南京市2014届高三年级第三次模拟考试数学试题及答案文档格式.doc

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14．设二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数）的导函数为f′（x）．对任意x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，则的最大值为．

二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）

15．（本小题满分14分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＋1＝．

（1）求B；

（2）若cos（C＋）＝，求sinA的值．

16．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P－ABCD中，O为AC与BD的交点，AB^平面PAD，△PAD是正三角形，

DC//AB，DA＝DC＝2AB.

P

A

B

C

D

O

E

（第16题图）

（1）若点E为棱PA上一点，且OE∥平面PBC，求的值；

（2）求证：

平面PBC^平面PDC.

17．（本小题满分14分）

某种树苗栽种时高度为A（A为常数）米，栽种n年后的高度记为f（n）．经研究发现f（n）近似地满足f（n）＝，其中t＝2，a，b为常数，n∈N，f（0）＝A．已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍．

（1）栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍；

（2）该树木在栽种后哪一年的增长高度最大．

18．（本小题满分16分）

已知椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）过点P（－1，－1），c为椭圆的半焦距，且c＝b．过点P作

两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线l1的斜率为－1，求△PMN的面积；

（3）若线段MN的中点在x轴上，求直线MN的方程．

19．（本小题满分16分）

已知函数f（x）＝lnx－mx（mR）．

（1）若曲线y＝f（x）过点P（1，－1），求曲线y＝f（x）在点P处的切线方程；

（2）求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值；

（3）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，求证：

x1x2＞e2．

20．（本小题满分16分）

已知a，b是不相等的正数，在a，b之间分别插入m个正数a1，a2，…，am和正数b1，b2，…，

bm，使a，a1，a2，…，am，b是等差数列，a，b1，b2，…，bm，b是等比数列．

（1）若m＝5，＝，求的值；

（2）若b＝λa（λ∈N*，λ≥2），如果存在n（n∈N*，6≤n≤m）使得an－5＝bn，求λ的最小值及此时m的值；

（3）求证：

an＞bn（n∈N*，n≤m）．

数学附加题

21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4—1：

几何证明选讲

·

（第21题A图）

已知圆O的内接△ABC中，D为BC上一点，且△ADC为正三角形，点E为BC的延长线上一

点，AE为圆O的切线，求证：

CD2＝BD·

EC．

B．选修4—2：

矩阵与变换

已知矩阵A＝（k≠0）的一个特征向量为α＝，A的逆矩阵A－1对应的变换将点

（3，1）变为点（1，1）．求实数a，k的值．

C．选修4—4：

坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，已知M是椭圆＋＝1上在第一象限的点，A（2，0），B（0，2）

是椭圆两个顶点，求四边形OAMB的面积的最大值．

D．选修4—5：

不等式选讲

已知a，b，cR，a2＋2b2＋3c2＝6，求a＋b＋c的最大值．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

如图，在正四棱锥P－ABCD中，PA＝AB＝，点M，N分别在线段PA和BD上，BN＝BD．

（1）若PM＝PA，求证：

MN⊥AD；

M

N

（第22题图）

（2）若二面角M－BD－A的大小为，求线段MN的长度．

23．（本小题满分10分）

已知非空有限实数集S的所有非空子集依次记为S1，S2，S3，……，集合Sk中所有元素的平均

值记为bk．将所有bk组成数组T：

b1，b2，b3，……，数组T中所有数的平均值记为m（T）．

（1）若S={1，2}，求m（T）；

（2）若S＝{a1，a2，…，an}（n∈N*，n≥2），求m（T）．

数学参考答案

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，计70分.

1．（－2，1）2．－73．304．5．116．7．

8．②9．－10．111．（－∞，－3）∪（1，3）12．[，2]

13．（x－1）2＋y2＝114．2－2

二、解答题：

解：

（1）由＋1＝及正弦定理，得＋1＝，………………………………………2分

所以＝，即＝，则＝．

因为在△ABC中，sinA≠0，sinC≠0，

所以cosB＝．………………………………………5分

因为B（0，π），所以B＝．………………………………………7分

（2）因为0＜C＜，所以＜C＋＜．

因为cos（C＋）＝，所以sin（C＋）＝．………………………………………10分

所以sinA＝sin（B＋C）＝sin（C＋）＝sin[（C＋）＋]………………………………………12分

＝sin（C＋）cos＋cos（C＋）sin

＝．………………………………………14分

证

（1）因为OE∥平面PBC，OEÌ

平面PAC，平面PAC∩平面PBC＝PC，所以OE∥PC，

所以AO∶OC＝AE∶EP．………………………………………3分

因为DC//AB，DC＝2AB，所以AO∶OC＝AB∶DC＝1∶2.

所以＝．………………………………………6分

（2）法一：

取PC的中点F，连结FB，FD．

因为△PAD是正三角形，DA＝DC，所以DP＝DC．

因为F为PC的中点，所以DF⊥PC.………………………………………8分

因为AB^平面PAD，所以AB⊥PA，AB⊥AD，AB⊥PD．

因为DC//AB，所以DC⊥DP，DC⊥DA．

设AB＝a，在等腰直角三角形PCD中，DF＝PF＝a．

在Rt△PAB中，PB＝a．

在直角梯形ABCD中，BD＝BC＝a．

因为BC＝PB＝a，点F为PC的中点，所以PC⊥FB．

在Rt△PFB中，FB＝a．

在△FDB中，由DF＝a，FB＝a，BD＝a，可知DF2＋FB2＝BD2，所以FB⊥DF．

………………………………………12分

由DF⊥PC，DF⊥FB，PC∩FB＝F，PC、FBÌ

平面PBC，所以DF⊥平面PBC．

又DFÌ

平面PCD，所以平面PBC^平面PDC．………………………………………14分

法二：

取PD，PC的中点，分别为M，F，连结AM，FB，MF，

所以MF∥DC，MF＝DC．

因为DC//AB，AB＝DC，所以MF∥AB，MF＝AB，

即四边形ABFM为平行四边形，所以AM∥BF．………………………………………8分

在正三角形PAD中，M为PD中点，所以AM⊥PD．

因为AB⊥平面PAD，所以AB⊥AM．

又因为DC//AB，所以DC⊥AM．

因为BF//AM，所以BF⊥PD，BF⊥CD．

又因为PD∩DC＝D，PD、DCÌ

平面PCD，所以BF⊥平面PCD．……………………………12分

因为BFÌ

平面PBC，所以平面PBC^平面PDC.………………………………………14分

（1）由题意知f（0）＝A，f（3）＝3A．

所以解得a＝1，b＝8．………………………………………4分

所以f（n）＝，其中t＝2．

令f（n）＝8A，得＝8A，解得tn＝，

即2＝，所以n＝9．

所以栽种９年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍．………………………………………6分

（2）由

（1）知f（n）＝．

第n年的增长高度为△＝f（n）－f（n－1）＝－．……………………………9分

所以△＝＝

＝………………………………………12分

≤＝＝．

当且仅当64tn＝，即2＝时取等号，此时n＝5．

所以该树木栽种后第5年的增长高度最大．………………………………………14分

（1）由条件得＋＝1，且c2＝2b2，所以a2＝3b2，解得b2＝，a2＝4．

所以椭圆方程为：

＋＝1．………………………………………3分

（2）设l1方程为y＋1＝k（x＋1），

联立消去y得（1＋3k2）x2＋6k（k－1）x＋3（k－1）2－4＝0．

因为P为（－1，1），解得M（，）．………………………………………5分

当k≠0时，用－代替k，得N（，）．………………………………………7分

将k＝－1代入，得M（－2，0），N（1，1）．

因为P（－1，－1），所以PM＝，PN＝2，

所以△PMN的面积为×

×

2＝2．………………………………………9分

（3）解法一：

设M（x1，y1），N（x2，y2），则

两式相减得（x1＋x2）（x1－x2）＋3（y1＋y2）（y1－y2）＝0，

因为线段MN的中点在x轴上，所以y1＋y2＝0，从而可得（x1＋x2）（x1－x2）＝0．…………………12分

若x1＋x2＝0，则N（－x１，－y１）．

　　因为PM⊥PN，所以·

＝0，得x12＋y12＝2．

又因为x12＋3y12＝4，所以解得x1＝±

1，所以M（－1，1），N（1，－1）或M（1，－1），N（－1，1）．

所以直线MN的方程为y＝－x．………………………………………14分

若x1－x2＝0，则N（x1，－y1），

因为PM⊥PN，所以·

＝0，得y12＝（x1＋1）2＋1．

又因为x12＋3y12＝4，所以解得x1＝－或－1，

经检验：

x＝－满足条件，x＝－1不满足条件．

综上，直线MN的方程为x＋y＝0或x＝－．………………………………………16分

解法二：

由

（2）知，当k≠0时，因为线段MN的中点在x轴上，所以＝－，

化简得4k（k2－4k－1）＝0，解得k＝2±

．………………………………………12分

若k＝2＋，则M（－，），N（－，－），此时直线MN的方程为x＝－．

若k＝2－，则M（－，－），N（－，），此时直线MN的方程为x＝－．…………14分

当k＝0时，M（1，－1），N（－1，1），满足题意，此时直线MN的方程为x＋y＝0．

综上，直线MN的方程为x＝－或x＋y＝0．………………………………………16分

（1）因为点P（1，－1）在曲线y＝f（x）上，所以－m＝－1，解得m＝1．

因为f′（x）＝－1，所以切线的斜率为0，所以切线方程为y＝－1．…………………………………3分

（2）因为f′（x）＝－m＝．

①当m≤0时，x∈（1，e），f′（x）＞0，所以函数f（x）在（1，e）上单调递增，则f（x）max＝f（e）＝1－me．

②当≥e，即0＜m≤时，x∈（1，e），f′（x）＞0，所以函数f（x）在（1，e）上单调递增，则f（x）max＝

f（e）＝1－me．………………………………………5分

③当1＜＜e，即＜m＜1时，函数f（x）在（1，）上单调递增，在（，e）上单调递减，

则f（x）max＝f（）＝－lnm－1．………………………………………7分

④当≤1，即m≥1时，x∈（1，e），f′（x）＜0，函数f（x）在（1，e）上单调递减，则f（x）max＝f

（1）＝－m．

………………………………………9分

综上，①当m≤时，f（x）max＝1－me；

②当＜m＜1时，f（x）max＝－lnm－1；

③当m≥1时，f（x）max＝－m．………………………………………10分

（3）不妨设x1＞x2＞0．因为f（x1）＝f（x2）＝0，所以lnx1－mx1＝0，lnx2－mx2＝0，

可得lnx1＋lnx2＝m（x1＋x2），lnx1－lnx2＝m（x1－x2）．

要证明x1x2＞e2，即证明lnx1＋lnx2＞2，也就是m（x1＋x2）＞2．

因为m＝，所以即证明＞，即ln＞．

令＝t，则t＞1，于是lnt＞．

令j（t）＝lnt－（t＞1），则j′（t）＝－＝＞0．

故函数j（t）在（1，＋∞）上是增函数，所以j（t）＞j

（1）＝0，即lnt＞成立．

所以原不等式成立．………………………………………16分

20．（本小题满分16分）

（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，

则d＝，q＝．

a3＝a＋3d＝，b3＝aq3＝．………………………………………2分

因为＝，所以2a－5＋2b＝0，解得＝4或．………………………………………4分

（2）因为λa＝a＋（m＋1）d，所以d＝a，从而得an＝a＋a×

n．

因为λa＝a×

qm＋1，所以q＝λ，从而得bn＝a×

λ．

因为an－5＝bn，所以a＋×

a＝a×

因为a＞0，所以1＋＝λ（*）．………………………………………6分

因为λ，m，n∈N*，所以1＋为有理数．

要使（*）成立，则λ必须为有理数．

因为n≤m，所以n＜m＋1．

若λ＝2，则λ为无理数，不满足条件．

同理，λ＝3不满足条件．………………………………………8分

当λ＝4时，4＝2．要使2为有理数，则必须为整数．

又因为n≤m，所以仅有2n＝m＋1满足条件．

所以1＋＝2，从而解得n＝15，m＝29．

综上，λ最小值为4，此时m为29．………………………………………10分

（3）证法一：

设cn＞0，Sn为数列{cn}的前n项的和．

先证：

若{cn}为递增数列，则{}为递增数列．

证明：

当n∈N*时，＜＝bn＋1．

因为Sn＋1＝Sn＋bn＋1＞Sn＋＝Sn，所以＜，即数列{}为递增数列．

同理可证，若{cn}为递减数列，则{}为递减数列．………………………………………12分

①当b＞a时，q＞1．当n∈N*，n≤m时，＞．

即＞，即＞．

因为b＝aqm＋1，bn＝aqn，d＝，

所以d＞，即a＋nd＞bn，即an＞bn．

②当b＜a时，0＜q＜1，当n∈N*，n≤m时，＜．

即＜．

因为0＜q＜1，所以＞．以下同①．

综上，an＞bn（n∈N*，n≤m）．………………………………………16分

证法二：

设等差数列a，a1，a2，…，am，b的公差为d，等比数列a，b1，b2，…，bm，b的公比为q，

b＝λa（λ＞0，λ≠1）．

由题意，得d＝a，q＝aλ，

所以an＝a＋nd＝a＋an，bn＝aλ．

要证an＞bn（n∈N*，n≤m），

只要证1＋n－λ＞0（λ＞0，λ≠1，n∈N*，n≤m）．………………………………………12分

构造函数f（x）＝1＋x－λ（λ＞0，λ≠1，0＜x＜m＋1），

则f′（x）＝－λlnλ．令f′（x）＝0，解得x0＝（m＋1）logλ．

以下证明0＜logλ＜1．

不妨设λ＞1，即证明1＜＜λ，即证明lnλ－λ＋1＜0，λlnλ－λ＋1＞0．

设g（λ）＝lnλ－λ＋1，h（λ）＝λlnλ－λ＋1（λ＞1），则g′（λ）＝－1＜0，h′（λ）＝lnλ＞0，

所以函数g（λ）＝lnλ－λ＋1（λ＞1）为减函数，函数h（λ）＝λlnλ－λ＋1（λ＞1）为增函数．

所以g（λ）＜g

（1）＝0，h（λ）＞h

（1）＝0．

所以1＜＜λ，从而0＜logλ＜1，所以0＜x0＜m＋1．………………………………………14分

因为在（0，x0）上f′（x）＞0，函数f（x）在（0，x0）上是增函数；

因为在（x0，m＋1）上f′（x）＜0，函数f（x）在（x0，m＋1）上是减函数．

所以f（x）＞min{f（0），f（m＋1）}＝0．

所以an＞bn（n∈N*，n≤m）．

同理，当0＜λ＜1时，an＞bn（n∈N*，n≤m）．………………………………………16分

数学附加题参考答案及评分标准2014.05

说明：

1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；

如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，填空题不给中间分数．

21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

证：

因为AE为圆O的切线，所以∠ABD＝∠CAE．………………………………………2分

因为△ACD为等边三角形，所以∠ADC＝∠ACD，

所以∠ADB＝∠ECA，所以△ABD∽△EAC．………………………………………6分

所以＝，即AD·

CA＝BD·

EC．………………………………………8分

因为△ACD为等边三角形，所以AD＝AC＝CD，

所以CD2＝BD·

EC.………………………………………10分

设特征向量为α＝对应的特征值为λ，

则＝λ，即

因为k≠0，所以a＝2．………………………………………5分

因为A－1＝，所以A＝，即＝，

所以2＋k＝3，解得k＝1．

综上，a＝2，k＝1．………………………………………10分

设M（2cosθ，2sinθ），θ（0，）．

由题知OA＝2，OB＝2，………………………………………2