八年级数学等腰三角形教案.docx

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八年级数学等腰三角形教案

等腰三角形

（一）

教学目标：

1．等腰三角形的概念.

2．等腰三角形的性质.

3．等腰三角形的概念及性质的应用．

教学重点

1．等腰三角形的概念及性质．2．等腰三角形性质的应用．

教学难点

等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．

教具准备：

圆规、三角尺、

教学过程

一．提出问题，创设情境

1.①三角形是轴对称图形吗？

②什么样的三角形是轴对称图形？

2.满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．

二．导入新课

1.同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．

作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连结AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形．

思考：

（1）．等腰三角形是轴对称图形吗？

请找出它的对称轴．

（2）．等腰三角形的两底角有什么关系？

（3）．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？

（4）．底边上中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？

底边上的高所在的直线呢？

2.等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．

（它的两个底角有什么关系？

）

3.等腰三角形的两个底角相等，而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．（这个结论由学生共同探究得出的）

等腰三角形的性质：

1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．

2．等腰△的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．

4.[例1]如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求：

△ABC各角的度数．

三．随堂练习

课本P51练习1、2、3．

四．课时小结

这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．

我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们．

五．课后作业

课本P56习题12．31、3、4、题．

等腰三角形

（二）

教学目标

探索等腰三角形的判定定理，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念．

教学重点：

等腰三角形的判定定理及其应用．探索等腰三角形的判定定理．

教学难点：

等腰三角形的判定定理及其应用．

教学过程

一．提出问题，创设情境

1.等腰三角形有些什么性质呢？

2.满足了什么样的条件就能说一个三角形是等腰三角形呢？

二．导入新课

1.思考：

如图，位于在海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B．如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？

2.在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？

[例1]已知：

在△ABC中，∠B=∠C（如图）．求证：

AB=AC．

证明：

作∠BAC的平分线AD．

在△BAD和△CAD中

∴△BAD≌△CAD（AAS）．∴AB=AC．

3.等腰三角形的判定定理：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角

所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．

4.[例2]求证：

如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么

这个三角形是等腰三角形．

已知：

∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC（如图）．求证：

AB=AC．

证明：

∵AD∥BC，

∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），

∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）．

又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．

练习：

已知：

如图，AD∥BC，BD平分∠ABC．求证：

AB=AD．

证明：

∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC（两直线平行，内错角相等）．

又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，

∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD（等角对等边）．

[例3]如图

（1），标杆AB的高为5米，为了将它固定，需要由它的中点C向地面上与点B距离相等的D、E两点拉两条绳子，使得D、B、E在一条直线上，量得DE=4米，绳子CD和CE要多长？

分析：

这是一个与实际生活相关的问题，解决这类型问题，需要将实际问题抽象为数学模型．本题是在等腰三角形中已知等腰三角形的底边和底边上的高，求腰长的问题．

三．随堂练习

课本P511、2、3．

四．课时小结

本节课我们主要探究了等腰三角形判定定理，在利用定理的过程中体会定理的重要性．在直观的探索和抽象的证明中发现和养成一定的逻辑推理能力．

五．课后作业课本P56-572、4、5、9题．

等腰三角形（练习课）

教学目的：

1．使学生进一步熟练理解和掌握等腰三角形的概念及性质、判定定理及的应用．

2．能灵活地运用等腰三角形的知识解决问题.

教学重点：

能灵活地运用等腰三角形的知识解决问题。

教学难点：

能灵活地运用等腰三角形的知识解决问题。

教具准备：

三角板、小黑板

教学过程：

一、复习知识要点

1．有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．

2．三角形按边分类：

三角形

3．等腰三角形是轴对称图形，其性质是：

性质1：

等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）

性质2：

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．

4．等腰三角形的判定定理：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．

二、例题

例：

如图，五边形ABCDE中AB=AE，BC=DE，∠ABC=∠AED，点F是CD的中点．求证：

AF⊥CD.

分析：

要证明AF⊥CD，而点F是CD的中点，联想到这是等腰三角形特有的性质，于是连接AC、AD，证明AC=AD，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到结论．

证明：

连接AC、AD在△ABC和△AED中

∴△ABC≌△AED（SAD）

∴AC=AD（全等三角形的对应边相等）

又∵△ACD中AF是CD边的中线（已知）

∴AF⊥CD（等腰三角形底边上的高和底边上的中线互相重合）

三、练习

（一）、选择题

1．等腰三角形的对称轴是（）

A．顶角的平分线B．底边上的高

C．底边上的中线D．底边上的高所在的直线

2．等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，则该三角形的周长是（）

A．17cmB．22cmC．17cm或22cmD．18cm

3．

4．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（）

A．100°B．100°或40°C．40°D．80°

5．

如图1

答案:

1．D2．B3．A4．C5．B如图2

（二）、填空题

11．△ABC中，∠A=65°，∠B=50°，则AB：

BC=_________．

12．已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，要使AD∥BC，则△ABC的边一定满足________．

13．△ABC中，∠C=∠B，D、E分别是AB、AC上的点，AE=2cm，且DE∥BC，则AD=________．

答案:

6．607．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合

8．（90+

n）°9．70°10．略11．112．AB=AC13．2cm14．30海里

（三）、解答题

15．如图，CD是△ABC的中线，且CD=

AB，你知道∠ACB的度数是多少吗？

由

此你能得到一个什么结论？

请叙述出来与你的同伴交流．

16．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，求证：

∠ABC=∠ADC.

17．如图，△ABC中BA=BC，点D是AB延长线上一点，DF⊥AC于F交BC于E，

求证：

△DBE是等腰三角形．

答案:

15．∠ACB=90°．结论：

若一个三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形

16．连接BD，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB．∵CB=CD，∴∠CBD=∠CDB．

∴∠ABC=∠ADC

17．证明∠D=∠BED

等边三角形

（一）

教学目标

经历探索等腰三角形成为等边三角形的条件及其推理证明过程．

教学重点：

等边三角形判定定理的发现与证明．

教学难点：

引导学生全面、周到地思考问题．

教具准备：

圆规、三角尺、

教学过程

一．提出问题，创设情境

1．把等腰三角形的性质用到等边三角形，能得到什么结论？

2．一个三角形满足什么条件就是等边三角形？

3．你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？

你能证明你的结论吗？

把你的证明思路与同伴交流．

二．导入新课

1.探索等腰三角形成等边三角形的条件．

如果等腰三角形的顶角是60°，那么这个三角形是等边三角形．你能给大家陈述一下理由吗？

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

2．你在与同伴的交流过程中，发现了什么或受到了何种启示？

今天，我们探索、发现并证明了等边三角形的判定定理；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，我们在证明这个定理的过程中，还得出了三角形为等边三角形的条件，是什么呢？

[生]三个角都相等的三角形是等边三角形．

[师]下面就请同学们来证明这个结论．

已知：

如图，在△ABC中，∠A=∠B=∠C．

求证：

△ABC是等边三角形．

证明：

∵∠A=∠B，

∴BC=AC（等角对等边）．

又∵∠A=∠C，

∴BC=AC（等角对等边）．

∴AB=BC=AC，即△ABC是等边三角形．

等腰三角形的性质和判定方法就可以得到：

等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°；

三个角都相等的三角形是等边三角形．

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

3．讲解P51例4

三．随堂练习

课本P54练习1、2．

四．课时小结

这节课，我们自主探索、思考了等腰三角形成为等边三角形的条件，并对这个结论的证明有意识地渗透分类讨论的思想方法．这节课我们学的定理非常重要，在我们今后的学习中起着非常重要的作用．

五．课后作业

课本课本P56-575、6、7、10题．

等边三角形

（二）

教学目标

1．探索──发现──猜想──证明直角三角形中有一个角为30°的性质．

2．有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用．

教学重点：

含30°角的直角三角形性质定理发现与证明．

教学难点：

含30°角的直角三角形性质定理发现与证明．引导学生全面、周到地思考问题．

教具准备：

圆规、三角尺、

教学过程

一．提出问题，创设情境

1.用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？

能拼出一个等边三角形吗？

说说你的理由．

2.由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？

你能证明你的结论吗？

二．导入新课

1.用含30°角的直角三角尺摆出了如下两个三角形．

其中，图

（1）是等边三角形，因为△ABD≌△ACD，所以AB=AC，又因为Rt△ABD中，∠BAD=60°，所以∠ABD=60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

图

（1）中，已经知道它是等边三角形，所以AB=BC=AC．而∠ADB=90°，即AD⊥BC．根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得BD=DC=

BC．所以BD=

AB，即在Rt△ABD中，∠BAD=30°，它所对的边BD是斜边AB的一半．

定理：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

已知：

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：

BC=

AB．

分析：

从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC至D，使CD=BC，连接AD．

[例5]右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BD、DE要多长？

分析：

观察图形可以发现在Rt△AED与Rt△ACB中，由于∠A=30°，所以DE=

AD，BC=

AB，又由D是AB的中点，所以DE=

AB．

[例]等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高．

已知：

如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高．

求：

CD的长．

分析：

观察图形可以发现，在Rt△ADC中，AC=2a，而∠DAC是△ABC的一个外角，则∠DAC=15°×2=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，可求出CD．

三．随堂练习

课本P56练习

四．课时小结

这节课，我们在上节课的基础上推理证明了含30°的直角三角形的边的关系．这个定理是个非常重要的定理，在今后的学习中起着非常重要的作用．

五．课后作业课本P57-5811、12、13、14题．

等边三角形（练习课）

教学目的：

1．使学生进一步熟练理解等边三角形判定定理和性质．

2．能灵活地运用等边三角形判定定理和性质的知识解决问题.

教学重点：

能灵活地运用等边三角形的知识解决问题。

教学难点：

能灵活地运用等边三角形的知识解决问题。

教具准备：

三角板、小黑板

一、复习知识要点

二、练习

（一）、选择题

1．正△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于（）

A．60°B．90°

C．120°D．150°

2．下列三角形：

①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）

A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④

3．如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF的形状是（）

A．等边三角形B．腰和底边不相等的等腰三角形

C．直角三角形D．不等边三角形

4．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是（）

A．2cmB．4cmC．8cmD．16cm

5．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则对△ADE的形状最准备的判断是（）

A．等腰三角形B．等边三角形

C．不等边三角形D．不能确定形状

答案：

1．C2．D3．A4．C5．B

（二）、填空题

答案：

6．60°7．60°8．三；三边的垂直平分线9．1cm

（三）、解答题

10．已知D、E分别是等边△ABC中AB、AC上的点，且AE=BD，求BE与CD的夹角是多少度？

11．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D，

求证：

BC=3AD.

12．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，

①求证：

△BCE≌△ACD；

②求证：

CF=CH；

③判断△CFH的形状并说明理由．

13．如图，点E是等边△ABC内一点，且EA=EB，△ABC外一点D满足BD=AC，且BE平分∠DBC，求∠BDE的度数．（提示：

连接CE）

答案：

10．60°或120°

11．∵AB=AC，∠BAC=120°，

∴∠B=∠C=30°，

∴在Rt△ADC中CD=2AD，

∵∠BAC=120°，∴∠BAD=120°-90°=30°，

∴∠B=∠BAD，∴AD=BD，∴BC=3AD

12．①∵∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠BCE=∠ACD．

又∵BC=AC，CE=CD，

∴△BCE≌△ACD；

②证明△BCF≌△ACH；

③△CFH是等边三角形．

13．连接CE，先证明△BCE≌△ACE得到∠BCE=∠ACE=30°，

再证明△BDE≌△BCE得到∠BDE=∠BCE=30°