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刚体转动惯量及其计算方法毕业论文

本科毕业论文

题目:

刚体转动惯量及其计算方法

4刚体的几种基本运动3

4。

1定轴转动3

4。

2刚体平面平行运动3

4。

3定点转动4

4。

4一般运动4

5。

2转动惯量的计算方法6

5。

2.1定义法6

刚体转动惯量及其计算方法

摘要：

在刚体动力学中，有大量的篇幅研究刚体的转动问题，无论是定轴转动、平面平行运动,还是绕定点的转动，其动力学方程中均含有转动惯量.转动惯量在刚体力学中有很重要的的地位，相当于质点在动力学中的质量地位相当，应用较为广泛。

本文对质量各种分布刚体的转动惯量进行浅谈,及对定点转动问题进行定量分析.

关键词：

刚体；运动;转动惯量；定点转动。

1、引言

随着科学技术的迅猛发展,转动惯量作为一个重要的工程参数,在越来越多的领域受到重视，如何更方便,快捷，准确的计算转动惯量成为了一个迫切需要解决的问题。

转动惯量等于刚体中每个质元的质量与这一质元到转轴的垂直距离的平方的乘积的和,而与质元的运动速度无关。

与质点的平动动能比较而言,转动惯量相当于平动时的质量.物体转动时转动惯量是表示物体在转动中惯性大小的量度.关于转动惯量的研究由来已久，现在所取得的成果就是前人一点一滴积累来的。

本文将在此基础上，本着循序渐进的原则，对转动惯量及多种计算方法进行探讨。

近年来伴随着高新技术的日新月异，对物体转动惯量,尤其是对非均质不规则物体早点过来的深入性研究，已经对未来的航空、航天、军事及精密仪器制造等高精尖行业产生了深远的影响。

2基本概念

2。

1描述刚体位置的独立变量

在大多数问题中，是要确定物体在外力作用下，它的位置如何随时间变化，赤即确定它的运动规律。

我们知道：

质点是被抽象为没有大小的几何点（但有一定的质量）。

因此，要确定质点在空间的位置，需要三个独立变量，例如或。

一个质点既然要三个独立变量来确定它的位置,那么有个质点组成的刚体，似乎应当有个独立变量才能去定它在空间中的位置。

其实不然，刚虽然是有个质点组成，但因为任意两点间的距离保持不变，所以只要确定了刚体内不在一条直线上的三点的位置，刚体的位置就能确定.这是因为如果确定了刚体中两点的位置，刚体还可绕着这两点的直线转动；如果再在刚体中把不知这条直线共线的另一点的位置固定，那么刚体就不能做任何运动了。

每一个质点既然要三个独立变量来确定它的位置，而确定刚体的位置需要确定刚体内不共线的三点（图2—1）的位置，因此,确定刚体位置需要九个变量.但因三点间三个距离和是数，所以实际上只要用六个独立变量就可以定刚体位的置.不共线的三点确定刚体位置是，刚体内任选取一点，然后通过点选取任一个直线作为转动轴,那么要确定点的位置需三个独立变量，要确定轴线在空间中的位置取向需三个独立变量（即这轴线的方向余弦），而要确定刚体绕这轴线转了多少角度，又要一个变量。

在这七个变量中，三个方向余弦是不互相独立的（它们的平方和为1）。

这就是到现在最优的方法，但也不是很理想.

2。

2刚体运动的分类

上面已经提到：

刚体用六个独立变量就可以定刚体位的置，所以其最一般的运动，是具有六个独立变量的平动与转动的组合。

但在某些条件的约束下，刚体可以作少于六个独立变量的运动。

如：

刚体作运动时的独立变量是三个、定轴转动时的独立变量是一个、作平面运动时的独立变量是三个、作定点转动时也只有三个独立变量，作一般运动时刚体不受任何约束,可以在空间任意运动，但可分解为质心的平动（三个独立变量）与绕通过质心的某某直线的定点转动（三个独立变量）。

因此刚体作一般运动时有六个独立变量.

3刚体力学中的质量和惯性

3。

1刚体力学中的惯性运动

从动力学的角度讲，惯性运动仅适用于质点或仅适用于平动.惯性和惯性运动是有区别的,惯性包括平动惯性和转动惯性；平动惯性与其质量“M”有关，转动惯性与其转动惯量“I”有关.当刚体转动时，刚体上各点作曲线运送，用单一的运动学特征不能完全反映出刚体复杂的运动状态，也不能完全反映出惯性运动的本意。

所以,该进一步研究动力学的特征,即：

刚体的动量,动量矩动能等.从刚体的惯性和惯性运动的含义及动力学的定律出发,可定义为刚体的动量和动量矩均守恒的运动成为刚体的惯性运动，即

（3-1）

为了更确切地定义刚体的惯性运动还得满足作用于刚体上的合作用力为零与合作用力矩为零，即

（3-2）

由（3—1）（3-2）式得出的这一刚体的惯性运动也是质点惯性运动的推广。

根据（3-1）（3-2）式其中的一个就能判断一个刚体是否作惯性运动。

3.2惯性运动在刚体力学中的应用

①。

刚体作定轴转动时的惯性运动刚体绕固定轴作匀角速转动时有两种情况。

一是固定，二是固定轴通不过质心。

对刚体绕轴通过质心的固定轴转动情况看，满足式（3—1）的可以看成是惯性运动，刚体定轴转动的惯性运动也是由来确定,可按惯性运动的规律来处理这类问题.如固定轴通不过质心则不能用简单的惯性运动的规律来处理这类问题,在这种情况下，虽然某一方面保持了物体原来的状态，而且总动量矩为零，但总动量不一定为零，所以这种情况不能看作是惯性运动,这一点就是研究质点与刚体时利用动力学规律处理惯性问题的不同之处。

②。

刚体作定点转动时的惯性运动质心与定点重合，外力矩此时，刚体可能的运动有三种情况，第一种是绕中心的惯量线轴作匀角速转动;第二种是对固定于惯性空间和这一特别选定的坐标做规则运动；更一般的运动.这三种运动中，因为以质心为定点，所以，按着第（3-1）式,这三种情况都是定点惯性运动。

4

塞曼效应的实际用途

刚体的几种基本运动

4。

1定轴转动

图4-1

如果刚体运动时，其中有两个点始终不动，那么因为两点可以决定一条直线，所以这条直线上的质点都固定不动,整个刚体就绕着这条线转动,这条折现叫做转动轴，而这种运动叫做绕固定轴转动简或称定轴转动。

我们要知道刚体绕这条直线转了多少角度，就能确定刚体的位置。

因此，刚体做定轴转动时只有一个独立变量.如图4—1

4.2刚体的平面平行运动

在刚体运动过程中，若体内任一点到某固定平面的距离始终保持不变，则称该刚体的运动为平面平行运动，简称平面运动.刚体的平面运动可以简化为平面图形在自身固定平面内的运动.今后说到平面图形的运动,就是指刚体的平面运动。

这是运动可分解为某一平面内任一点的平动（两个独立变量）及绕通过此点且垂直与固定平面的固定轴的转动（一个独立变量）,所以刚体作平面运动时有三个独立变量。

如图4-2所示：

图4-2

4。

3定点转动

刚体在运动过程中有一点永远保持不动。

整个刚体就绕着通过这一点的某一瞬时轴运动，这种运动称为定点转动.此时转动轴并不固定于空间（因只通过一个点）与定轴转动时的情形不同，我们要用两个独立变量才能确定瞬时轴运动的取向，再用一个变量确定刚体绕这条轴线转了多少角度,所以刚体作定点转动时也只有三个独立变量。

如拖累的运动（图4-3）

4.4一般运动

刚体不受任何约束，可以在空间任意运动但可分解为质心的平动（三个独立变量）与绕通过质心的某某直线的定点转动（三个独立变量）。

因此刚体作一般运动时有六个独立变量。

5刚体转动惯量的计算方法

5。

1转动惯量的引入

为引入转动惯量，刚体可看成是由个质点组成,刚体可绕固定轴转动,于是刚体上每质点都绕轴作圆周运动。

在刚体上取质点，其质量为，绕轴作半径为的圆周运动。

设质点受两个力作用,一个是外力，另一个是刚体中其它质点作用的内力，并设外力和内力均在与轴相垂直的同一平面内。

由牛顿第二定律，质点的运动方程为

（5—1）

表为质点的切向加速度。

如以和分别表示外力和内力在切向的分力,那么质点的切向运动方程为

（5—2）

（5—2）式中是角加速度.切向加速度与角加速度之间的关系。

（5—2）式两边各乘以得

（5—3）

式中和分别是外力和内力切向分力的力矩。

考虑到外力和内力在法向的分力和均通过转轴，所以其力矩为零.故上式左边也可理解为作用在质点上的外力矩与内力矩之和。

若遍及所有质点，可得

（5—4）

由于刚体内各质点间的内力对转轴的合内力矩为零，故上式为

（5—5）

则有

（5—6）

式中的与刚体的形状、质量分布以及转轴的位置有关，也就是说，它只与绕定轴转动的刚体本身的性质和转轴的位置有关，叫转动惯量。

对于绕定轴转动的刚体,它为一恒量，以表示，即

（5—7）

（5-7）代入（5—6）就有

（5-8）

（5-8）式表示刚体绕定轴转动时的与牛顿第二定律等效的动力学方程。

可见，刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比,这个关系叫做定轴转动时刚体的转动定律，简称转动定律。

把式（5—8）与描述质点运动的牛顿第二定律的数学表达式相对比可以看出，它们的形式很相似：

外力矩和外力相对应，角加速度与加速度相对应，转动惯量与质量相对应。

转动惯量的物理意义也可以这样理解：

当以相同的力矩分别作用于两个绕定轴转动的不同刚体时，它们所获得的角加速度一般是不一样的.转动惯量大的刚体所获得的角加速度小，即角速度改变得慢，也就是保持原有转动状态的惯性大;反之,转动惯量小的刚体所获得的角加速度大，即角速度改变得快，也就是保持原有的转动状态的惯性小。

因此我们说,转动惯量是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量。

故下面进行讨论计算转动惯量的几种方法。

5。

2转动惯量的计算方法

5。

2.1定义法

由可以看出，转动惯量等于刚体上各质点的质量与各质点到转轴的距离平方的乘积之和。

如果刚体上的质点是连续分布的，则其转动惯量可以用积分进行计算，即

     （5—9）

在国际单位制中，转动惯量的单位是.

下面计算两种简单形状刚体的转动惯量。

［例］一质量为、长为的均匀细

长棒，如图5—2所示,求通过棒中心并

与棒垂直的轴的转动惯量。

［解］设细棒的线密度为.如图所示，

取一距离转轴为处的质量元，

由式（5—9）可得

由于转轴通过棒的中心，有

如以通过棒的端点且平行于的轴为转轴，用同样的方法。

可计算出棒对此转轴的转动惯量为。

可见所得的结果相比,它比转轴为时的转动惯量要大.

我们在普通物理研究中已学过计算转动惯量的最简单的方法平行轴定律和垂直轴定律，它们的表达式分别为（平行轴定律）和（垂直轴定律），但用这种方法来计算转动惯量时，对一些复杂的问题不能进行充分的解析，而这些方法只限制于只计算对称轴的转动惯量,所以我们采用其他的方法如将要介绍的惯量椭球法。

5。

2。

2惯量椭球法

由理论力学知识知道物体在一般情况下的惯量张量为

（5—10）

并且把它叫做对O点而言的惯量张量，而这一惯量矩阵的每一个元素（轴转动惯量和惯量积）则叫做惯量张量，也叫惯量系数。

其中

（5—11）

及

（5-12）

对质量均匀分布，且形状规则的刚体，我们可把上两式改写成积分形式，即

（5—13）

及

（5—14）

据（5—9）式,,就叫做刚体对x轴，y轴,z轴的轴转动惯量，至于，,则因含有两个坐标的相乘项，所以叫做惯量积。

若令转动轴的方向余弦各位并利用（5—10）式容易得到一般刚体的转动惯量,由惯量张量计算转动惯量的计算公式

（5—15）

式中为任一转动瞬轴相对于坐标轴的方向余弦，三个转动惯量和六个惯量积（由于对称关系，实际上也只有三个是相互独立的）作为统一的一个物理量，来代表刚体转动时惯性的量度。

由于惯量系数都是点坐标的函数，所以，如果利用静止坐标系，那么刚体转动时，惯量系数亦将随之而变，这显然是很不方便的.因此，通常都选取固连在刚体上，随着刚体一同转动的坐标系，这样惯量系数都将是常数.

动坐标系的原点和坐标轴只需固定在刚体上即可，坐标轴的取向则完全可以任意选取。

因此，我们可以利用这一性质，同时消去转动惯量中惯量积，以使问题更为简化.

为了消去惯量积，一般是采用下面介绍的方法.如果我们在转动轴，载取一线段，并且使为刚体绕该轴时的转动惯量，则点的坐标为

因为通过有很多转轴，按照上面所讲的方法，就应有很多的点,些点的轨迹方程为［利用及式（5—15）

（5—15）

这是中心在点的二次曲面方程，一般来讲，它是闭合曲面,因为不等于零，（是R趋于无限大），古（5-15）式代表一个中心在点的椭球,这就是我们推导的惯量椭球方程。

如果为刚体的中心（或重心）则所作出的椭球叫做中心惯量椭球按（5—19）式画出椭球后，据的关系，由某轴上矢径R的长，计算出刚体绕该轴的转动惯量I，虽然用惯量椭球可以计算转动惯量,但我们的主要目的并不在此，我们的主要目的是如何用它来消去惯量积,所以下面再次讨论消去惯量积的方法。

5.2.3惯量主轴法

因为每个椭球都有相互垂直的三条主轴，如果是这些主轴为坐标轴，则椭球方程中含有异坐标项城的项统统消失，惯量椭球的主轴叫惯量主轴，而对惯量主轴的的转动惯量叫主转动惯量，并以表之，因为惯量积已都等于零，无需再用两个下角标,如果取点上的惯量主轴为坐标轴，则惯量椭球的方程将简化为

（5—16）

此时系数就是点上的主转动惯量，而惯量积则统统等于零.所以选取惯量主轴为坐标轴,问题就能得到简化。

以上讨论中显然消去6个惯量积，在定点转动中，定点转动如陀螺运动中，由于转动轴在空间的取向随时变化，这种情况在转动定律中出现多余的力矩，也就是说角动量和角速度矢量不一致的原因，下面进一步讨论这个问题.

5。

2.4实验方法测量

对于形状不规则的刚体我们可以通过实验方法直接测量.其基本方法和装着图样如下：

图5—7

测量刚体转动惯量实验装着图5-7所示，质量为m的刚体放在承物台上,然后用细线连接砝码的一端。

（测出砝码所降的距离h,时间为t,记录下来）滑轮的质量和滑动摩擦力都可以忽略。

实验装原理的解释:

装着中有两种运动，一个是转动，另一个是匀变速机械运动，我们灵活应用这两种运动的规律，可以计算形状不规则刚体的转动惯量。

若用来表示形状不规则刚提的转动惯量、圆盘的转动惯量为：

则总得转动惯量可表为：

而转动部分的运动规律为：

其中表示圆盘的角加速度，F的大小等于砝码所受的重力大小,它和圆盘切向加速度的关系

测出砝码所降的距离h，时间t以后,砝码的运动方程为

因h是确定，而时间可以用时间表来记录.从而可以计算线加速度。

从式

可以计算，它的值为：

代入数据可以算出，且

由

代入式

，无规则的刚提的转动惯量为：

5。

2.5陀螺运动的描述

定点转动如陀螺运动中,由于转动轴在空间的取向随时变化，是三维空间问题,需要用两个坐标系、三个独立变量来描述。

以固定点O为坐标系原点,，为空间固定坐标系，为固定在转动体上随转动体一起转动的动坐标系.陀螺某时刻的位形如图5—7所示：

图5-8

欧拉角的变化范围为:

在这范围内的欧拉运动学方程为:

（5—17）

和如下的欧勒动力学方程为：

（5—18）

式（5-18）中表示对每个转轴的力矩.

利用上面六个方程原则上可求解刚体的所有定点运动问题，但由于上述六个方程都是互相耦合的非线性常微分方程,其求解是相当繁难的，有时甚至是不可能的，因此到目前为止,只有三种情况可求出其精确的解析解，这三种情况是：

欧勒-潘索情况、拉格朗日—泊松情况、柯娃列夫斯卡娅情况，现在只讨论第一种相对简单的情况。

对于对称重刚体,欧勒动力学方程变为：

（5—19）

一般理论力学教材的解法是：

对5-19的第三方程取积分得（常量）,然后将之代入5—19-

（1），

（2）两式得和，，再求解上述两个二阶微分方程等等。

这种求解方法比较繁难，为此，本文给出一种较为简单的方法.

由于，由动量矩定理知，为常矢量（表示角动量），为此，取的方向沿静止坐标系的轴方向，则在动系OZ轴上的投影为:

（5-20）

又因为

（常量）（5—21）

由（5-20）、（5-21）两式知为常量,令,则此时欧勒运动学方程变为：

（5—22）

由（5-22）中第一,第二两式得：

（5-23）

又因

（5-24）

由（5-20）、（5—21）两式,得：

（5-25）

比较（5-24）、（5-40）两式,得:

（5-26）

由（5-23）、（5—26）两式得：

（5-27）

积分上式得：

（5—28）

将（5-28）式代入5-22-（3）式得：

（5-29）

积分上式,得：

（5-30）

综上所述，对称重刚体定点运动的欧勒-潘情况的解为：

（5-31）

（5—32）

由上述求解结果可看出:

1）,说明刚体的对称轴与轴的夹角不变,没有变动。

2）为常量,说明刚体的进动是匀速的。

3）为常量，说明刚体的自转也是匀速的.

所以,对称重刚体的定点运动为规则进动，也就是我们通常所说的惯性运动。

6结论

在刚体对定轴的角动量的定义中出现一个新的物理量：

转动惯量。

转动惯量定义为。

它取决于刚体对轴的质量分布.对通常质量密度均匀的刚体,它取决于刚体的质量、形状和转轴位置三个因素.转动惯量的定义表明，一个质点对定轴的转动惯量是,而刚体的转动惯量就是刚体中的所有质点转动惯量之和。

这也意味着一个刚体整体的转动惯量应等于其各部分的转动惯量之和。

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