（3）AC-B2=O时可能有极值.也可能没有极值。
极值的求法：
第一步解方程组fx（x.y）=Ofy（xy）=O.求得一切实数解.即可得一切驻点。
第二步对于每一个驻点（xo.yo）.求出二阶偏导数的值A、B和Co
第三步定出AC-B2的符号.按定理1的结论判定f（xoyo）是否是极值、是极大值还是极小值。
应注意的几个问题：
⑴对于二元函数z=f（x.y）,在定义域内求极值这是一个比较适用且常用的方法，但
是这种方法对三元及更多元的函数并不适用；
⑵AC-B2=O时可能有极值.也可能没有极值，还需另作讨论；
⑶如果函数在个别点处的偏导数不存在，这些点当然不是驻点，但也可能是极值点，讨论函数的极值问题时这些点也应当考虑。
例1求函数z=（x2•y2）e"y2）的极值。
[空=2x（1_x2一y2）e，x卡）=o解令沃
彳=2y（仁x2—y2）e'xy）=0.:
y
得驻点（0,0）及x2y2=1.
又由耸
:
x
2222
-y2）]e4x2y2）
-2
:
z
.x；:
y
=-4xy（2-x2-y2）e"F
-2
z2222
—二[2（1-x2-3y2）-4y2（1-x2-:
y
-y2）]e4x2y2）
-2
“cz
A2
x
-2
=2,Bz
（0,0）:
x：
y
=0,
（0,0）
-2
C:
z
C=2
：
-y
=2
（0,0）
：
-B2-AC--4：
：
0,A0
故f（0,0）=0为极小值。
由于A
◎2z
.:
x2
x2
-_4x2e」,
■y2^
=-4xye4,
=3
-2
:
z
-2
■y
x2
--4y2eJ
y2m
珂2（1-y-3x）-4x（1-x
=B2-AC=0,此时有通常的方法无法判定。
pl—
令x2y2=t（t_0），则z=te」，由一二e」（1-1）=0
dt
得驻点t=1.
y二1上取极
-（t-2）e4
故z二te°在t=1处取极大值，即函数（x2y2）e4xy）在圆周x2
大值z二e4
2•对于三元及更多元的函数定理1并不适用，而在实际问题中经常要遇到求三元以上函数的极值问题，对此可由二次型的正定性加以解决。
定义1设n元函数f（X）二f（为，X2,||（Xn）在X=（为皿,||（,Xn）T•R“的某个邻域内
有一阶、二阶连续偏导数。
记灯£以）」兰^,兰凶,山,空^,Vf（X）称为
I次1泳2CXnj
函数f（X）在点X=（Xi,X2,||（,Xn）T处的梯度。
定义2满足If（Xo）=O的点Xo称为函数f（X）的驻点
定义3H（X）二
Yf（X）
2
:
f（X）
：
X2
2
:
f（X）
:
X1;:
X2
III
2
:
f（X）
:
Xv:
Xn
2
:
f（X）
：
xn
2
:
f（X）
.Xn.x2
III
2
:
f（X）
亠2
Xn
显然H（X）是由f（X）
称为函数f（X）=f（Xi,X2,|l（Xn）在点XRn处的黑塞矩阵
的n2个二阶偏导数构成的n阶实对称矩阵。
定理2（极值存在的必要条件）设函数f（X）在点Xo=（X；,x；,|1|,力）丁处存在一阶偏导数，且Xo为该函数的极值点，贝U\f（X°）=O。
定理3（极值的充分条件）设函数f（X）在点Xo，Rn的某个邻域内具有一阶、二阶连续偏导数，且可（Xo）=弐=o
excx2cXn丿
f（Xo）为f（X）的极小值
f（Xo）为f（X）的极大值
f（Xo）不是f（X）的极值。
则⑴当H（Xo）为正定矩阵时,
⑵当H（Xo）为负定矩阵时,
⑶当H（Xo）为不定矩阵时,应注意的问题：
利用二次型的正定性来判断多元函数的极值虽然是一个很好的方法，但也有一定的局限性，因为充分条件对正定和负定的要求是很严格的，若条件不满足，那结论就不一定成立•
例1求三兀函数f（x,y,x22y23z2•2x•4y-6z的极值。
解先求驻点，由
'fx=2x+2=0
fy=4y4二0得x--1,y--1,z=1
Jz=6z-6=0
所以驻点为P0（_1,_1,1）。
再求（Hessian黑塞矩阵
因为fxx=2,fxy=0,fxz=0,fyy=4,fyz=0,fzz=6
200
所以H=040，可知H是正定的，所以f（x,y,z）在P°（-1,-1,1）点取得极小
卫06一
值：
f（_1,_1,1）—6.
当然，此题也可用初等方法f（x,y,zH（x1）22（y1）23（z-1）2-6求得极小值
-6，结果一样。
二、求解条件极值的常用方法
1•代入法化为无条件极值问题
从一道错误的例题谈条件极值的代入法⑴（这里全文引用）
同济大学出版的教材（高等数学（第二版下）.上海：
同济大学出版社，1998.8）在介绍条件极值时举了这样的一道例题：
“例10:
某公司的两个工厂生产同样的产品，但所需成本不同，第一个工厂生产x单位产品和第二个工厂生产y单位产品时的总成本是C（x,y^x22y25xy700。
若公司的生产任务是500个单位产品，问如何分配任务才能使总成本最小？
解:
根据题意，是求函数C（x,y^x22y25xy700在在条件x•y=500下的极
值。
作辅助函数F（x,y^x22y25xy70^'（x^500）
Fx=2x5y■=0
Ix
令Fy=4y•5x•■=0,解得x=125,y=375,所以根据题意知,当第一个工厂生
x+y=500
产125个单位产品、第二个工厂生产375个单位产品时总成本最小。
”
上述解法,粗看起来好象没有什么毛病，但却是经不起推敲的。
简单的验证可知，本例求出的总成本为C（125,375）,5但却不是最小，譬如
C（500,0）2,就比求得的“最小值”小了一半还要多！
事实上，点（125,375）
不是最小值点，而是最大值点。
究其原因，主要是解题方法选择不当造成的。
我们知道,求解自变量不超过三个的条件极值问题，既可以用拉格朗日乘数法，也可以用代入法。
用拉格朗日乘数法虽然很方便，但极值点的判定却比较麻烦。
对这个问题,几乎所有的教材都没有作出正面的回答，只指出了用这种方法求出的极值点是“可能的”极值点，“至于如何确定所求得的点是否为极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定”。
然而许多实际问题中，根据问题本身的性质却无法确定究竟是极大还是极小。
在这种情况下，采用代入法则可以有效地解决
极值点的判定问题。
本例中，由于总成本究竟是最小还是最大并不好判定，因而采用代入法求解就可以避免产生上述的错误。
若令y=500-x并代入目标函数C（x,y^x2-2y25xy700中，可得总成本
C=「2x500x500700（0空x乞500），于是问题转化为求函数
C=「2x2，500x500700在区间［0,500］上的最小值。
由-4x500,可得惟一驻点x=125（显然是极大值点），计算该驻点及两端点
处的函数值,有C（125）=531950C（0）=500700C（500）=250700
比较即知x=500是所求之最小值点，此时y=0。
即把500个单位产品的生产任务都分配给第一个工厂生产时总成本最小。
应注意的几个问题：
⑴在讨论二元函数z=f（x,y）在约束条件g（x,y）=0的极值问题时，如果由
g（x,y）二0能解x（或）y就把求二元函数的条件极值转化为求一元函数的极值了。
使用代入法时，减少了变量，给判别极值带来了方便，但有时在约束条件
g（x,y）=0中不易将x（或）y解出，使用这种方法就困难了。
⑵我们知道在求解约束条件比较简单的条件极值问题时，既可以用拉格朗日乘数法,也可用代入法，但在用代入法求解时，如果不注意代入的条件，则可能导致不完整甚至错误的解答⑻。
例如求u=x2•y2，z2在x2「z2=1条件下的极值。
用代入法求解时,如果将
忙4；：
0
z2=x2-1代入u=xy-式,则得u=2x2•y2-1,通过求解方程组
得X=0,y=0，但将x=0代入X2-Z2=1时，
x2y2z2在x2-z2=1条件下似乎无极值。
但如果用拉格朗日乘数法，则可得
到二个可能的极值点，分别为（1,0,0）与（-1,0,0）,且通过几何意义（乃是求原点到柱面x2-z2=1的最短距离），不难得出（1,0,0）与（-1,0,0）都是极小值点，极小值都是1。
原因是求u=x2•y2•z2在x2「z2=1条件下的极值时,x的取值范围是（v,-1]_[1,•：
：
），而将z2=x2-1代入u=x2•y2•z2,求u=2x2•y2-1的极值时,
x的取值范围已是（」：
，•：
：
）。
2•更一般的方法是利用拉格朗日乘数法求解
乘数法”所得到的点只是可能的极值点，到底是否是极值点以及其类型要依据拉格朗日函数F的二阶微分的符号来判断.
例求函数u二xmynzP在条件xya（m0,n•0,p0,a-0）下的极值.
分析:
通过求简单函数的极值点从而达到求复杂函数极值点的方法，是在实际解题
中经常使用的.
解先求v=Inu二mlnxnInypInzm（xyz「a）
manapa
im+n+p'm+n+p'm+n+pj
Fy=n'=0、
y得驻点P
Fz二P，=0
z
xyz_a=0
又由
Fx2
mnp
2,Fy22,Fz22
xyz
妄无z0二
d2F（x,y,z）
-^dx2弓dy2占dz2
xyz
:
:
:
0
故P为v即u的极大值点，此时
mnpm!
npmnpa
（mnp）
3•运用梯度法求条件极值[2]
将梯度法用于求条件极值的问题。
方程组
nJ
严出皿2,川兀）飞血财（心川际）的解,就是所求极值问题的可能极
Y（為,X2,川,xn）=0,（i=1,2,卄|,n-1）
值点。
例1.试求n个正数，其和为定值I的条件下，什么时候乘积最大，并证明
1
収哉川人（石X2川xn）
n
证明：
本题的实质是求y=f（论公2,|l（,xn）=^XzlllXn在条件论■X2■III，Xn=l下
的最大值问题。
根据本文定理，列出下列方程组，求解可能的极值点
X2川Xn-l）
grad（X1X2人）二grad（x1
为X2川人=l进一步求解得
IX2X3||忧，％3IllXn川|）||,%2（）区4、1,1川"
X1■X^H'Xn=l
容易得到
N=x2=川二xn二丄，根据题意,则I1,1,111,1是唯一的极大值点，也是最大值nInnn丿
点。
所以，
f（NM川,Xn）-1,即n陋|l[Xn-丄（人X2IIIXn）
\njn
这一方法当然适合于二元函数和三元函数的条件极值问题。
例如：
求Z二f（X,y）
在条件"x,y）=O下的极值，只要列出方程组gradf（x,y）」grad「（x,y）再求出
啓（x,y）=o
相应的,x,y,则其中（x,y）是可能的极值点.
例2•从斜边之长为I的一切直角三角形中，求最大周长的直角三角形。
解：
设两条直角边为x,y本题的实质是求f（x,y）=x•y•丨在条件xy2=I2下的
极值问题。
根据本文定理，列出方程组：
呼警十丁皿刨宀八丨2）
X2+y2=丨2
进一步求解得
[f22x，2y*容易解出x二y=丨_,所以，根据题意丨，丨是唯一的极大
xy=l、2.2.2
值点，因而也是最大值点。
当两条直角边都为—时，直角三角形的周长最大。
V2
4•利用二次方程判别式的符号求某些条件极值⑷
例若x2y2z2=1,试求f=x-2y-2z的极值.
1
解因为y^（x•2z-f），代入x2y2z^1得
或
f匚2z-5（仁Z）-仁z<1（3）
的极值.
由⑵得9z2-4fzf2-5=0⑷
这个关于z的二次方程要有实数解，必须
•：
=16f2-36（f2-5）_0,即9-f2_0
解此关于f的二次不等式，得f<3.
所以fmax=3,饰一3
221
把f=3代入⑷得z=—,再把f=3,z二—代入
（1）,得x=-，最后把
333
2112
f=3,z二―，x二-代入y二―（x2z-f）,得y二-—.
3323
122
所以，当x=-,y---,z=-时，函数f达到极大值3.
333
122
同理可得，当x=-,y=-,z---时,函数f达到极小值-3.
333
也可以从（3）作类似讨论得出f的极大值3和极小值-3.
5•利用标准量代换法求函数极值[5]
求某些有多个变量的条件极值时，我们可以选取某个与这些变量有关的量作为标准量,称其余各量为比较量，然后将比较量用标准量与另外选取的辅助量表示出来这样就将其变为研究标准量与辅助量间的关系了.
如果给定条件是几个变量之和的形式，一般设这几个量的算术平均数为标准
量.
例设xya,求x2y2z2的最小值.
解取—―y_二—为标准量,令x=a-「，y=a--,贝uz=—^（二，：
为任
33333
意实数）,从而有
2
（也
22
-2
:
2、a
）一3
22
=-（黒亠卩）2亠-：
：
2亠〉2亠-（等号当且仅当：
•=：
=0即x=y=z=£
333
时成立）.
2
所以u的最小值为—.
3
［1］李天胜，从一道错误的例题谈条件极值的代入法［J］，高等数学研究，2002（3）:
22.
［2］肖翔，许伯生，运用梯度法求条件极值［J］，上海工程技术大学教育研究，
2006
（1）:
35-37.
［3］莫国良，关于用代入法求条件极值的一点注记［J］，高等数学研究，2004（3）:
42-49［4］王延源，条件极值的六种初等解法［J］,临沂师专学报，1999（12）:
21-24.
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