形同样既是中心对称图形，又是轴对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点．但菱形的对称中心到菱形各个顶点的距离不一定相等．所以，也无法确定菱形一定内接于圆；如果菱形的对称中心到菱形各边顶点的距离相等，再加上菱形的对角线互相垂直平分这些性质，那么这个四边形又必是正方形．

　　综上所述，“菱形都内接于圆”这个命题是错误的．

5圆的内接四边形

例1 已知：

如图7-90，ABCD是对角线互相垂直的圆内接四边形，通过对角线的交点E与AB垂直于点H的直线交CD于点M．求证：

CM=MD．

证明 ∠MEC与∠HEB互余，∠ABE与∠HEB互余，所以∠MEC=∠ABE．又∠ABE=∠ECM，所以∠MEC=∠ECM．从而CM=EM．同理MD=EM．所以CM=MD．

点评 本例的逆命题也成立（即图中若M平分CD，则MH⊥AB）．这两个命题在某些问题中有时有用．本例叫做婆罗摩笈多定理．

例2 已知：

如图7-91，ABCD是⊙O的内接四边形，AC⊥BD，

分析一 如图7-91（a），由于E是AB的中点，从A引⊙O的

需证明GB=CD．但这在第七章ξ1.4圆周角中的例3已经证明了．

证明读者自己完成．

*分析二 如图7-91（b），设AC，BD垂直于点F．取CD的

有OE∥MF．从而四边形OEFM应该是平行四边形．证明了四边形OEFM是平行四边形，问题也就解决了．而证明四边形OEFM是平行四边形已经没有什么困难了．

*分析三 如图7-91（b），通过AC，BD的交点F作AB的垂线交CD于点M．连结线段EF，MO．由于OE⊥AB，FM⊥AB，所以OE∥FM．又由于EF⊥CD（见例1的点评），MO⊥CD，所以EF∥MO．所以四边形OEFM为平行四边形．从而OE=MF，而由

意一点．求证：

PA=PB+PC．

分析一 本例是线段和差问题，因此可用截取或延长的方法证明．如图7-93（a），在PA上取点M，使PM=PB，剩下的问题是证明MA=PC，这只要证明△ABM≌△CBP就可以了．

证明读者自己完成．

分析二 如图7-93（a），在PA上取点M，使MA=PC，剩下的问题是证明PM=PB，这只要证明△BPM是等边三角形就可以了．

证明读者自己完成．

分析三 如图7-93（b），延长CP到M，使PM=PB，剩下的问题是证明PA=MC，这只要证明△PAB≌△CMB就可以了．

证明读者自己完成．

读者可仿以上的方法拟出本例的其他证明．

*本例最简单的证明是利用托勒玫定理（例3）．

证明 由托勒玫定理得PA·BC=PB·AC+PC·AB，由于BC=AC=AB，所以有PA=PB+PC．

例2如图7—116，⊙O1和⊙O2都经过A、B两点，经过点A的直线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D．经过点B的直线EF与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F．

　　求证：

CE∥DF．

　　分析：

要证明CE∥DF．考虑证明同位角（或内错角）相等或同旁内角互补．由于CE、DF分别在两个圆中，不易找到角的关系，若连结AB，则可构成圆内接四边形，利用圆内接四边形的性质定理可沟通两圆中有关角的关系．

　　证明：

连结AB．

　　∵ABEC是圆内接四边形，

　　∴∠BAD=∠E．

　　∵ADFB是圆内接四边形，

　　∴∠BAD＋∠F=180°，

　　∴∠E＋∠F=180°．

　　∴CE∥CF．

　　说明：

（1）本题也可以利用同位角相等或内错角相等，两直线平行证明．如延长EF至G，因为∠DFG=∠BAD，而∠BAD=∠E，所以∠DFG=∠E．

（2）应强调本题的辅助线是为了构成圆内接四边形，以利用它的性质，导出角之间的关系．

　　（3）对于程度较好的学生，还可让他们进一步思考，若本题不变，但不给出图形，是否还有其他情况？

　　问题提出后可让学生自己画图思考，通过讨论明确本题还应有如图7—117的情况并给予证明．

例3如图7—118，已知在△ABC中，AB=AC，BD平分∠B，△ABD的外接圆和BC交于E．求证　：

AD=EC．

　　分析：

要证AD=EC，不能直接建立它们的联系，考虑已知条件可知∠ABD=

　　∠DBE，容易看出

．若连结DE，则有AD=DE．因此只要证DE=EC．由于DE和EC为△DEC的两边，所以只要证∠EDC=∠C．由已知条件可知∠C=∠ABC．因此只要证∠EDC=∠ABC．因为△EDC是圆内接四边形ABED的一个外角，所以可证∠EDC=∠ABC．问题可解决．

　　证明：

连结DE．∵BD平分∠ABC，

　　∴

，AD=DE．

　　∵ABED是圆内接四边形，

　　∴∠EDC=∠ABC．

　　∵AB=AC，

　　∴∠ABC=∠C，∴∠EDC＝∠C．

　　于是有DE=EC．因此AD=EC．

四、作业

　　1．如图7—120，在圆内接四边形ABCD中，AC平分BD，并且AC⊥BD，∠BAD=70°18′，求四边形其余各角．

　　2．圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数的比为2∶3∶6，求四边形各内角的度数．

　　3．如图7—121，AD是△ABC外角∠EAC的平分线，AD与三角形的外接圆交于点D．求证：

DB=DC．

　　作业答案或提示：

　　1．∠ABC=∠ADC=90°，∠BCD=109°42′．

　　2．∠A=45°，∠B=67.5°，∠C=135°，∠D=112.5°．

　　3．提示：

因为∠DBC=∠DAC，∠EAD=∠DCB，∠EAD=∠DAC，所以∠DBC=∠DCB，因此DB=DC．

判定四点共圆的方法

　　引导学生归纳判定四点共圆的方法：

（1）如果四个点与一定点距离相等，那么这四个点共圆．

（2）如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．

　　（3）如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．

　　（4）如果两个直角三角形有公共的斜边，那么这两个三角形的四个顶点共圆（因为四个顶点与斜边中点距离相等）．

3．如图7—124，已知ABCD为平行四边形，过点A和B的圆与AD、BC分别交于E、F．

　　求证：

C、D、E、F四点共圆．

提示

连结EF．由∠B+∠AEF=180°，∠B＋∠C=180°，可得∠AEF=∠C．

四点共圆的应用

　　四点共圆在平面几何证明中应用广泛，熟悉这种应用对于开阔证题思路，提高解题能力都是十分有益的．

　　一用于证明两角相等

　　例1如图1，已知P为⊙O外一点，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交AB于E．求证：

∠APC＝∠BPD．

　　证明连结OA，OC，OD．由射影定理，得AE2=PE·EO，又AE＝BE，则AE·BE＝PE·EO……

（1）；由相交弦定理，得AE·BE＝CE·DE……

（2）；由

（1）、

（2）得CE·ED＝PE·EO，∴P、C、O、D四点共圆，则∠1＝∠2，∠3＝∠4，又∠2=∠4．∴∠1＝∠3，易证∠APC＝∠BPD（∠4＝∠EDO）．

　　二用于证明两条线段相筹

　　例2如图2，从⊙O外一点P引切线PA、PB和割线PDC，从A点作弦AE平行于DC，连结BE交DC于F，求证：

FC＝FD．

　　证明连结AD、AF、EC、AB．∵PA切⊙O于A，则∠1＝∠2．∵AE∥CD，则∠2＝∠4．∴∠1=∠4，∴P、A、F、B四点共圆．∴∠5＝∠6，而∠5＝∠2=∠3，∴∠3＝∠6．∵AE∥CD，∴EC=AD，且∠ECF=∠ADF，∴△EFC≌△AFD，∴FC＝FD．

　　三用于证明两直线平行

　　例3如图3，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∠B的两条三等分线交AD于E、G，交AC于F、H．求证：

EH∥GC．

　　证明连结EC．在△ABE和△ACE中，∵AE＝AE，AB=AC，∠BAE＝∠CAE，∴△AEB≌AEC，∴∠5＝∠1＝∠2，∴B、C、H、E四点共圆，∴∠6＝∠3．在△GEB和△GEC中，∵GE＝GE，∠BEG＝∠CEG，EB＝EC，∴△GEB≌△GEC，∴∠4=∠2＝∠3，∴∠4＝∠6．∴EH∥GC．

　　四用于证明两直线垂直

　　证明在△ABD和△BCE中，∵AB=BC，∠ABD＝∠BCE，BD＝CE，则△ABD≌△BCE，∴∠ADB=∠BEC，∴P、D、C、E四点共圆．设DC的中点为O连结OE、DE．易证∠OEC＝60°，∠DEO＝30°∴∠DEC＝90°，于是∠DPC=90°，∴CP⊥AD．

　　五用于判定切线

例5如图5，AB为半圆直径，P为半圆上一点，PC⊥AB于C，以AC为直径的圆交PA于D，以BC为直径的圆交PB于E，求证：

DE是这两圆的公切线．

　　证明连结DC、CE，易知∠PDC＝∠PEC＝90°，∴P、D、C、E四点共圆，于是∠1=∠3，而∠3＋∠2＝90°，∠A＋∠2=90°，则∠1＝∠A，∴DE是圆ACD的切线．同理，DE是圆BCE的切线．因而DE为两圆的公切线

　　六用于证明比例式

　　例6AB、CD为⊙O中两条平行的弦，过B点的切线交CD的延长线于G，弦PA、PB分别交CD于E、F．

　　证明如图6．连结BE、PG．∵BG切⊙O于B，则∠1=∠A．∵AB∥CD，则∠A＝∠2．于是∠1＝∠2，∴P、G、B、E四点共圆．由相交弦定理，得EF·FG=PF·FB．在⊙O中，由相交弦定理，得CF·FD=FP·FB．

　　七用于证明平方式

　　例7ABCD为圆内接四边形，一组对边AB和DC延长交于P点，另一组对边AD和BC延长交于Q点，从P、Q引这圆的两条切线，切点分别是E、F，（如图7）求证：

PQ2＝QF2＋PE2．

　　证明作△DCQ的外接圆，交PQ于M，连结MC，∵∠1=∠2＝∠3，则P、B、C、M四点共圆．由圆幂定理得PE2＝PC·PD＝PM·PQ，QF2=QC·QB＝QM·QP，两式相加得PE2＋QF2＝PM·PQ＋QM·QP=PQ（PM＋QM）＝PQ·PQ=PQ2

　　∴PQ2=PE2＋QF2．

　　八用于解计算题

　　例8如图8，△ABC的高AD的延长线交外接圆于H，以AD为直径作圆和AB、AC分别交于E、F点，EF交AD于G，若AG=16cm，AH=25cm，求AD的长．

　　解连结DE、DF、BH．∵∠1=∠2＝∠C=∠H，∴B、E、G、H四点共圆．由圆幂定理，得AE·AB＝AG·AN．在△ABD中，∵∠ADB=90°，DE⊥AB，由射影定理，得AD2＝AE·AB，∴AD2＝AG·AH＝16×25＝400，∴AD=20cm．

　　九用于证明三点共线

　　例9如图9，D为△ABC外接圆上任意一点，E、F、G为D点到三边垂线的垂足，求证：

E、F、G三点在一条直线上．

　　证明连结EF、FG、BD、CD．∵∠BED=∠BFD=90°，则B、E、F、D四点共圆，∴∠1＝∠2，同理∠3＝∠4．

　　在△DBE和△DCG中，∵∠DEB＝∠DGC，∠DBE＝∠DCG，故∠1=∠4，易得∠2＝∠3，∴E、F、G三点在一条直线上．

　　十用于证明多点共圆

　　例10如图10，H为△ABC的垂心，H1、H2、H3为H点关于各边的对称点，求证：

A、B、C、H1、H2、H3六点共圆．

　　证明连结AH2，∵H与H2关于AF对称，则∠1=∠2．∵A、F、D、C四点共圆，则∠2＝∠3，于是∠1＝∠3，∴A、H2、B、c四点共圆，即H2在△ABC的外接圆上．同理可证，H1、H3也在△ABC的外接圆上．∴A、B、C、H1、H2、H3六点共圆．