必修一第二章《函数》教学案.docx
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必修一第二章《函数》教学案
必修一第二章《函数》教学案
必修一第二章函数--教学案
2.1.1函数
（一）变量与函数的概念
学习目标
1.了解并掌握函数的概念和函数的要素，并会求一些简单函数的定义域和值域，注意搜集日常生活中的实例，整理与分析量与量之间的关系，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。
2.记录，了解函数模型的广泛应用，树立数学应用观点
自主学习
1.变量的概念：
在一个变化过程中，有两个变量x和y,如果给定了一个x值，相应的就确定唯一的一个y值，那么就称y是x的函数。
叫自变量，叫因变量。
例1、s=πr2其中r是，是。
例2、=其中是，是。
2.函数的概念：
设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，
都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数。
记作：
y=f（x）,xA。
其中叫。
3.定义域：
函数中自变量x的允许取值范围
例3、求下列函数的定义域：
1）2）3）f（x）=4、函数的值域：
如果自变量取值，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，
记作：
y=f（a）,或y︱x=a，所有的函数值构成的集合{y︱y=f（x）,x},叫做这个函数的值域。
例4、求函数，，在处的函数值和函数的值域。
例5、已知函数f（x）=1－,求f（0）,f（-2）,f（15）。
5、函数的三要素：
关于函数定义的理解：
①定义域、对应关系是决定函数的二要素，是一个整体，值域由定义域、对应法则唯一确定；
②f（x）与f（a）不同：
f（x）表示"y是x的函数";f（a）表示特定的函数值。
常用f（a）表示函数y=f（x）当x=a时的函数值；
③f（x）是表示关于变量x的函数，又可以表示自变量x的对应函数值，是一个整体符号，不能分开.符号f可以看做是对"x"施加的某种运算步骤或指令.例如，f（x）=3x2，表示对x施加"平方后再扩大3倍"的运算。
函数还可以用g（x）,F（x）来表示.
④函数的定义域是自变量x的取值范围，它是构成函数的重要组成部分，解析式后如果没有标明定义域，则认为定义域是使函数解析式有意义的x的集合，如果函数是由几个部分组成，那么函数的定义域是使各部分有意义的交集，在研究实际问题时，函数的定义域要受到实际意义的制约.
例6判断下列命题正确与否：
1、函数值域中的每一个数都有定义域中的数与之对应.
2、函数的定义域和值域一定是无限集合.
3、定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定.
4、若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素.
5、对于不同的x,y的值也不同.
6、f（a）表示当x=a时，函数f（x）的值，是一个常量.
例7：
求函数的解析式
1）已知函数f（x）=，求f（x-1）。
2）已知函数f（x-1）=，求f（x）。
6、如何检验给定两个变量之间是否具有函数关系？
（1）定义域和对应法则是否给定；
（2）根据给出的对应法则，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值y.
7、区间的概念：
设且ab，
，叫闭区间，记作：
，叫开区间，记作：
叫半开半闭区间，分别记作：
其中a与b叫做区间的。
例8、分别满足的全体实数的集合分别记作：
，
，。
注意：
在数轴上表示区间时，属于这个区间端点的实数，用实心点表示，不属于这个区间端点的实数，用空心点表示。
8、相同函数：
函数与函数之间只要定义域和对应法则都相同，就是同一函数.定义域是函数的灵魂，而对应法则相当于骨骼。
例9下列各组式子是否表示同一函数？
为什么？
1）f（x）=，（t）=;2）;3）,;4）,;例10：
求下列函数的定义域：
1）；2）；
3）已知函数f（x）=3x－4的值域为[－10，5]，则其定义域为
小结：
求函数的定义域，就是求使这个解析式有意义的自变量的取值的集合，一般转化为解不等式（或不等式组）
例11：
求函数f（x）=3x－1（｛x|｝）的值域。
例12：
已知函数f（x）=（a,b为常数，且a）满足f
（2）=1,方程f（x）=x有唯一解，求函数f（x）的解析式，并求f[f（-3）]的值。
快乐体验
１．下列每对函数是否表示同一函数？
（１）ｆ（ｘ）＝，ｇ（ｘ）＝１.
（2）ｆ（ｘ）＝ｘ，ｇ（ｘ）＝
（２）ｆ（ｔ）＝，ｇ（ｘ）＝
２．求下列函数的定义域，并用区间表示
（１）ｆ（ｘ）＝.
（2）ｆ（ｘ）＝.
（３）ｆ（ｘ）＝.（4）f（x）＝
3．设ｆ（ｘ）＝，则ｆ（ｘ）＋ｆ＝（
）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ． １
Ｄ． ０
4.当定义域是
时，函数ｆ（ｘ）＝与ｇ（ｘ）＝表示同一函数。
5、求函数ｙ＝的值域。
6、设函数
7、已知函数ｆ（ｘ）＝
（１）当ｘ＝４时，求ｆ（ｘ）
（２）若ｆ（ｘ）＝２，求ｘ的值。
8、
（1）若函数f（x）的定义域为（1,2），求函数f（3x+1）的定义域；
（2）若函数f（3x+1）的定义域为（1,2），求函数f（x）的定义域.
9、设f（x）=2x?
3g（x）=x2+2则称f[g（x）]（或g[f（x）]）为复合函数。
f[g（x）]=2（x2+2）?
3=2x2+1
g[f（x）]=（2x?
3）2+2=4x2?
12x+11
求复合函数f[f（x）]和g[g（x）]并指出这两个函数的自变量是什么?
10、若函数的定义域为[?
1，1]，求函数的定义域。
（二）映射与函数
学习目标：
1、了解映射及一一映射的概念；
2、理解映射与函数关系
知识疏理：
1、映射的定义：
设Ａ.Ｂ是两个非空的集合，如果按照某种确定的对应法则f，使对于集合Ａ中的任意一个元素x，在集合Ｂ中都有唯一确定的元素y和它对应，那么就称f：
Ａ→Ｂ为从集合Ａ到集合Ｂ的一个映射，记作y＝f（x），x∈Ａ．这时称y是x在映射f的作用下的象，x称作y的原象.
2、一一映射：
如果映射f是A到B的映射，并且对于集合B中的任一元素，在集合A中都有且只有一个原象，则这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射.函数是数集到数集的映射.
自主测评：
1、在下列集合E到集合F的对应中，不能构成E到F的映射是（）
ABCD
2、设集合A和B都是自然数集合N，映射f：
A?
B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n+4，则在映射f下，象20的原象是（）
A、6B、7C、8D、9
3、设f:
A→B是集合A到集合B的映射，下列命题中是真命题的是（）
A.A中不同元素，必有不同的象；B.B中每一个元素，在A中必有原象；
C.A中每一个元素在B中必有象；D.B中每一个元素在A中的原象唯一.
4、已知映射f:
A→B的对应法则是f:
（x,y）→（x+y,x-y）（x,y∈R）,那么与B中元素（2,1）对应的A中元素是（）
A.（3,1）B.（）C.（）D.（1,3）
5、已知集合A={a,b},B={1,2,3},则从A到B的不同映射有几个？
从B到A的不同映射有几个？
A到B上的一一映射有几个？
6、下列对应是不是从A到B的映射？
2.1.2函数的表示方法
学习目标：
1、会用列表法、图像法、解析法表示一些具体的函数，体会不同的函数表示法在实际情况下的用法；
2、结合现实生活中的丰富实例，了解简单的分段函数，并能做简单的应用.
知识疏理：
问题1下面是我国解放后五次人口普查数据表年份19531964198219902000
总人口数（亿）5.96.910.111.312.7这张表中，所表示的函数定义域为{1953,1964,1982,1990,2000}，值域为{5.9,6.9,10.1,11.3，12.7}
1、列表法：
通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫列表法．
问题2：
y=2x+1的图象能否表示一个函数？
为什么？
2、图象法：
如果图形是函数的图象，则图象上的任意点的坐标满足函数的关系式，反之满足函数关系的点都在图象上．这种由图形表示函数的方法叫做图象法．
问题3：
我们在作函数y=2x+1的图象时，先列表，后描点作图．这实际上就是函数的列表法表示和图象法表示，而y=2x+1这种表示方法则叫做解析法．你能给解析法下个定义吗？
3、解析法：
如果在函数中，是用代数式来表达的，这种方法叫做解析法．（也称为公式法）。
再比如y=x2,s=4.9t2等等.
4、三种表示函数的方法各有优缺点：
（1）用解析法表示函数关系
优点：
简捷明了．能从解析式清楚看到两个变量之间的全部相依关系，并且适合于进行理论分析和推导计算．
缺点：
在求对应值时，有时要做较复杂的计算．
（2）用列表法表示函数关系
优点：
对于表中自变量的每一个值，可以不通过计算，直接把函数值找到，查询时很方便．
缺点：
表中不能把所有的自变量与函数对应值全部列出，而且从表中看不出变量间的对应规律．
（3）用图象法表示函数关系
优点：
形象直观可以形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质，把抽象的函数概念形象化．
缺点：
从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值．
5、分段函数：
在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。
例4：
国内投寄信函（外埠）,邮资按下列规则计算:
1.信函质量不超过100g时,每20g付邮资80分,即信函质量不超过20g付邮资80分,信函质量超过20g,但不超过40g付邮资160分,依此类推;
2.信函质量大于100g且不超过200g时,每100g付邮资200分,即信函质量超过100g,但不超过200g付邮资（A+200）分,（A为质量等于100g的信函的邮资）,信函质量超过200g,但不超过300g付邮资（A+400）分,依此类推.设一封xg（0x≤200）的信函应付的邮资为y（单位:
分）,试写出以x为自变量的函数y的解析式,并画出这个函数的图象.
例5.设x是任意一个实数，y是不超过x的最大整数，试问x和y之间是否是函数关系？
如果是，画出这个函数的图象。
解：
对每一个实数x，都可以写成等式：
x=y+a，其中y是整数，a是一个小于1的非负数，例如，6.48=6+0.48，6=6+0，－1.35=－2+0.65，
－12.52=－13+0.48，......，
这个"不超过x的最大整数"所确定的函数记为y=[x].
例如，当x=6时，y=[6]=6；
当x=π时，y=[π]=3；
当x=－1.35时，y=[－1.35]=－2.如下图所示
师生互动：
例1.画出函数y=∣x∣与函数y=∣x－2∣的图像
例2、如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为x，面积为y，
把y表示为x的函数。
例3、某市"招手即停"公共汽车的票价按下列规则制定：
（1）5km以内（含5km），票价2元；
（2）5km以上，每增加5km，票价增加1元（不足5km的按5km计算）
如果某条线路的总里程数为20km，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图像
快乐体验（同学们，会了不等于做对！
）
1.画出函数y=的图像
2.已知函数f（x）=，若f（x）=3，则x的值是（）
A.1B.或-C.，1D.
3、如图示，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，由点B（起点）沿折线BCDA向点A（终点）运动，设点P运动的路程为x，△APB的面积为y。
（1）求y与x的函数关系式y=f（x）；
（2）画出函数y=f（x）的图像；
同学们，做对了不等于得满分，注意规范步骤哦！
4、甲、乙两人分别骑自行车与摩托车从A城出发到B城旅游．甲、乙两人离开A城的路程与时间之间的函数图象如图所示．根据图象你能得到甲、乙两人旅游的哪些信息？
参考答案：
根据图象能得到甲、乙两人旅游的以下一些信息：
1．甲骑自行车从A城去B城用了8个小时．乙骑摩托车从A城去B城用了2个小时．
2．甲比乙早4个小时出发，晚2个小时到达．
3．甲骑自行车在出发后第一个2小时内行驶了40千米，第二个2小时内行驶了20千米，然后停留了1个小时，又在1个小时内行驶了20千米，最后用2个小时行驶了20千米完成全程到达B城．
4．乙骑摩托车在2小时内行驶了100千米路程到达B城．
5．甲、乙在距A城60多千米的地方相遇一次．
5、对于每个实数x，设函数f（x）取y=x+2,y=2,y=-2x+4三个函数中的最小值，用分段函
数写出f（x）的解析式，并求函数f（x）的最大值.
6、已知函数f（x）=画出这个函数的图像，指出这个函数的定义域，值域，
并求f{f[f（-3）]}的值.
7、设定义在正整数集上的函数f（x）满足
函数的单调性
学习目标
1、结合一次函数、二次函数、反比例函数的图象，形象地理解函数的单调性。
2、通过取值、描点，分析函数值的变化规律，体会函数值的变化趋势，并会作出判断。
3、理解增函数、减函数的概念，掌握判断某些函数增减性的方法；
4、培养利用数学概念进行判断推理的能力和数形结合的思想，提高辩证思维的能力。
课前自测
1、引入：
画出函数y=2x,y=－x,y=x2＋1,y=1的图象。
观察它们的图象可以看到：
函数y=2x的图象由左至右是的，在区间上，y的值随着x的增大而。
函数y=－x的图象由左至右是的，在区间上，y的值随着x的增大而。
函数y=x2＋1的图象在y轴左侧是的，在y轴右侧是的，在区间
上，y的值随着x的增大而；在区间上，y的值随着x的增大而。
知识疏理
（１）增函数与减函数
一般地，设函数y=f（x）的定义域为A，区间MA，如果取区间M中的x1、x2，改变量△x=,则当△y=时，就称函数y=f（x）在区间M上是增函数，当△y=
时，就称函数y=f（x）在区间M上是减函数。
如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有，区间M称为。
由此可知，在上面的函数中y=2x的单调区间是，y=－x的单调区间是，y=x2＋1的单调减区间是，单调增区间是。
例1、如图，已知函数y=f（x），y=g（x）的图象（包括端点），根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个区间上，函数是增函数还是减函数。
典例示范（重点难点都在这里）
例2、证明函数f（x）=在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上分别是减函数。
巩固练习（试试你的身手呀）
1、证明函数f（x）=－x2在（－，0）上是增函数。
2、证明函数在区间[0，＋）上是增函数。
例3、画出下列函数的图象，并指出它们的单调区间。
⑴y=|x|－1⑵y=|x－1|
合作探究（合作着，快乐着，提高着）
1、在函数单调性的定义中，所取的两个变量x1,x2应具有什么特征？
2、在函数单调性的定义中，提到的是"区间M"，对照引入中大家画的四个函数图象，你能举例说明单调区间M和函数定义域是什么关系吗？
是否每个函数都有单调区间？
3、简单地说，单调性是先已知区间M上任意两个自变量的大小，再得到对应函数值的大小，通过比较两者的大小关系是一致（或相反）来定义了增函数（或减函数）。
4、若函数f（x）在区间M上是增函数，则图象在M上的部分从左到右呈趋势，
若函数f（x）在区间M上是减函数，则图象在M上的部分从左到右呈趋势。
5、你掌握了哪几种判断函数单调性的方法？
快乐体验（走出教材，你真有长进啦）
1、求证：
函数在区间（0,1]上是减函数，在区间[1，＋）上是增函数。
2、讨论函数的单调性。
解：
定义域{x|?
1≤x≤1}在[?
1,1]上任取x1,x2且x1x2
则
则?
=
=
∵∴另外，恒有
∴若?
1≤x1x2≤0则x1+x20则?
若x1x2≤1则x1+x20则?
∴在[?
1，0]上f（x）为增函数，在[0，1]上为减函数。
3、用函数单调性的定义证明：
利用定义证明函数f（x）在给定的区间M上的单调性的一般步骤：
①任取x1，x2∈M，且△x=x2-x10；
②作差△y=f（x2）－f（x1）；
③变形定号（即判断差f（x2）－f（x1）的正负）；
④得出结论（即指出函数f（x）在给定的区间M上的单调性）．
4、已知函数
5、画出函数
巩固判断题：
1、已知2、若函数
3、因为函数在区间上都是减函数，所以
在上是减函数。
特别强调两点：
①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．
②有的函数在整个定义域内单调（如一次函数），有的函数只在定义域内的某些区间单调（如二次函数），有的函数根本没有单调区间（如常函数及图像为孤立点的函数）．
命题赏析：
已知f（x）是定义在[-1,1]上的增函数，且f（x-2）f（1-x）,求x的取值范围.
[方法技巧]㈠利用单调性解不等式的实质是单调性的逆用，如果f（x1）f（x2）,
㈡复合函数在定义域上的单调性符合同增异减得规律.
㈢函数的最值与单调性的关系
若函数在闭区间[a,b]上是减函数，则f（x）在[a,b]上的最大值为f（a）,最小值为f（b）;
若函数在闭区间[a,b]上是增函数，则f（x）在[a,b]上的最小值为f（a）,最大值为f（b）.
2.1.4函数的奇偶性
学习目标
1.理解函数奇偶性的定义及其图像特征。
2.能根据定义判断函数的奇偶性。
3.结合函数的奇偶性研究函数的其他性质。
自主学习
1.作出函数f（x）=和g（x）=的图像，观察图像的对称性。
：
列表-2-1012
：
描点作图
由图像可知，的图像关于对称，用式子可表达为。
的图像关于对称，用式子可表达为。
3.奇函数的定义：
设函数的定义域为D，如果对D内的任意一个x,都有-x∈D,且f（-x）=-f（x）,这个函数叫做奇函数.
奇函数和它的图像特征：
如果一个函数是奇函数，则这个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.
4.偶函数的定义：
设函数的定义域为D，如果对D内的任意一个x,都有-x∈D,且f（-x）=f（x）,这个函数叫做偶函数.
偶函数和它的图像特征：
如果一个函数是偶函数，则这个函数的图像是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图像是以y轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数.
5.函数根据奇偶性可分成四类：
.
例1：
判断下列函数的奇偶性
①②
③④
练习探究
1、判断函数的奇偶性：
①②
③④
2、研究函数的性质（定义域，值域，单调性，奇偶性）并作出图像
巩固拓展
1、已知为R上的奇函数，且当x时，f（x）=,求f（x）。
2.已知函数对任意实数，都有，判断函数的奇偶性
3：
已知为R上的奇函数，当时，，求时函数的解析式.
快乐体验
1、下列说法中，不正确的是（）
A.图像关于原点成中心对称的函数一定是奇函数
B.奇函数的图像一定经过原点
C.偶函数的图像若不经过原点，则它与轴交点的个数一定是偶数
D.图像关于轴成轴对称的函数一定是偶函数
2、若函数的定义域是，则下列函数中，可能是偶函数的一个为（）。
A.B.C.D.
3、已知函数①；②；③，则（）
A.都是偶函数B.都是奇函数C.仅②是偶函数D.仅①是奇函数
4、已知为偶函数，当时，则时，（）
A.B.C.D.
5、若是偶函数，则
6、已知，若10，则
7、定义在R上的两个函数中，是偶函数，奇函数，并且
则，。
8、已知函数在R上是奇函数，并且在上是减函数，试说明函数在上是增函数还是减函数？
方法技巧总结：
（1）求给定区间上的解析式时，首先要设这个区间上的x，然后把x转化为-x,-x为另一已知区间上的解析式中的变量，通过奇偶性转化，求得所求区间上的解析式；
（２）对于奇函数f（x）,有
①函数图像关于原点对称；
②在关于原点对称的区间上单调性相同；
③若在x=0处有定义，则必有f（0）=0.
（3）对于偶函数f（x），有
①函数图像关于y轴对称；
②在关于原点对称的区间上单调性相反；
③f（-x）=f（x）=f（）
（4）对于同一定义域上的两个奇（偶）函数，有
①两个奇函数的和或差仍为奇函数；
②两个偶函数的和或差仍为偶函数；
③两个奇函数的积是偶函数；
④两个偶函数的积是偶函数；
⑤一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.
（5）利用奇偶性定义的变式证明函数的奇偶性
对于函数f（x）,
①若满足f（x）+f（-x）=0,则f（x）是奇函数；
②若满足f（x）-f（-x）=0,则f（x）是偶函数.
（6）一个函数是奇函数或偶函数，定义域必须关于原点对称；有的函数既是奇函数，又是偶函数.如：
y=0,x∈R;y=0,-1x1等等.
（7）任何一个定义在R上的函数都可以写成一个偶函数和一个奇函数的和.
2.2.1一次函数的图像和性质
学习目标
1、准确掌握一次函数的概念和性质；
2、一次函数是线性关系的重要模型，要注重数形结合及其应用.
自主学习
一次函数的性质与图像
1）一次函数的概念：
函数叫做一次函数，它的定义域为，值域为。
2）一次函数的图像是，其中叫做该直线的。
叫做该直线在轴上的。
一次函数又叫做。
3）一次函数的性质
（1）函数值的改变量与自变量的改变量的比值等于常数。
（2）当0时，一次函数是增函数；当0时，一次函数是。
（3）当时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当时，它既不是奇函数也不是偶函数。
（4）直线与轴的交点为，与轴的交点为。
探究：
直线与直线的位置关系如何？
典例示范
例：
画出函数的图像，利用图像完成下述问题：
（1）求方程的根；
（2）求不等式的解集；
（3）当时，求的取值范围；
（4）当时，求y的取值范围；
（5）求图像与坐标轴的两个交点的距离；
（6）求图像与坐标轴围成的三角形的面积。
快乐体验
1、下列说法正确的是（）
A、函数为一次函数
B、函数的图像是一条是与x轴相交的直线
C、函数的图像是一条是与x轴相交的直线
D、函数是一次函数
2、函数的解析式为，则其对应直线的斜率与在轴上的截距分别为（）
A.,B1,C1,D
3、若是一次函数，则（）
A、B、C、D、或
4、若函数的图像经过第一、二、三象限，则与的取值范围分别是（）
ABCmD
5、如果那么一次函数的图像的大致形状是（）
ABCD
6、函数的图像不可能是（）
ABCD
7、过点作直线，使它在x轴，y轴上的截距相等，则这样的直线有（）
A、1B、2C、3D、4
8、函数的值域为则k=，b=。
9、函数在上是减函数，则k的范围是。
10、一次函数在上总取正值，则m的取值范围是。
11、已知直线的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求直线的方程。
12、解答下列各题：
（1）、求函数的值域。
（2）、函数是减函数，求a的取值范围。
（3）、函数在上的值有正有负，求a的取值范围。
（4）、直线的图像不经过第二象限，求实数m的取值范围。
2.2.2二次函数的性质和图像
学习目标：
1、掌握二次函数的概念与性质，掌握二次函数的各种表示，特别是顶点式；
2、学会运用函数的图像去理解和研究函数的性质；
3、通过实际问题，
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