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因式分解的方法技巧

因式分解得常用方法

第一部分:

方法介绍

多项式得因式分解就是代数式恒等变形得基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中,就是我们解决许多数学问题得有力工具。

因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅就是掌握因式分解内容所必需得,而且对于培养学生得解题技能,发展学生得思维能力,都有着十分独特得作用。

初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法与十字相乘法。

本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解得方法、技巧与应用作进一步得介绍。

一、提公因式法。

:

ma+mb+mｃ=m（a+ｂ+c）

二、运用公式法、

在整式得乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用得公式,例如:

（1）（a＋b）（a-ｂ）=a２－b２－——－———－-ａ２—b2＝（a＋ｂ）（ａ-ｂ）;

（２）　（a±b）2　=ａ２±2ａｂ+b2———ａ2±2ab+b2=（ａ±b）2;

（３）　（a+b）（a２－ab+b2）=a3+b3——-－－-　ａ3＋b３＝（a+ｂ）（ａ２-ａb+b２）;

　（４）（a-ｂ）（a２+ａb+ｂ２）　=　a3－b3－—－—－—a3-b3＝（a-b）（a2+ab＋b2）、

下面再补充两个常用得公式:

　（5）a2+b2+c2+2ａｂ+2ｂｃ+2ca=（a+b+c）2;

（6）a３＋b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2＋b2+c2－aｂ—bｃ－ca）;

例、已知就是得三边,且,

则得形状就是（）

A。

直角三角形B等腰三角形　C　等边三角形D等腰直角三角形

解:

三、分组分解法、

（一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式:

分析:

从“整体”瞧,这个多项式得各项既没有公因式可提,也不能运用公式分解,但从“局部”瞧,这个多项式前两项都含有ａ,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解,然后再考虑两组之间得联系。

解:

原式=

　　　　=　　每组之间还有公因式！

　　　　=

例2、分解因式:

解法一:

第一、二项为一组;　解法二:

第一、四项为一组;

第三、四项为一组。

　第二、三项为一组。

解:

原式=原式＝

　　=　　＝

　　=　　　　　=

练习:

分解因式１、　　　2、

（二）分组后能直接运用公式

例3、分解因式:

分析:

若将第一、三项分为一组,第二、四项分为一组,虽然可以提公因式,但提完后就能继续分解,所以只能另外分组、

　解:

原式=　　　

＝

　　　　=

例4、分解因式:

　　解:

原式=

　　　　　　=

　　　　　=

练习:

分解因式3、　４、

综合练习:

（1）　

（2）

（3）　（4）

（5）　　（６）

（7）　　　（8）

（9）　　（10）

（1１）（12）

四、十字相乘法。

（一）二次项系数为1得二次三项式

直接利用公式——进行分解。

特点:

（1）二次项系数就是1;

（2）常数项就是两个数得乘积;

（3）一次项系数就是常数项得两因数得与。

思考:

十字相乘有什么基本规律?

例。

已知0<≤5,且为整数,若能用十字相乘法分解因式,求符合条件得。

解析:

凡就是能十字相乘得二次三项式ａx2+bｘ+c,都要求>０而且就是一个完全平方数。

于就是为完全平方数,

例5、分解因式:

分析:

将6分成两个数相乘,且这两个数得与要等于5。

　由于6=2×3=（-２）×（-３）=1×６=（－1）×（—6）,从中可以发现只有2×3得分解适合,即2+3=５。

　　　　　　　　　1　　　2

解:

＝　　　1　３　

　　　　　=　　　　１×2+1×3=5

用此方法进行分解得关键:

将常数项分解成两个因数得积,且这两个因数得代数与要等于一次项得系数。

例６、分解因式:

解:

原式=　1　—1

=　　　　　１　—6　

（-1）+（-6）=　－7

练习5、分解因式（１）　

（2）　（3）

练习６、分解因式

（1）　

（2）　（3）

（二）二次项系数不为１得二次三项式—-

条件:

（1）　　　　　　　　

（2）　　　　　　　　　　　

（３）　　　

分解结果:

=

例7、分解因式:

分析:

　　　　　1　　—2

　　　　　　3　　　—5　

　　　（－6）＋（－5）＝-11

解:

=

练习7、分解因式:

（１）　　　（２）

　　　　　　（3）　（4）

（三）二次项系数为1得齐次多项式

例８、分解因式:

分析:

将瞧成常数,把原多项式瞧成关于得二次三项式,利用十字相乘法进行分解。

　　　　　　　　１　　８b

　　　　　　　　　1　　－16b　

　　　8b＋（－16b）=—8b

　解:

=

　　　=

练习8、分解因式

（1）（２）（3）

（四）二次项系数不为1得齐次多项式

例9、　　　　　　例10、

　　　　　1　—2y　　　把瞧作一个整体１　—1　

　　2-3y　　　　　　1　　—2　

　　　　（—3y）+（-4y）＝－７ｙ　　　　　　　（—1）+（—2）=-3　

解:

原式＝　　　　　　解:

原式=

练习9、分解因式:

（1）　　

（2）

综合练习１0、

（1）　　　

（2）

（3）　（４）

（5）　　　（６）

（7）（8）

（９）（１0）

思考:

分解因式:

五、换元法、

例13、分解因式（１）

（2）

解:

（1）设200５=,则原式=

　　　　　　＝

　　　　　　　　=

（2）型如得多项式,分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。

　原式=

设,则

∴原式＝=

　＝=

练习１3、分解因式

（1）

（2）

（3）

例１4、分解因式

（1）

观察:

此多项式得特点——就是关于得降幂排列,每一项得次数依次少1,并且系数成“轴对称”、这种多项式属于“等距离多项式”、

方法:

提中间项得字母与它得次数,保留系数,然后再用换元法、

解:

原式==

设,则

∴原式==

　　==

　＝=

=

（2）

解:

原式＝=

设,则

　∴原式==

　　　　=＝

练习14、

（1）

（2）

六、添项、拆项、配方法、

例15、分解因式（１）　　

解法1--拆项、　　　　　　解法2—-添项。

原式＝　　　　原式=

=　=　　　　　　　　　　　=　　　=＝　　　　　=

=　　　　　　=

（2）

解:

原式=

=

=

=

练习1５、分解因式

（1）

（2）

（3）　（４）

（5）（6）

七、待定系数法。

例１6、分解因式

分析:

原式得前3项可以分为,则原多项式必定可分为

解:

设＝

∵=

∴=

对比左右两边相同项得系数可得,解得

∴原式=

例17、

（1）当为何值时,多项式能分解因式,并分解此多项式。

（2）如果有两个因式为与,求得值。

（1）分析:

前两项可以分解为,故此多项式分解得形式必为

解:

设=

　则=

比较对应得系数可得:

解得:

或

∴当时,原多项式可以分解;

当时,原式=;

当时,原式＝

（２）分析:

就是一个三次式,所以它应该分成三个一次式相乘,因此第三个因式必为形如得一次二项式。

解:

设=

　　　则=

∴解得,

∴=2１

练习17、

（1）分解因式

（2）分解因式

（3）已知:

能分解成两个一次因式之积,求常数并且分解因式。

（4）　为何值时,能分解成两个一次因式得乘积,并分解此多项式。

第二部分:

习题大全

经典一:

一、填空题

1、把一个多项式化成几个整式得＿＿___＿_得形式,叫做把这个多项式分解因式、

２分解因式:

m3-4m=　　　　　　　、

3、分解因式:

x2—4ｙ2=_＿　　　＿__＿_、

4、分解因式:

=＿______＿___　_____＿。

5、将xn-yn分解因式得结果为（x2+ｙ2）（x+ｙ）（x-y）,则ｎ得值为　　、

6、若,则=＿___＿＿_＿＿,＝____＿＿____。

二、选择题

7、多项式得公因式就是（）

A、　B、　Ｃ、　D、

8、下列各式从左到右得变形中,就是因式分解得就是（　）

A、　B、

C、　D、

１0。

下列多项式能分解因式得就是（　　）

（A）x２－y　　　（B）x2+1　（C）ｘ２＋y+y2　（D）x2－４x+4

1１、把（x—y）2－（y－x）分解因式为（）

A、（x-y）（x-ｙ—1）　　　Ｂ、（y-x）（x－y－1）

C。

（ｙ－x）（y-x—1）　D、（y—x）（y－ｘ+１）

12、下列各个分解因式中正确得就是（　）

A。

1０ab２c＋6aｃ2+2ac＝2ac（５b2+３c）

B、（a－b）２－（b－a）2＝（a－b）２（a-b＋1）

Ｃ。

x（b＋ｃ-a）－y（a-b－c）－a＋b-c＝（b+ｃ－a）（x+y－１）

D、（a-2b）（3ａ+b）-5（2b-a）2=（ａ-2ｂ）（11b—2a）

13、若k－1２xy+9x2就是一个完全平方式,那么k应为（　　）

Ａ、2　B、4　　C、2ｙ2　　　　　Ｄ。

４ｙ2

三、把下列各式分解因式:

14、　　　　　　1５、

16、　　　17、

18、　　　　　19、;

五、解答题

２0、如图,在一块边长=6。

67cm得正方形纸片中,挖去一个边长=3。

3３cm得正方形。

求纸片剩余部分得面积。

2１、如图,某环保工程需要一种空心混凝土管道,它得规格就是内径,外径长。

利用分解因式计算浇制一节这样得管道需要多少立方米得混凝土？

（取３、14,结果保留2位有效数字）

22、观察下列等式得规律,并根据这种规律写出第（５）个等式、

经典二:

因式分解小结

知识总结归纳

因式分解就是把一个多项式分解成几个整式乘积得形式,它与整式乘法互为逆运算,在初中代数中占有重要得地位与作用,在其它学科中也有广泛应用,学习本章知识时,应注意以下几点。

1、因式分解得对象就是多项式;

2。

因式分解得结果一定就是整式乘积得形式;

3、　分解因式,必须进行到每一个因式都不能再分解为止;

４。

公式中得字母可以表示单项式,也可以表示多项式;

5。

结果如有相同因式,应写成幂得形式;

　６、　题目中没有指定数得范围,一般指在有理数范围内分解;

7。

因式分解得一般步骤就是:

　（１）通常采用一“提"、二“公”、三“分”、四“变”得步骤、即首先瞧有无公因式可提,其次瞧能否直接利用乘法公式;如前两个步骤都不能实施,可用分组分解法,分组得目得就是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解;

（2）若上述方法都行不通,可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法;

下面我们一起来回顾本章所学得内容、

１。

　通过基本思路达到分解多项式得目得

例1、分解因式

　分析:

这就是一个六项式,很显然要先进行分组,此题可把分别瞧成一组,此时六项式变成二项式,提取公因式后,再进一步分解;也可把,,分别瞧成一组,此时得六项式变成三项式,提取公因式后再进行分解。

　解一:

原式

　解二:

原式=

　2、通过变形达到分解得目得

　例1、分解因式

　　解一:

将拆成,则有

解二:

将常数拆成,则有

3、　在证明题中得应用

例:

求证:

多项式得值一定就是非负数

分析:

现阶段我们学习了两个非负数,它们就是完全平方数、绝对值、本题要证明这个多项式就是非负数,需要变形成完全平方数。

　证明:

　　　设,则

4。

因式分解中得转化思想

例:

分解因式:

　分析:

本题若直接用公式法分解,过程很复杂,观察a+b,b+c与ａ+2b+c得关系,努力寻找一种代换得方法。

解:

设a+ｂ＝A,b＋c=B,a+２b+c=A+B

说明:

在分解因式时,灵活运用公式,对原式进行“代换”就是很重要得。

中考点拨

例1、在中,三边a,ｂ,c满足

求证:

　证明:

　　　说明:

此题就是代数、几何得综合题,难度不大,学生应掌握这类题不能丢分、

例2、已知:

___＿＿_＿___

　解:

　说明:

利用等式化繁为易。

题型展示

　　1。

　若x为任意整数,求证:

得值不大于1００。

解:

　说明:

代数证明问题在初二就是较为困难得问题。

一个多项式得值不大于100,即要求它们得差小于零,把它们得差用因式分解等方法恒等变形成完全平方就是一种常用得方法。

　２、将

解:

　说明:

利用因式分解简化有理数得计算。

实战模拟

1。

分解因式:

2、已知:

得值。

3。

矩形得周长就是2８cｍ,两边x,y使,求矩形得面积。

4、求证:

就是6得倍数。

（其中n为整数）

　5。

已知:

a、ｂ、c就是非零实数,且,求ａ＋b＋c得值。

６、已知:

ａ、b、c为三角形得三边,比较得大小。

经典三:

因式分解练习题精选

一、填空:

（30分）

１、若就是完全平方式,则得值等于__＿__。

2、则=__＿_=＿__＿

3、与得公因式就是_

4、若＝,则m=_＿__＿＿_,n=__＿＿__＿__、

5、在多项式中,可以用平方差公式分解因式得

有______＿_________________　,其结果就是__＿_____________＿__＿＿。

6、若就是完全平方式,则m＝_＿___＿＿。

7、

8、已知则

9、若就是完全平方式M=__＿_＿＿_＿。

10、,

１1、若就是完全平方式,则k=、_＿_____。

12、若得值为0,则得值就是_＿_＿＿___。

１3、若则=＿__＿_、

14、若则___。

15、方程,得解就是＿_______。

二、选择题:

（1０分）

1、多项式得公因式就是（）

A、－a、　B、C、　　D、

2、若,则m,k得值分别就是（　　）

A、m＝—2,k=６,B、m=2,k＝12,Ｃ、m=-４,ｋ=—12、Dｍ=4,k=12、

３、下列名式:

中能用平方差公

式分解因式得有（）

A、１个,B、２个,Ｃ、3个,Ｄ、4个

４、计算得值就是（　）

A、　Ｂ、

三、分解因式:

（30分）

1、　

2、

3　、

4、　　

5、　　　　　

６、

７、　　　　　

8、

9、　　

10、

四、代数式求值（１５分）

1、已知,,求得值。

2、若x、y互为相反数,且,求x、y得值

3、已知,求得值

五、计算:

　（15）

（1）0。

75

（2）　　

（3）

六、试说明:

（8分）

1、对于任意自然数n,都能被动24整除。

2、两个连续奇数得积加上其中较大得数,所得得数就就是夹在这两个连续奇数之间得偶数与较大奇数得积。

七、利用分解因式计算（8分）

1、一种光盘得外D=11、9厘米,内径得d=３。

7厘米,求光盘得面积、（结果保留两位有效数字）

2、正方形1得周长比正方形２得周长长96厘米,其面积相差9６0平方厘米求这两个正方形得边长。

八、老师给了一个多项式,甲、乙、丙、丁四个同学分别对这个多项式进行了描述:

甲:

这就是一个三次四项式

乙:

三次项系数为1,常数项为１、

丙:

这个多项式前三项有公因式

丁:

这个多项式分解因式时要用到公式法

若这四个同学描述都正确请您构造一个同时满足这个描述得多项式,并将它分解因式。

（４分）

经典四:

因式分解

一、选择题

1、代数式ａ3b2-a2b3,a3b4＋ａ4b３,ａ４ｂ2－ａ２b4得公因式就是（　　）

A、ａ３b２　　　B、a2b２C、a2b3　D、ａ３b3

2、用提提公因式法分解因式5ａ（x－y）—１0b·（ｘ－y）,提出得公因式应当为（）

Ａ、5ａ－1０ｂ　B、５a+１0bC　、5（ｘ-ｙ）　D、y－x

３、把—8m３+12ｍ2+4m分解因式,结果就是（　　）

Ａ、－4m（2ｍ2－３m）　　　　Ｂ、—4m（2m2＋3m-1）

Ｃ、—4m（2ｍ2-３m-1）　　　　　Ｄ、－2ｍ（4ｍ２－６m+2）

4、把多项式－2ｘ４－4x2分解因式,其结果就是（）

A、２（-x4-2x2）　B、-2（x4＋2x2）　C、－x2（2ｘ2＋４）D、-2x２（ｘ2+２）

５、（－２）1９9８+（-２）19９9等于（　　）

A、－2１９98　　　B、21９９8　　　　Ｃ、－2199９　　Ｄ、21999

6、把１6－ｘ4分解因式,其结果就是（　　　）

A、（２－x）4　　B、（4＋x2）（４－x２）　

Ｃ、（4＋x2）（2＋x）（２—x）　D、（2＋x）3（2－ｘ）

7、把a4－2a2b2＋ｂ4分解因式,结果就是（　）

A、a２（a2－2ｂ2）＋b4　B、（a2－b2）2　C、（a-b）4　　D、（ａ+b）２（a－ｂ）2

8、把多项式2ｘ2－２x+分解因式,其结果就是（　）

A、（２x—）２Ｂ、２（x—）2　Ｃ、（x－）2　D、（x－1）２

9、若9a２+6（k－3）a＋1就是完全平方式,则k得值就是（）

Ａ、±4　　B、±2　Ｃ、3　Ｄ、4或2

1０、-（２x-y）（2x+y）就是下列哪个多项式分解因式得结果（　　　）

A、４x２－y2B、4x2＋y2　C、－4x２-ｙ2　　D、—4x2＋y2　

１1、多项式x２+3ｘ－５4分解因式为（　　）

A、（x＋6）（x—9）　　B、（x－６）（x＋9）

Ｃ、（x＋6）（x＋9）　D、（x-6）（x—9）

二、填空题

1、２x2－４xy－2x＝＿___＿＿_（ｘ－２ｙ—1）

2、4a３b２-10ａ2b3＝　２ａ2b2（_＿______）

3、（1－a）mn+a－１＝（_＿＿__＿__）（ｍｎ—1）

４、ｍ（m—n）２—（n—m）2=（＿_＿___＿__＿）（＿____＿＿___）

5、ｘ2-（____＿__）+１６ｙ2＝（　　　）2

6、ｘ２-（＿___＿_＿）２=（x+５y）（x－5y）

７、a2－4（ａ—ｂ）2=（_＿__＿___＿_）·（___＿_＿____）

8、a（x+y－z）+b（x+y－z）－ｃ（x+y—z）=（ｘ＋y-z）·（____＿＿__）

9、16（x－y）2—9（ｘ＋y）2=（＿_____＿_＿）·（_＿＿___＿＿__＿）

１0、（a＋b）3－（a+ｂ）=（a+b）·（_＿___＿＿＿_＿_）·（＿____＿____）

11、x2＋３x＋2=（__＿_＿___＿__）（_＿＿＿______）

１2、已知x2＋px+１2=（x－2）（x—6）,则p=_______、

三、解答题

1、把下列各式因式分解。

（1）x2－2ｘ３　　　　

（2）3y3-6y２＋3y

（3）a2（x－２a）2－a（x—2ａ）2　　　　（4）（x-２）２－x+2

（5）2５m2-10mn＋n2　　　　　　　　　　（6）12a2b（x-y）—4aｂ（y-x）

（７）（x－１）2（3x—2）+（2-3x）　　　（8）a2+5a+6

（９）x2-11x＋2４　　　　　　　（１0）ｙ2-１2y-28

（11）x2+4x-5　　　　　（12）ｙ4-3y3－２8ｙ2

2、用简便方法计算。

（1）９99２+9９9　　　　

（2）20２2－542+２56×352

（3）

3、已知:

x＋y＝,ｘy=1。

求x3y＋2ｘ2ｙ2+xy3得值。

四、探究创新乐园

1、若ａ—b=２,a-ｃ=,求（ｂ-c）2+3（b－ｃ）＋得值、

2、求证:

111１-１110－119＝11９×10９

经典五:

因式分解练习题

一、填空题:

2、（a－3）（3—２a）=_＿_＿＿__（3-a）（3—2a）;

12、若m2－3m+2=（m＋a）（m+b）,则a=_＿____,ｂ＝______;

１5、当m＝＿___＿＿时,x2+2（m－3）x+2５就是完全平方式。

二、选择题:

1、下列各式得因式分解结果中,正确得就是

［　］

Ａ。

a2b＋7aｂ－b=b（a2＋7ａ）

B、3x2y－3xｙ-6y＝3y（x－2）（x＋1）

C、８xyｚ－６ｘ2y2=2ｘyz（４—３xy）

D、—2a2+4ａb-6aｃ=—２a（a+2b—3c）

2、多项式m（n-2）－m２（2—n）分解因式等于

[　　　]

Ａ、（n-２）（ｍ+m２）　　　　　　B、（ｎ-2）（m－m2）

C。

m（n-2）（m+1）　　　　　　Ｄ、m（n-2）（m－１）

３。

在下列等式中,属于因式分解得就是

[　　　］

A、ａ（x—y）+ｂ（ｍ＋n）=ａx+bm－ay＋bn

Ｂ、ａ2—2ａb+b２＋１=（a－b）2＋1

C、－4a2+9b2=（－２ａ＋3b）（2a+３b）

D、x２－7x－8=x（x－7）－８

4。

下列各式中,能用平方差公式分解因式得就是

［　]

Ａ、a２+b2　　　　　　B。

-a2+b２

C。

—a2—b2　　　　　D、-（—a2）+b2

5、若９ｘ2＋ｍｘy＋16ｙ2就是一个完全平方式,那么m得值就是

［　　］

Ａ、－12　　　　　　　　　　　　B、±2４

C。

12　　　　　　　　　　D。

±12

6、把多项式an＋4－an+１分解得

［］

Ａ、ａn（a４－a）　　　　　　　　　B、an－１（ａ３—１）

C。

aｎ＋１（a－1）（a2—a＋１）　　　　D、aｎ+１（a—1）（ａ2+a+1）

7、若a2＋a=-１,则a4+2ａ3－3a2-4a＋3得值为

［　　　］

A、8　　　　　　　　　　B。

7

C、1０　　　　　　　　D、12

8、已知ｘ2＋y２＋２x—6y＋10=０,那么x,y得值分别为

[　］

A、x=１,y=3　　　　　　　B、ｘ＝1,ｙ＝-3

Ｃ。

ｘ=－1,y=3　　　　　　　　　D、x=1,y＝－3

９、把（m2+3m）4－8（m2＋3m）2+１6分解因式得

［　　]

Ａ、（m＋1）4（m＋2）2　　　　　B、（m－1）２（m—2）2（m2+3ｍ－2）

Ｃ、（m+４）2（ｍ－１）２　　　　D、（m+１）