恒力矩转动法测刚体转动惯量.docx
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恒力矩转动法测刚体转动惯量
恒力矩转动法测刚体转动惯量
转动惯量是刚体转动中惯性大小的量度。
它取决于刚体的总质量，质量分布、形状大小和转轴位置。
对于形状简单，质量均匀分布的刚体，可以通过数学方法计算出它绕特定转轴的转动惯量，但对于形状比较复杂，或质量分布不均匀的刚体，用数学方法计算其转动惯量是非常困难的，因而大多采用实验方法来测定。
转动惯量的测定，在涉及刚体转动的机电制造、航空、航天、航海、军工等工程技术和科学研究中具有十分重要的意义。
测定转动惯量常采用扭摆法或恒力矩转动法，本实验采用恒力矩转动法测定转动惯量。
一、实验目的
1、学习用恒力矩转动法测定刚体转动惯量的原理和方法。
2、观测刚体的转动惯量随其质量，质量分布及转轴不同而改变的情况，验证平行轴定理。
3、学会使用智能计时计数器测量时间。
二、实验原理
1、恒力矩转动法测定转动惯量的原理
根据刚体的定轴转动定律：
（1）
只要测定刚体转动时所受的总合外力矩M及该力矩作用下刚体转动的角加速度β，则可计算出该刚体的转动惯量J。
设以某初始角速度转动的空实验台转动惯量为J1，未加砝码时，在摩擦阻力矩Mμ的作用下，实验台将以角加速度β1作匀减速运动，即：
（2）
将质量为m的砝码用细线绕在半径为R的实验台塔轮上，并让砝码下落，系统在恒外力作用下将作匀加速运动。
若砝码的加速度为a，则细线所受张力为T=m（g－a）。
若此时实验台的角加速度为β2，则有a=Rβ2。
细线施加给实验台的力矩为TR=m（g－Rβ2）R，此时有：
（3）
将
（2）、（3）两式联立消去Mμ后，可得：
（4）
同理，若在实验台上加上被测物体后系统的转动惯量为J2，加砝码前后的角加速度分别为β3与β4，则有：
（5）
由转动惯量的迭加原理可知，被测试件的转动惯量J3为：
（6）
测得R、m及β1、β2、β3、β4，由（4），（5），（6）式即可计算被测试件的转动惯量。
2、β的测量
实验中采用智能计时计数器计录遮挡次数和相应的时间。
固定在载物台圆周边缘相差π角的两遮光细棒，每转动半圈遮挡一次固定在底座上的光电门，即产生一个计数光电脉冲，计数器计下遮档次数k和相应的时间t。
若从第一次挡光（k=0，t=0）开始计次，计时，且初始角速度为ω0，则对于匀变速运动中测量得到的任意两组数据（km，tm）、（kn，tn），相应的角位移θm、θn分别为：
（7）
（8）
从（7）、（8）两式中消去ω0，可得：
（9）
由（9）式即可计算角加速度β。
3、平行轴定理
理论分析表明，质量为m的物体围绕通过质心O的转轴转动时的转动惯量J0最小。
当转轴平行移动距离d后，绕新转轴转动的转动惯量为：
（10）
图1转动惯量实验组合仪
三、转动惯量实验组合仪简介
1、ZKY-ZS转动惯量实验仪
转动惯量实验仪如图1所示，绕线塔轮通过特制的轴承安装在主轴上，使转动时的摩擦力矩很小。
塔轮半径为15，20，25，30，35mm共5挡，可与大约5g的砝码托及1个5g，4个10g的砝码组合，产生大小不同的力矩。
载物台用螺钉与塔轮连接在一起，随塔轮转动。
随仪器配的被测试样有1个圆盘，1个圆环，两个圆柱；试样上标有几何尺寸及质量，
便于将转动惯量的测试值与理论计算值比较。
圆柱试样可插入载物台上的不同孔，这些
孔离中心的距离分别为45,60,75,90,105mm，便于验证平行轴定理。
铝制小滑轮的转动惯量与实验台相比可忽略不记。
一只光电门作测量，一只作备用，可通过智能计时计数器上的按钮方便的切换。
四、实验内容及步骤
1、实验准备
在桌面上放置ZKY-ZS转动惯量实验仪，并利用基座上的三颗调平螺钉，将仪器调平。
将滑轮支架固定在实验台面边缘，调整滑轮高度及方位，使滑轮槽与选取的绕线塔轮槽等高，且其方位相互垂直，如图1所示。
并且用数据线将智能计时计数器中A或B通道与转动惯量实验仪其中一个光电门相连。
2、测量并计算实验台的转动惯量J1
（1）测量β1
上电开机后LCD显示“智能计数计时器成都世纪中科”欢迎界面延时一段时间后，显示操作界面：
1、选择“计时1—2多脉冲”。
2、选择通道，A或B。
3、用手轻轻拨动载物台，使实验台有一初始转速并在摩擦阻力矩作用下作匀减速运动。
4、按确认键进行测量。
5、载物盘转动15圈后按确认键停止测量。
6、查阅数据，并将查阅到的数据记入表1中；
采用逐差法处理数据，将第1和第5组，第2和第6组……,分别组成4组，用（9）式计算对应各组的β1值，然后求其平均值作为β1的测量值。
7、按确认键后返回“计时1—2多脉冲”界面。
（2）测量β2
1、选择塔轮半径R及砝码质量，将1端打结的细线沿塔轮上开的细缝塞入，并且不重叠的密绕于所选定半径的轮上，细线另1端通过滑轮后连接砝码托上的挂钩，用手将载物台稳住；
2、重复
（1）中的2、3、4步
3、释放载物台，砝码重力产生的恒力矩使实验台产生匀加速转动；
记录8组数据后停止测量。
查阅、记录数据于表1中并计算β2的测量值。
由（4）式即可算出J1的值。
3、测量并计算实验台放上试样后的转动惯量J2，计算试样的转动惯量J3并与理论值比较
将待测试样放上载物台并使试样几何中心轴与转轴中心重合，按与测量J1同样的方法可分别测量未加法码的角加速度β3与加砝码后的角加速度β4。
由（5）式可计算J2的值，已知J1、J2，由（6）式可计算试样的转动惯量J3。
已知圆盘、圆柱绕几何中心轴转动的转动惯量理论值为：
（11）
圆环绕几何中心轴的转动惯量理论值为：
（12）
计算试样的转动惯量理论值并与测量值J3比较，计算测量值的相对误差：
（13）
4、验证平行轴定理
将两圆柱体对称插入载物台上与中心距离为d的圆孔中，测量并计算两圆柱体在此位置的转动惯量。
将测量值与由（11）、（10）式所得的计算值比较，若一致即验证了平行轴定理。
数据记录表格与测量计算实例
表1测量实验台的角加速度
匀减速
匀加速R塔轮=m砝码=
k
1
2
3
4
平
均
k
1
2
3
4
平
均
t（s）
t（s）
k
5
6
7
8
k
5
6
7
8
t（s）
t（s）
β1（1/s2）
β2（1/s2）
表2测量实验台加圆环试样后的角加速度R外=R内=m圆环=
匀减速
匀加速R塔轮=m砝码=
k
平
均
k
1
2
3
4
平
均
t（s）
t（s）
k
k
5
6
7
8
t（s）
t（s）
β3（1/s2）
β4（1/s2）
表3测量两圆柱试样中心与转轴距离d=时的角加速度R圆柱=m圆柱×2=
匀减速
匀加速R塔轮=m砝码=
k
1
2
3
4
平
均
k
1
2
3
4
平
均
t（s）
t（s）
k
5
6
7
8
k
5
6
7
8
t（s）
t（s）
β3（1/s2）
β4（1/s2）
1、将表1中数据代入（4）式可计算空实验台转动惯量J1=kgm2
2、将表2中数据代入（5）式可计算实验台放上圆环后的转动惯量J2=kgm2
由（6）式可计算圆环的转动惯量测量值J3=kgm2
由（12）式可计算圆环的转动惯量理论值J=kgm2
由（13）式可计算测量的相对误差E=
3、将表3中数据代入（5）式可计算实验台放上两圆柱后的转动惯量J2=kgm2
由（6）式可计算两圆柱距轴心为d时的转动惯量测量值J3=kgm2
由（11）、（10）式可计算两圆柱距轴心为d时的转动惯量理论值J=kgm2
由（13）式可计算测量的相对误差E=
4．对平行轴定理加以讨论。
注意事项：
1．一定先将仪器调平。
2．测匀减速时初速度要小。
3．拉力一定与塔轮相切。
选作：
理论上，同一待测样品的转动惯量不随转动力矩的变化而变化。
改变塔轮半径或砝码质量（五个塔轮，五个砝码）可得到25种组合，形成不同的力矩。
可改变实验条件进行测量并对数据进行分析，探索其规律，寻求发生误差的原因，探索测量的最佳条件。
附件：
智能计时计数器简介及技术指标
（1）主要技术指标：
时间分辨率（最小显示位）为0.0001秒，误差为0.004％。
最大功耗0.3W
（2）智能计时计数器简介
智能计时计数器配备一个＋9V稳压直流电源。
智能计时计数器：
＋9V直流电源输入段端；122X32点阵图形LCD；三个操作按钮：
模式选择/查询下翻按钮、项目选择/查询上翻按钮、确定/开始/停止按钮；四个信号源输入端，两个4孔输入端是一组，两个3孔输入端是另一组，4孔的A通道同3孔的A通道同属同一通道，不管接那个效果一样，同样4孔的B通道和3孔的B通道统属同一通道。
4孔输入端（主板座子）3孔输入端（主板座子）电源接口（主板座子）
（3）智能计时计数器操作：
上电开机后显示“智能计数计时器成都世纪中科”画面延时一段时间后，显示操作界面：
上行为测试模式名称和序号，例：
“1计时”表示按模式选择/查询下翻按钮选择测试模式。
下行为测试项目名称和序号，例：
“1－1单电门”表示项目选择/查询上翻按钮选择测试项目。
选择好测试项目后，按确定键,LCD将显示“选A通道测量”，然后通过按模式选择/查询下翻按钮和项目选择/查询上翻按钮进A或B通道的选择，选择好后再次按下确认键即可开始测量。
一般测量过程中将显示“测量中*****”，测量完成后自动显示测量值，若该项目有几组数据，可按查询下翻按钮或查询上翻按钮进行查询，再次按下确定键退回到项目选择界面。
如未测量完成就按下确定键，则测量停止，将根据已测量到的内容进行显示，再次按下确定键将退回到测量项目选择界面。
注意：
有AB两通道，每通道都各有两个不同的插件（分别为电源＋5V的光电门4芯和电源＋9V的光电门3芯），同一通道不同插件的的关系是互斥的，禁止同时接插同一通道不同插件。
AB通道可以互换，如为单电门时，使用A通道或B通道都可以，但是尽量避免同时插AB两通道，以免互相干扰。
如为双电门，则产生前脉冲的光电门可接A通道也可接B通道，后脉冲的当然也可随便插在余下那通道。
如果光电门被遮挡时输出的信号端是高电平，则仪器是测脉冲的上升前沿间时间。
如光电门被遮挡时输出的信号端是低电平，则仪器是测脉冲的上升后沿间时间的。
模式种类及功能：
1计时
2平均速度
3加速度
4计数
计数
30秒
60秒
3分钟
手动
5自检
自检
光电门自检
测量信号输入：
1．计时
1－1单电门，测试单电门连续两脉冲间距时间。
1－2多脉冲，测量单电门连续脉冲间距时间，可测量99个脉冲间距时间
1－3双电门，测量两个电门各自发出单脉冲之间的间距时间。
1－4单摆周期，测量单电门第三脉冲到第一脉冲间隔时间。
1－5时钟类似跑表，按下确定则开始计时。
2速度
2－1单电门，测得单电门连续两脉冲间距时间t，然后根据公式计算速度。
2－2碰撞，分别测得各个光电门在去和回时遮光片通过光电门得时间t1、t2、t3、t4，然后根据公式计算速度。
2－3角速度，测得圆盘两遮光片通过光电门产生得两个脉冲间时间t，然后根据公式计算速度。
2－4转速，测得圆盘两遮光片通过光电门产生得两个脉冲间时间t，然后根据公式计算速度。
3加速度
3－1单电门，测得单电门连续三脉冲各个脉冲与相邻脉冲间距时间t1、t2，然后根据公式计算速度。
3－2线加速度，测得单电门连续七脉冲第1个脉冲与第脉4个脉冲间距时间t1、第7个脉冲与第4个脉冲间距时间t2，然后根据公式计算速度。
3－3角加速度，测得单电门连续七脉冲第1个脉冲与第脉4个脉冲间距时间t1、第7个脉冲与第4个脉冲间距时间t2，然后根据公式计算速度。
3－4双电门，测得A通道第2脉冲与第1脉冲间距时间t1，B通道第一脉冲与A通道第一脉冲间距时间t2，B通道第二脉冲与A通道第一脉冲间距时间t3。
4计数
4－130秒，第一个脉冲开始计时，共计30秒，记录累计脉冲个数。
4－260秒，第一个脉冲开始计时，共计60秒，记录累计脉冲个数。
4－33分钟，第一个脉冲开始计时，共计3分钟，记录累计脉冲个数。
4－4手动第一个脉冲开始计时，手动按下确定键停止，记录累计脉冲个数。
5自检
检测信号输入端电平。
特别注意：
如某一通道无任何线缆连接将显示“高”。
自检时正确的方法应该是通过遮挡光电门来查看LCD显示通道是否有高低变化。
有变化则光电门正常，反之异常。
耦合摆的研究
一．概述
振动系统间的作用问题（耦合振动）在物理学、工程结构和电子学线路中具有极其重要的意义。
本仪器由两个完全相同的单摆组成，单摆的振动周期可分别调整，两者之间用一根弹簧相连，实现了相互的耦合即组成耦合摆。
改变耦合弹簧在单摆上的位置，可明显观察到耦合度大小对振动系统的影响和规律，并从中观察到“拍”的现象。
本仪器可实验弹簧传递能量的过程和拍的现象；可定量测量同相位，反相位振动，简正振动和拍频等物理参数。
整套仪器由耦合摆实验装置和MS－4计数计时多用秒表组成，采用激光光电门作为计数计时传感器，具有实验测量直观，数据精确的特点，有利于拓宽学生视野；仪器结构科学．牢固轻巧，是当前探索研究型实验教学的新仪器。
二．实验仪器
1、摆杆固定和调整螺母2、摆杆3、立柱4、耦合弹簧5、耦合位置调节环6、振动频率微调螺母7、摆锤8、振幅指针兼计数计时挡杆9、水平尺固定架10、振幅测量直尺11、底盘12、气泡式水准仪13、仪器水平调整旋钮14、激光发射部件和信号处理部件15、可见红色激光束16、挡光片17、激光接收探头18、激光光电门支架19、次数预置20、次数显示21、相应次数的计时显示窗22、计数计时复位按钮23、＋5V接线柱24、GND（公共地）接线柱25、计数计时信号输入接线柱26、输入信号低电平指示
三．实验原理
1.设一单摆，摆长为L，则固有圆频率
，式中g为重力加速度。
2.将两个完全相同的单摆通过一根弹簧耦合组成耦合摆，如果一个摆固定，另一个摆振动的频率叫做支频率，支频率
，式中K为弹簧的倔强系数，m为单摆有效质量。
通过调整使固有圆频率相等后组成的耦合摆，其两个支频率相等，
。
3.实际上耦合系统的振动方式比较复杂，取决于初始条件。
然后存在两种特有的振动方式，一种是两摆往同方向从平衡位置移开相等的距离引起的振动，即同相振动。
4.另一种是两摆从平衡位置往相反方相移开相等距离引起的振动，即反相振动。
5.反相振动和同相振动称作简正振动，其频率称为简正频率。
反相振动时，其简正频率为
；同相振动时，其简正频率为
（同固有频率）。
6.在一般情况下，耦合系统的振动是这两个简正振动的组合，振动表现出拍振的性质，拍振频率
两个摆相继地发生振幅周期性增大和减小，能量在两个摆之间来回交替传递。
四．实验内容
1.测定单个摆的固有振动频率、调整使两摆的振动频率（或周期）相同。
测单个摆的固有圆频率，
。
不加耦合弹簧，用激光光电门结合计数计时毫秒仪，测出10个周期的时间，计算出振动频率。
调整微调螺母，使两摆在同样起始振幅下的振动周期相同。
其误差＜1％。
实验时计时周期数为10，所以计数计时多用秒表预置次数设置为20，振幅指针经过平衡位置20次,用手水平方向移开摆锤，使振幅指针偏离平衡位置25mm后放开。
实验测量周期记作T0、振动频率记作f0。
表1
单摆1
单摆2
序号
10T0/S
T0/S
f0/（1/S）
10T0/S
T0/S
f0/（1/S）
1
2
3
4
5
平均值
2.在不同摆杆位置用弹簧耦合连接，测定耦合系统的支频率。
测定耦合摆的两个简正频率；验证耦合长度的平方与其反相振动频率的平方成线性关系。
（1）测定耦合系统的支频率
将两摆用弹簧连接起来，用手固定单摆1（左面单摆）,使单摆2（右面单摆）振动，用激光光电门结合计数计时毫秒仪，测出10个周期的时间，计算出振动频率。
实验时计时周期数为10，所以计数计时多用秒表预置次数设置为20，振幅指针经过平衡位置20次,用手水平方向移开摆锤，使振幅指针偏离平衡位置25mm后放开。
在耦合长度分别为20、25、30、35、40cm时.，实验测量支频率记作f1和f2。
耦合长度是指耦合点到摆杆转动轴心的距离，记作L。
表2
耦合长度L/cm
10T/S
T/S
f/（1/S）
20
25
30
35
40
（2）测定耦合摆的简正频率
（与自由振动的单摆固有频率相同）,把两个摆往相同的方向，从平衡位置移开相等距离，使振幅指针偏离平衡位置25mm后放开，用激光光电门结合计数计时多用秒表，测出10个周期振动时间，计算振动频率。
实验时计时周期数为10，计数计时预置次数设置为20，振幅指针经过平衡位置20次，在耦合长度分别为20、25、30、35、40cm.时，实验测量简正频率，记作f2。
表3
耦合长度L/cm
10T2/S
T2/S
f2/（1/S）
20
25
30
35
40
（3）测定耦合摆的简正频率
把两个摆从平衡位置对称地往相反方向拉开，即作反相振动，在两摆振幅指针偏离平衡位置25mm后放开，用激光光电门结合计数计时多用秒表，测出10个周期的时间，计算出振动频率。
实验时计时周期数为10，计数计时多用秒表预置次数设置为20，振幅指针经过平衡位置20次，在耦合长度分别为20、25、30、35、40cm.时，实验测量简正频率，记作f1。
表4
耦合长度L/cm
10T1/S
T1/S
f1/（1/S）
20
25
30
35
40
由上述数据作f12－L2图，说明反相振动频率的平方与耦合长度的平方其成线性关系。
3.用弹簧耦合，测定在不同耦合长度时，耦合长度的平方与拍频成线性关系。
1）观察拍振，测出拍振频率，握住左摆不动，拉开右摆20mm，然后同时释放两摆，观察两摆的振动情况，可以看到左摆位相总是落于右摆。
振动的能量从右边的摆逐渐转移到左边的摆，然后又从左边的摆逐渐返还到右边的摆，此是位相亦产生变换，右摆的位相又落后于左边的摆。
如此周期性的进行，可以明显地看到每个摆的振动都具有拍的特征。
2）用计数计时多用秒表测出拍振周期，即测出一个摆相邻两次摆动中止的时间间隔，从而算出拍振频率。
实验证明f＝f1－f2，实验时，用左手固定单摆1摆锤（即左摆），右手沿水平方向移开单摆2摆锤（即右摆），使振幅指针偏离平衡位置25mm后两手松开。
在耦合长度分别为20、25、30、35、40cm.时，实验测量拍振周期，T拍。
表5
耦合长度L/cm
T拍/S
F拍/（1/S）
20
25
30
35
40
由上述数据作f拍－L2图，说明拍频与耦合长度的平方成线性关系。
五、注意事项
1）激光光电门由激光发射和接收两部分组成。
激光发射部分发出红色可见激光，其红线接仪器+5V接线柱，黑线接GND接线柱；接收部件的黑色圆柱小也孔为激光接收孔，当其被激光照射后，上面的发光二极管熄灭，黄（信号）线输出低电平。
该部件红线接仪器+5V接线柱，黑线接GND接线柱，黄线接INPUT接线柱。
2）实验测量摆动周期时，先调整激光方向，使激光束射向接收部件的小孔，发光二极管熄灭。
在待测量摆平衡位置，摆幅指针恰好遮挡激光束，将该激光光电门放置于上述位置的圆底盘上。
这样当摆左右摆动中在经过平衡位置时遮挡激光束，接收部件将信号输出至计数计时多用秒表。
显然计数+1为半周期，因难以精确置于平衡点，故实验时以一周期测量为好。
一般次数预置成偶数，即整数个周期加以实验研究。
3）多功能毫秒仪（即计数计时多用秒表）的使用，计数计时始点时，计数窗显示：
00；计时窗显示：
00.000；计数次数和次数预置相同时，仪器停止计数计时，可通过查阅-或查阅+键记录相应次数从开始点所计的时间。
重复计数计时按RESET，次数预置数不大于64次，一旦改变预置数，须按RESET键方有效。
4）数字秒表用于记录拍周期，接上AC9V插座后，开启电源，按需启动或复位，由人工记时操控。
参考资料：
1、陈熙谋＜＜物理演示实验＞＞高等教育出版社
2、[德]威廉·Ｈ·卫斯特发尔，物理实验，实验十，王福山译，上海：
上海科学技术出版社，1981年
3、曹尔第，近代物理实验，上海：
华东师范大学出版社，1992
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