南京市届高三年级数学第三次模拟考试参考答案.docx
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南京市届高三年级数学第三次模拟考试参考答案
南京市2019届高三年级第三次模拟考试
数学参考答案及评分标准2019.05
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
1．{4，5}2．四3．304．5．－5
6．7．8．69．－110．
11．12．13．2＋214．（－∞，1]
二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．（本小题满分14分）
解：
（1）由正弦定理＝＝＝2R，得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，
代入acosB＋bcosA＝，得（sinAcosB＋sinBcosA）cosC＝sinCcosA，2分
即sin（A＋B）cosC＝sinCcosA．
因为A＋B＝π－C，所以sin（A＋B）＝sinC，
所以sinCcosC＝sinCcosA，4分
因为C是△ABC的内角，所以sinC≠0，所以cosC＝cosA．
又因为A，C是△ABC的内角，所以A＝C．6分
（2）由
（1）知，因为A＝C，所以a＝c，所以cosB＝＝．8分
因为·＝1，所以a2cosB＝a2－2＝1，所以a2＝3．10分
所以cosB＝．12分
因为B∈（0，π），所以sinB＝＝．14分
16．（本小题满分14分）
证明：
（1）因为PA⊥平面ABCD，AC平面ABCD，
所以PA⊥AC．2分
因为AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60º，由余弦定理，
得AC＝＝＝．4分
因为12＋（）2＝22，即AB2＋AC2＝BC2，所以AC⊥AB．6分
又因为AC⊥PA，且PA∩AB＝A，PA平面PAB，AB平面PAB，
所以AC⊥平面PAB．
又AC平面PAC，所以平面PAC⊥平面PAB．8分
（2）因为BC∥AD，AD平面PAD，BC平面PAD，
所以BC∥平面PAD．10分
又因为BC平面PBC，且平面PBC∩平面PAD＝l，
所以BC∥l．14分
17．（本小题满分14分）
解：
以点B为坐标原点，BP所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，
则B（0，0），Q（45，15），C（160，75）．
过点B作直线l与圆Q相切，与圆C交于点M，N，
y
N
设l的方程为y＝kx，即kx－y＝0，
H
则点Q到l的距离为＝15，
M
C
解得k＝，或k＝0（舍）．
x
Q
P
B
A
所以直线l的方程为y＝x，即3x－4y＝0．
（第17题图）
…………………………………………4分
点C（160，75）到l的距离
CH＝＝36．6分
因为在Rt△CHM中，CH＝36，CM＝72，所以cos∠MCH＝＝．8分
又因为∠MCH∈（0，），所以∠MCH＝，所以∠MCN＝2∠MCH＝，12分
所以所用时长为30×＝10min．13分
答：
该游客能看到点B的时长为10min．14分
18．（本小题满分16分）
解：
（1）因为椭圆过点（1，），离心率为，
所以＋＝1，＝1－e2＝，解得a2＝2，b2＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1．2分
（2）由
（1）知B（0，－1），设M（x0，y0），P（x，y）．
由＝3，得（x，y＋1）＝3（x0，y0＋1），
则x＝3x0，y＝3y0＋2．
又因为P在直线x－y＋2＝0上，所以y0＝x0．①4分
因为M在椭圆C上，所以＋y02＝1，
将①代入上式，得x02＝．6分
所以|x0|＝，从而|xP|＝，
所以S△PMA＝S△PAB－S△MAB＝×2×－×2×＝．8分
（3）方法1
由
（1）知，A（0，1），B（0，－1）．
设D（0，m），0＜m＜1，M（x1，y1），N（x2，y2）．
因为MN的斜率为1，所以直线MN的方程为：
y＝x＋m，
联立方程组消去y，得3x2＋4mx＋2m2－2＝0，
所以x1＋x2＝－，x1·x2＝．…………………………………………10分
直线MB的方程为：
y＝x－1，直线NA的方程为：
y＝x＋1，
联立解得yP＝．……………………………………………12分
将y1＝x1＋m，y2＝x2＋m代入，得
yP＝＝
＝＝．14分
所以·＝（0，m）·（xP，yP）＝myP＝m·＝1．……………………………16分
方法2
A（0，1），B（0，－1）．设M（x0，y0），则＋y02＝1．
因为MN的斜率为1，所以直线MN的方程为：
y＝x－x0＋y0，则D（0，y0－x0），
联立方程消去y，得3x2－4（x0－y0）x＋2（x0－y0）2－2＝0，
所以xN＋x0＝，…………………………………………………………10分
所以xN＝，yN＝－，
所以直线NA的方程为：
y＝x＋1＝x＋1
直线MB的方程为：
y＝x－1
联立解得yP＝．……………………………………12分
又因为＋y02＝1，
所以yP＝＝，………………………………………14分
所以·＝（0，y0－x0）·（xP，yP）＝（y0－x0）＝1．……………………16分
19．（本小题满分16分）
解：
（1）f′（x）＝－，则f′
（1）＝1－a＝2，解得a＝－1，则f（x）＝lnx－＋1，
此时f
（1）＝ln1－1＋1＝0，则切点坐标为（1，0），
代入切线方程，得b＝－2，
所以a＝－1，b＝－2．2分
（2）g（x）＝f（x）＋ax＝lnx＋＋ax＋1，g′（x）＝－＋a＝．
①当a＝0时，g′（x）＝＞0，则g（x）在区间（0，）上为增函数，
则g（x）在区间（0，）上无最小值．…………………………………………4分
②当a≠0时，方程ax2＋x－a＝0的判别式Δ＝1＋4a2＞0，
则方程有两个不相等的实数根，设为x1，x2，
由韦达定理得x1x2＝－1，则两根一正一负，不妨设x1＜0＜x2.
设函数m（x）＝ax2＋x－a（x＞0），
（i）若a＞0，
若x2∈（0，），则m（0）＝－a＜0，m（）＝＋－a＞0，解得0＜a＜．
此时x∈（0，x2）时，m（x）＜0，则g（x）递减；
x∈（x2，）时，m（x）＞0，则g（x）递增，
当x＝x2时，g（x）取极小值，即为最小值．
若x2≥，则x∈（0，），m（x）＜0，g（x）在（0，）单调减，无最小值．
6分
（ii）若a＜0，
x∈（0，x2）时，m（x）＞0，则g（x）递增；
x∈（x2，＋∞）时，m（x）＜0，则g（x）递减，
在区间（0，）上，g（x）不会有最小值．
所以a＜0不满足条件．
综上，当0＜a＜时，g（x）在区间（0，）上有最小值．…………………………8分
（3）当a＝0时，由方程f（x）＝bx2，得lnx＋1－bx2＝0，
记h（x）＝lnx＋1－bx2，x＞0，则h′（x）＝－2bx＝．
①当b≤0时，h′（x）＞0恒成立，即h（x）在（0，＋∞）上为增函数，
则函数h（x）至多只有一个零点，即方程f（x）＝bx2至多只有一个实数根，
所以b≤0不符合题意．………………………………………………………10分
②当b＞0时，
当x∈（0，）时，h′（x）＞0，所以函数h（x）递增；
当x∈（，＋∞）时，h′（x）＜0，所以函数h（x）递减，
则h（x）max＝h（）＝ln＋．
要使方程f（x）＝bx2有两个不相等的实数根，
则h（）＝ln＋＞0，解得0＜b＜．………………………………12分
（i）当0＜b＜时，h（）＝－＜0．
又（）2－（）2＝＜0，则＜，
所以存在唯一的x1∈（，），使得h（x1）＝0．…………………………14分
（ii）h（）＝ln＋1－＝－lnb＋1－，记k（b）＝－lnb＋1－，0＜b＜，
因为k′（b）＝－＋＝，则k（b）在（0，1）上为增函数，在（1，）上为减函数，
则k（b）max＝k
（1）＝0，则h（）≤0．
又（）2－（）2＝＞0，即＞，
所以存在唯一的x2∈（，]，使得h（x2）＝0，
综上，当0＜b＜时，方程f（x）＝bx2有两个不相等的实数根．………………16分
20．（本小题满分16分）
解：
（1）因为{an}是M（r，2r）数列，所以Sr＝2r，且S2r＝r．
由Sr＝2r，得3r＋d＝2r．因为r＞0，所以（r－1）d＝－2（*）；
由S2r＝r，得6r＋d＝r，因为r＞0，所以（2r－1）d＝－5（**）；
由（*）和（**），解得r＝3，d＝－1．2分
（2）①（i）若q＝1，则Sr＝ra1，St＝ta1．
因为{an}是M（r，2r）数列，所以ra1＝2r（*），2ra1＝r（**），
由（*）和（**），得a1＝2且a1＝，矛盾，所以q≠1．3分
（ii）当q≠1，因为{an}是M（r，2r）数列，所以Sr＝2r，且S2r＝r，
即＝2r（*），＝r（**），
由（*）和（**），得qr＝－．5分
当r＝1时，q＝－；当r＝2，4时，无解；当r＝3时，q＝－．
综上，q＝－或q＝－．6分
②因为{an}是M（r，t）数列，q∈（－1，0），所以Sr＝t，且St＝r，
即＝t，且＝r，
两式作商，得＝，即r（1－qr）＝t（1－qt）．8分
（i）若r为偶数，t为奇数，则r（1－|q|r）＝t（1＋|q|t）．
因为r＜t，0＜1－|q|r＜1，1＋|q|t＞1，所以r（1－|q|r）＜t（1＋|q|t），
这与r（1－|q|r）＝t（1＋|q|t）矛盾，所以假设不成立．10分
（ii）若r为偶数，t为偶数，则r（1－|q|r）＝t（1－|q|t）．
设函数y＝x（1－ax），0＜a＜1,则y'＝1－ax－xaxlna，
当x＞0时，1－ax＞0，－xaxlna＞0，所以y＝x（1－ax）在（0，＋∞）为增．
因为r＜t，所以r（1－|q|r）＜t（1－|q|t），
这与r（1－|q|r）＝t（1－|q|t）矛盾，所以假设不成立．12分
（iii）若r为奇数，t为奇数，则r（1＋|q|r）＝t（1＋|q|t）．
设函数y＝x（1＋ax），0＜a＜1,则y'＝1＋ax＋xaxlna．
设g（x）＝1＋ax＋xaxlna，则g'（x）＝axlna（2＋xlna），
令g'（x）＝0，得x＝－．因为ax＞0，lna＜0，
所以当x＞－，g'（x）＞0，则g（x）在区间（－，＋∞）递增；
当0＜x＜－，g'（x）＜0，则g（x）在区间（0，－）递减，
所以g（x）min＝g（－）＝1－a．
因为－＞0，所以a＜1，所以g（x）min＞0，
从而g（x）＞0在（0，＋∞）恒成立，
所以y＝x（1＋ax），0＜a＜1在（0，＋∞）上单调递增．
因为r＜t，所以r（1＋|q|r）＜t（1＋|q|t），
这与r（1－|q|r）＝t（1－|q|t）矛盾，所以假设不成立．14分
（iv）若r为奇数，t为偶数．
由①知，存在等比数列{an}为“M（1，2）数列”．
综上，r为奇数，t为偶数．16分
南京市2019届高三年级第三次模拟考试
数学附加题参考答案及评分标准2019.05
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
21．【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—2：
矩阵与变换
解：
（1）M＝＝．4分
（2）矩阵M的特征多项式为f（λ）＝＝（λ－1）（λ－3）．
令f（λ）＝0，解得M的特征值为λ1＝1，λ2＝3．6分
①当λ＝1时，＝，得
令x＝1，则y＝－1，于是矩阵M的一个特征向量为．8分
②当λ＝3时，＝3，得
令x＝1，则y＝1，于是矩阵M的一个特征向量为．
因此，矩阵M的特征值为1，3，分别对应一个特征向量为，．10分
B．选修4—4：
坐标系与参数方程
解：
直线l的直角坐标方程为：
x－y－2＝0．2分
曲线C的普通方程为：
（x－2）2＋（y＋1）2＝r2．………………………………………4分
圆心C（2，－1）到直线l的距离d＝＝，……………………………6分
所以r＝＝．………………………………………………………10分
C．选修4—5：
不等式选讲
解：
由柯西不等式，得[x2＋（2y）2＋（3z）2]（12＋12＋22）≥（x＋2y＋6z）2．4分
因为x2＋4y2＋9z2＝6，所以（x＋2y＋6z）2≤36，6分
所以－6≤x＋2y＋6z≤6．
当且仅当!
语法错误，（＝!
语法错误，（＝!
语法错误，（时，不等式取等号，
此时x＝1，y＝!
语法错误，（，z＝!
语法错误，（，或x＝－1，y＝－!
语法错误，（，z＝－!
语法错误，（，8分
所以x＋2y＋6z的最大值为6．10分
22．（本小题满分10分）
解：
（1）因为l过M（2，0），且当l垂直于x轴时，AB＝4，
所以抛物线经过点（2，2），
代入抛物线方程，得4＝2p×2，解得p＝1．…………………………………2分
（2）设直线l方程为：
y＝k（x－2）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立消去x，得ky2－2y－4k＝0，
则y1＋y2＝，y1y2＝－4．4分
因为C为AB中点，所以yC＝＝，
则直线l1方程为：
y＝．6分
因为直线l2过点M且与l垂直，则l2方程为：
y＝－（x－2），
联立8分
解得即P（1，），
所以，点P在定直线x＝1上．10分
23．（本小题满分10分）
解：
（1）在3位数字符串中，子串“010”在第3位出现有且只有1个，即010，
所以f（3）＝1．2分
在4位数字符串中，子串“010”在第4位出现有2个，即0010与1010，
所以f（4）＝2．4分
（2）当n≥5且n∈N*时，当最后3位是010时，前n－3个数位上，每个数位上的数字都有两种可能，即0和1，所以共有2n－3种可能．
由于当最后3位是010时，若最后5位是01010，且前n－2位形成的字符串中是子串“010”是在第n－2位出现，此时不满足条件．
所以f（n）＝2n－3－f（n－2），n≥5且n∈N*．6分
因为f（3）＝1，所以f（5）＝3.
下面用数学归纳法证明f（4n＋1）是3的倍数．
①当n＝1时，f（5）＝3是3的倍数；
②假设当n＝k（k∈N*）时，f（4k＋1）是3的倍数，
那么当n＝k＋1时，
f[4（k＋1）＋1]＝f（4k＋5）＝24k＋2－f（4k＋3）
＝24k＋2－[24k－f（4k＋1）]＝3×24k＋f（4k＋1）．8分
因为f（4k＋1）是3的倍数，且3×24k也是3的倍数，所以f（4k＋5）是3的倍数．
这就是说，当n＝k＋1时，f[4（k＋1）＋5]是3的倍数．
由①，②可知，对任意的正整数n，f（4n＋1）是3的倍数．10分
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