线性代数典型例题.docx
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线性代数典型例题
线性代数
第一章行列式
典型例题
一、利用行列式性质计算行列式
二、按行（列）展开公式求代数余子式
1234
3344
行列式。
4=1U右_=-6,试求41+442与A43+A44.
1567
1122
三、利用多项式分解因式计算行列式
23
、I312—
1-计算。
=
13
13
xbc
»hxc
2.设/（x）=L
OCX
bed
23
15.
19-x2
d
那么方程/（x）=0有根x=.
a
x
四、抽象行列式的计算或证明
1.设四阶矩阵A=［2a,372,4%,74］，3=［尸,272,373,4%］，其中。
，氏%均为四
维列向量，且行列式|A|=2,|例=-3,试计算行列式|A+B|.
2.设A为三阶方阵，A”为A的伴随矩阵，且|A|=,，试计算行列式
2
2F（3A）-1-2A*Oil
OA,
3.设A是〃阶（〃22）非零实矩阵，元素%与其代数余子式.相等，求行列式|A|.
JJ
'210-
4,设矩阵人=120，矩阵B满足A84'=284*+E,那么|例二.
001
5.设%%%均为3维列向量,记矩阵
A=（a],a2,a.）,B=（a]+a2+a^a}+2a24a,a}+3a2+9aJ
如果|4|=1,那么|5|=.
五、〃阶行列式的计算
六、利用特征值计算行列式
L假设四阶矩阵A与8相似，矩阵A的特征值为，一，,，那么行列式
2345
\B-l-E\=.
2.设A为四阶矩阵，且满足|2石+4=0,又A的三个特征值分别为-1,1,2,试计
算行列式|2A*+3E|.
第二章矩阵
典型例题
一、求逆矩阵
1.设A,民A+8都是可逆矩阵，求：
（A-i+BT）」
2
二、讨论抽象矩阵的可逆性
1.设〃阶矩阵A满足关系式A'+A?
-A-石=0,证明A可逆，并求Al
2.4=2旦8=1-2A+2E,证明B可逆，并求出逆矩阵。
3,设A=£+xy/，其中均为〃维列向量，且/>=2,求A的逆矩阵。
4.设为〃阶矩阵，且石-A8可逆，证明石-84也可逆。
三、解矩阵方程
AXA+BXB=AXB^BXA+E,求X.
四、利用伴随矩阵进行计算或证明
L证明以下等式
⑴（H）*二⑷,；⑵假设|A|w0,那么⑷）*=（父尸；
⑶|A快0,那么[缶7）,]*=[（A*），]，
⑷|A|w0,那么（加）"=kn-lA\kw0,A为邢介矩阵）；
⑸假设AB为同阶可逆矩阵,那么（AB）*=3*A*.
3.设矩阵A=（%）女3满足4=A，,假设即必2，阳为三个相等正数，那么
五、关于初等矩阵和矩阵的秩（看教材）
第三章矩阵
典型例题
一、判断向量组的线性相关性
1.设%.=（%,区2,…，%）/（»=1，2,…是〃维实向量，且四,%，…，火线性无
关，力=也也,…,么）丁是线性方程组
=0
=0
’4西+42工2+3+%/〃
a2\X\^a22X2^''^a2nXn
cir^+ar2x2+--+arnxn=0
的非零解向量，试判断向量组四,％，…,火，尸的线性相关性。
2.设。
〃是几个〃维的线性无关向量，。
〃+1=匕?
+32+一+3”,其中
4次2,…次“全不为零，证明囚,。
2,…,%+1中任意〃个向量均无关。
列向量组线性相关。
4.设。
T为九-1个线性无关的〃维列向量，和^2是与…，%T均
正交的〃维非零列向量，证明m4、与线性相关；
（2）。
线
性相关。
二、把一个向量用一组向量线性表示
4］玉+al2x2+・・・+q〃x〃=0
证明线性方程组0+研+•••+%/〃=0的解都是
.4〃内+6”2%+~+4,〃£,二°
力内+4工2+…+23〃=。
的解的充要条件是P是%,a?
1、%1的线性组合，其中
0=3也,…,b），%=（%,/2,…，%,）。
=1，2,…，⑼・
三、求向量组的秩
1.给定一个向量组，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线
性表示。
2.向量组⑴al9a2,a3；
（2）%,%，%，%；（3）%,%，%，%•如果各向量组的
秩分别是3、3、4,证明：
向量组%的秩为4.
四、有关矩阵秩的命题
1.设A为〃2X”实矩阵，证明：
R（A）=/?
（A7A）.
2.设4为〃阶方阵，且满足4=4+2后，证明：
R（A—2E）+R（A+E）=〃.
综合题
1.设A为用义〃矩阵,8为九x（〃一〃?
）矩阵,且43=0,/?
（A）=m,R（B）=n-m,
设a是满足Ar=0的一个〃维向量，证明：
存在唯一的一个（〃-加）维列向量?
，
使a=B夕.
求向量/+%，%+丫名线性相关的概率。
第四章线性方程组
典型例题
一、根本概念题（解的判定、性质、结构）
二、含有参数的线性方程组的求解
三、抽象线性方程组求解
《西+…+…+牝后=。
1.线性方程组：
（I）
4“苔+4〃2冗2+.一+4，,2〃工2〃=0
的一个根底解系为（外也，…，瓦2“）丁，（多也2,…也.2厅，…，（第也2,…也,2尸•试写出
加%+々2%+…+42〃％“二。
线性方程组：
（II）为%+%%+,,・+%2也“=。
的通解,并说明理由。
如弘+勿2%+—・+第2/2〃二（）
2.4阶方阵人=（%,%,巴，。
4），%，。
2，。
3，。
4均为4维列向量，其中%,%，%线性无
关，%=2%-%,如果〃=/+%+%+%，求线性方程组Av=/的通解。
四、讨论两个方程组的公共解
X1+W+工3=0
L设线性方程组,X]+2%+以3=0与方程为+2%+工3=。
-1有公共解，求4的值
X]+4x2+crx3=0
及所有公共解。
*
%1+x2-2x4=-6x}+mx2-x3-x4=-
2.以下非齐次线性方程组（I）<4^—x2——x4=1,（II）*nx2——2x4=—11
（1）求解方程组（I）,用其导出组的根底解系表示通解;
⑵当方程组（II）中的参数〃2,为何值时，方程组⑴与（II）同解。
3,设4,3都是〃阶级矩阵，且+证明齐次方程组Ar=O与&=0有
非零公共解。
五、讨论两个方程组解之间的关系
1.Ar=（）与A，U=0的解的关系。
2.设有齐次线性方程组Ar=（）与&=（）,其中A8都是〃zx〃矩阵，现有4个命
题：
①假设Ar=0的解均是Bx=0的解，那么r（A）>r（B）；
②假设r（A）>r（B）,那么Ar=0的解均是&=0的解;
③假设Ar=0与a=0同解，那么r（A）=«5）；
④假设r（A）=r（B），那么Ax=0与Bx=0同解。
以上命题中正确的选项是：
（A）①②（B）①③（C）②④（D）③④
求心=0的通解。
通解。
七、有关根底解系的讨论
1.设%,%，…,g为线性方程组Ay=O的一个根底解系，
0\=，乌+12a2，/?
2=4%+，2。
3，…，6仁+
其中4名为实常数，试问乙4满足什么关系时，以，四，…，氏也为-=0的一个根
底解系？
2•假设矩阵A的秩为小其尸个列向量为某一齐次线性方程组的一个根底解系，B
为厂阶非奇异矩阵，证明：
A5的厂个列向量也是该齐次线性方程组的一个根底
解系。
3.设二是非齐次线性方程组Ar=〃的一个解，7,」是其导出组的一个根
底解系，证明：
（1）…,7—线性无关；
⑵二七"+"3*+%,・・苫*+%_，是方程组4=〃的〃--+1个线性无关的解；
（3）方程组的任一解x,都可以表示为这〃--+1个解的线性组合，而且
组合系数之和为1.
八、有关A8=0的应用
-12-2
1,方阵A=2-14,三阶方阵8wO满足AB=O,试求4的值。
_31-1
-123一
2.3阶矩阵A的第一行是（a/,c）,不全为零，矩阵8=246为常
_36k
数），且AB=O,求线性方程组Ax=O的通解。
综合题
1.设矩阵A=（%“=1,证明：
存在常数3使得（4）2=公*.
2.72维向量四,中，前个向量线性相关，后〃—1个向量线性无关，又
/?
=«+%+…+a〃矩阵A=[%,%，…,%]是〃阶矩阵，证明方程组Av=力必有无
穷多解，且其任一解（卬必,…4）7"中必有％=1.
3.设〃阶方阵A的列向量组为四,火，…，%，"阶方阵3的列向量组为：
ax+%，%+%「♦•，%+%
试问当r（A）=〃时，齐次线性方程组及=0是否有非零解？
并证明你的结论。
4.设A为mx〃矩阵，B为〃xs矩阵，且«A）=〃，证明：
r（AB）=r（B）.
5.设A=（%）3x3是实矩阵，满足：
⑴4=%（，,）=1,2,3）,其中为为元素%的代数余子式；
⑵a33=—1；⑶|/4|=1
求非齐次线性方程组Ax=（0,0,1/的解。
6.6=3],02，%，。
4）是4阶矩阵,%,%%，%是4维列向量,假设方程组=4
的通解是（1,2,2,1/+4,0尸，又<=（%a?
%,2-%），求方程组&=%-%
的通解。
7,设4、8为mx〃矩阵，证明齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解的充要条件
是A、B的行向量组等价。
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