高中数学知识结构框架.docx
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高中数学知识结构框架
︱︱︱新课标
·人教
A
版
高中数学讲义
目录：
教材温故
一、必修一
二、必修二
三、必修三
四、必修四-----------------------------------------------------244
五、必修五-----------------------------------------------------329
文科：
选修1-1
选修1-2
理科：
选修2-1
选修2-2
选修2-3
必修一：
第一章：
集合与函数概念
1.1集合
1.2函数及其表示
1.3函数的基本性质
映射的概念
映射
函数的基本性质
函数的概念
函数
集合的运算
集合间的基本关系
含义
集合
教学指导：
1．集合是一个不加定义的概念，教学中应结合学生的生活经验和已有数学知识，通过列举丰富的实例，使学生理解集合的含义。
学习集合语言最好的方法是使用，在教学中要创设使学生运用集合语言进行表达和交流的情境和机会，以便学生在实际使用中逐渐熟悉自然语言、集合语言、图形语言各自的特点，进行相互转换并掌握集合语言。
在关于集合之间的关系和运算的教学中，使用Venn图是重要的，有助于学生学习、掌握、运用集合语言和其他数学语言。
2．函数概念的教学要从实际背景和定义两个方面帮助学生理解函数的本质。
函数概念的引入，一般有两种方法，一种方法是先学习映射，再学习函数；另一种方法是通过具体实例，体会数集之间的一种特殊的对应关系，即函数。
考虑到多数高中学生的认知特点，为了有助于他们对函数概念本质的理解，建议采用后一种方式，从学生已掌握的具体函数和函数的描述性定义入手，引导学生联系自己的生活经历和实际问题，尝试列举各种各样的函数，构建函数的一般概念。
第二章：
基本初等函数（Ⅰ）
2.1指数函数
2.2对数函数
2.3幂函数
定义
整数指数幂
图形与性质
定义
对数函数
运算性质
对数
图像与性质
定义
指数函数
无理指数幂
有理指数幂
指数
教学指导：
1.通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，加深学生对函数概念的理解。
像函数这样的核心概念需要多次接触、反复体会、螺旋上升，逐步加深理解，才能真正掌握，灵活应用。
2．在教学中，应强调对函数概念本质的理解，避免在求函数定义域、值域及讨论函数性质时出现过于繁琐的技巧训练，避免人为地编制一些求定义域和值域的偏题。
3．指数幂的教学，应在回顾整数指数幂的概念及其运算性质的基础上，结合具体实例，引入有理指数幂及其运算性质，以及实数指数幂的意义及其运算性质，进一步体会“用有理数逼近无理数”的思想，并且可以让学生利用计算器或计算机进行实际操作，感受“逼近”过程。
4．反函数的处理，只要求以具体函数为例进行解释和直观理解，例如，可通过比较同底的指数函数和对数函数，说明指数函数y=ax和对数函数y=logax（a>0,a≠1）互为反函数。
不要求一般地讨论形式化的反函数定义，也不要求求已知函数的反函数。
第三章：
函数的应用
3.1函数与方程
函数零点与其对应方程跟的关系
3.2函数模型及其应用
用二分法求方程的近似解
函数与方程
函数的应用
解决具体问题
几类不同增长的函数模型
函数模型及其应用
用已知函数模型解决问题
建立实际问题的函数模型
教学指导：
1.在函数应用的教学中，教师要引导学生不断地体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用。
2．应注意鼓励学生运用现代教育技术学习、探索和解决问题。
例如，利用计算器、计算机画出指数函数、对数函数等的图像，探索、比较它们的变化规律，研究函数的性质，求方程的近似解等。
必修二：
第一章：
空间几何体
1.1空间几何体的结构
1.2空间几何体的三视图和直观图
1.3空间几何体的表面积与体积
锥
空间几何体
表面积
视图与直观图
体积
直观图
三视图
台
球
柱
表面积与体积
结构
教学指导：
学情分析：
本章将学习立体几何的一些初步而又基本的知识，包括观察一些常见的空间几何体，认识一些空间几何体的结构特征，对于学生在已有的平面图形知识基础上建立空间观念，实现以认识平面图形到认识立体图形的飞跃，培养和发展学生的空间想象力是非常重要的。
在本章学习中要重视空间想象能力、化归转化能力的培养和极限思想的应用，要加强教学三大语言（文字语言、图形语言、符号语言）的相互转化，逐步达到融会贯通的程度，并能解决一些简单的推理论证。
教学方法：
立体几何是几何学的重要组成部分，本章是立体几何的第一章，要采用直观感知，操作确认，度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质：
1.实物（模型）演示教学法
2.多媒体、投影等辅助教学法
3.对比、类比教学法
第二章：
点、直线、平面之间的位置关系
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
2.2直线、平面平行的判定及其性质
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
平面（公理1、公理2、公理3、公理4）
空间直线、平面的位置关系
线线的关系
线面的关系
面面的关系
线线平行线面平行面面平行
线线垂直线面垂直面面垂直
教学指导：
学情分析：
学生通过第一章的学习，掌握了空间几何体的特征，整体认识了空间图形，本章以长方体为载体学生更能直观认识和描述空间中点，线、面的位置关系，运用平行投影与中心投影进一步掌握在平面上表示空间图形的方法和技能，利于学生实现由认识平面图形到立体图形的飞跃，改变只习惯于在一个平面内考虑问题的状态，以更好地培养学生的空间想象能力。
教学方法：
本章涉及的概念，公理，定理很多，应及时加以整理总结归纳，找出它们之间的内在联系，发现它们的差异，深化对概念、公理、定理的认识、理解和应用。
在学习过程中，适时地联系平面几何知识，采用联想、对比、引申等方法认识平面图形和空间图形知识的差异，并善于找出两者之间的内在联系，优化人事结构、平行和垂直是本章最重要的两种位置关系，在空间实现平行关系之间，垂直关系之间以及垂直与平行关系之间的转化，是学习本章内容的重要的数学思想。
第三章：
直线与方程
3.1直线的倾斜角与斜率
3.2直线的方程
3.3直线的交点坐标与距离
从几何直观到代数表示（建立直线的方程）
点坐标
倾斜角斜率
直线二元一次方程
点斜式
一般式
两点式
从代数到几何直观
（通过方程研究几何性质和度量）
距离
平行和
垂直的判定
相交平行
（一个交点）（无交点）
两点间的距离
两条直线的位置关系
两条平行线间的距离
点到直线的距离
教法分析：
1.理解解析几何研究问题的基本思想和方法：
建立平面直角坐标系，用代数方法来研究几何问题。
2.重视概念，抓好基础，仔细体会定义，要在解题中掌握通行通法的常规使用，不断提高对知识的运用能力，注重求解过程中的严谨性与合理性。
3.要注意知识的联系与运用，比如代数知识、三角知识、平面几何等。
4.注意数形结合思想，函数与方程思想的应用。
第四章：
圆与方程
4.1圆的方程
4.2直线、圆的位置关系
4.3空间之间坐标系
平面直角坐标系
圆的方程
圆的一般方程
圆的标准方程
坐标法
圆与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
直线与圆的方程的简单应用
空间两点间的距离
空间之间坐标系
教法分析：
教材重点：
圆的两种形式的方程理解与求解方法，直线与圆的位置关系的判断及综合应用。
坐标法的应用，空间直角坐标系的建立及空间点的距离的公式。
教材难点：
用特定系数法求圆的方程，直线与圆的位置关系，圆于圆的位置关系，坐标法的应用。
教法分析：
1.确定圆的方程，一般用待定系数法，如果条件与圆心和半径有关，通常选择圆的标准方程；如果已知点的坐标，条件与圆心无直接关系，一般选用圆的一般方程。
2.直线与圆的位置关系可以根据方程组解的情况判断，但利用圆心到直线的距离与圆的半径来比较判断更方便。
3.直线与圆相交，求弦长，或求与弦长有关的问题，利用平面几何中的垂径定理往往非常简单。
4.过一点作圆的切线，应首先判断点是否在圆上，如果点在圆上，可直接利用公式写出圆的切线方程；如果点在圆外，必有两条切线，如果关于斜率k的方程只有一解，则另一条切线必为斜率不存在的直线，务必要补上。
5.学习过程中要注意数形结合的思想的运用，充分利用图形的性质减少运算量，节省时间，提高准确度。
必修三：
第一章：
算法初步
1.1算法与程序框图
1.2基本算法语句
1.3算法案例
进位法
程序语言
算法
秦九韶算法
辗转相除法与更相减损法
程序框图
教法分析：
算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础。
随着现代信息技术飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，并日益融入社会生活的许多方面，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养。
需要特别指出的是，中国古代数学中蕴涵了丰富的算法思想。
在本模块中，学生将在义务教育阶段初步感受算法思想的基础上，结合对具体数学实例的分析，体验程序框图在解决问题中的作用；通过模仿、操作、探索，学习设计程序框图表达解决问题的过程；体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力。
第二章：
统计
2.1随机抽样
2.2用样本估计总体
2.3变量间的相关关系
用样本数字特征估计总体数字特征
用样本的频率分布估计总体分布
线性回归分析
变量间的相关关系
用样本估计总体
整理、分层数据估计、推断
系统抽样
分层抽样
简单随机抽样
收集数据
教学分析：
1.作用与地位：
统计是为了从数据中提取信息，这就需要合理地收集、整理、分析数据，本章就是从解决这些问题入手，通过现实生活中的实际问题为背景研究数据的意义。
在日常生活中，人们常常需要收集数据，根据所获得的数据提取有价值的信息，作出合理的决策，统计基础知识已经成为一个未来公民的必备常识，在高考题目日益倾向于实际问题的分析解决的情况下，统计会成为高考考查的一个重点内容，本部分一般以选择、填空题的形式出现。
2.学习目标：
在学习中必须通过案例来进行分析，根据实际问题的需求合理地选择不同的方法，合理的选取样本，并从样本数据中体会数据的处理方法，并运用所学的知识、方法去解决实际问题，体会统计思维与确定性思维的差异，注意到统计结果的随机性，统计推断是有可能犯错误的，体会统计的作用和基本思想。
3.学习中注意的问题：
①注意区别样本和简单随机抽样的区别.②注意简单随机抽样方法的正确选择.③区别各种抽样方法的优缺点.
第三章：
概率
3.1随机事件的概率
3.2古典概型
应用概率解决实际问题
3.3几何概型
概率、概率的意义及性质
频率
随机数与随机模拟
几何概型
古典概型
随机事件
教学分析：
1.概率是描述随机事件发生可能性大小的一个度量，它已渗透到人们日常生活中。
随机事件在现实世界中广泛存在，它在一次实验中是否发生是不确定的，但在大量重复试验中，随机事件的发生时有规律性的，概率就是要寻求这种规性。
学习时，要充分理解概率的意义及性质，并学会解释生活中的一些常见的概率问题，并把所学的概率知识应用到实际生活中去。
概率的应用性强，有利于培养学生的应用意识和动手能力。
这也是新课标中高考考查的一个重要内容。
2.学习目标：
了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念。
正确理解概率的概念、意义和性质，明确事件A发生的频率与事件A发生的概率的区别与联系。
通过学生自己动手、动脑和亲身试验来理解知识，体会数学知识与现实世界的联系，增强学生应用数学的意识。
3.学习方法：
要注意结合生活实例分析何为必然事件，不可能事件和随机事件，注意频率与概率的关系，如何运用所学的概率性质解决实际生活问题，概率问题多为实际应用问题，学习过程中，要重视教材的基础作用，重视基本数学思想和数学方法的形成和发展，注意培养学生分析问题和解决问题的能力。
必修四：
第一章：
三角函数
1.1任意角和弧度制
1.2任意角的三角函数
1.3三角函数的诱导公式
1.4三角函数的图像与性质
1.5函数
的图像
1.6三角函数模型的简单应用
诱导公式
同角三角函数的基本关系
三角函数模型的简单应用
三角函数线；三角函数的图象与性质
任意角的三角函数
任意角与弧度制；单位圆
教学分析：
1．在三角函数的教学中，教师应根据学生的生活经验，创设丰富的情境，使学生体会三角函数模型的意义2．在三角函数的教学中，应发挥单位圆的作用。
单位圆可以帮助学生直观地认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式，以及三角函数的图像和基本性质。
借助单位圆的直观，教师可以引导学生自主地探索三角函数的有关性质，培养他们分析问题和解决问题的能力。
3．提醒学生重视学科之间的联系与综合，在学习其他学科的相关内容时，注意运用三角函数来分析和理解。
第二章：
平面向量
2.1平面向量的实际背景及基本概念
2.2平面向量的线性运算
2.3平面向量的基本定理及坐标表示
2.4平面向量的数量积
2.5平面向量应用举例
向量的应用
教学方法：
向量概念的教学应从物理背景和几何背景入手，物理背景是力、速度、加速度等概念，几何背景是有向线段。
了解这些物理背景和几何背景，对于学生理解向量概念和运用向量解决实际问题都是十分重要的。
教师还可以引导学生运用向量解决一些物理和几何问题。
例如，利用向量计算力使物体沿某方向运动所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行与垂直的位置关系等问题。
对于向量的非正交分解只要求学生作一般了解，不必展开。
第三章：
三角恒等变换
3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.2简单的三角恒等变换
简单三角恒等变换
教学方法：
在三角恒等变换的教学中，可以引导学生利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式。
鼓励学生独立探索和讨论交流，引导学生推导积化和差、和差化积、半角公式，以此作为三角恒等变换的基本训练。
7．在本模块的教学中，应鼓励学生使用计算器和计算机探索和解决问题。
例如，求三角函数值，求解测量问题，分析y=Asin（wx+f）中参数变化对函数的影响等。
在三角函数、平面上的向量和三角恒等变换相应的内容中可以插入数学探究或数学建模活动。
必修五：
第一章：
解三角形
1.1正弦定理和余弦定理
1.2应用举例
1.3实习作用
应用举例
教学方法：
．解三角形的教学要重视正弦定理和余弦定理在探索三角形边角关系中的作用，引导学生认识它们是解决测量问题的一种方法，不必在恒等变形上进行过于繁琐的训练。
第二章：
数列
2.1数列的概念与简单表示法
2.2等差数列
2.3等差数列的前n项和
2.4等比数列
2.5等比数列的前n项和
数列的应用
教学方法：
1.等差数列和等比数列有着广泛的应用，教学中应重视通过具体实例（如教育贷款、购房贷款、放射性物质的衰变、人口增长等），使学生理解这两种数列模型的作用，培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力。
2.在数列的教学中，应保证基本技能的训练，引导学生通过必要的练习，掌握数列中各量之间的基本关系。
但训练要控制难度和复杂程度。
第三章：
不等式
3.1不等关系与不等式
3.2一元二次不等式及其解法
3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题
3.4基本不等式：
最大（小）值问题
教学方法：
1.一元二次不等式教学中，应注重使学生了解一元二次不等式的实际背景。
求解一元二次不等式，首先可求出相应方程的根，然后根据相应函数的图像求出不等式的解；也可以运用代数的方法求解。
鼓励学生设计求解一元二次不等式的程序框图。
2.不等式有丰富的实际背景，是刻画区域的重要工具。
刻画区域是解决线性规划问题的一个基本步骤，教学中可以从实际背景引入二元一次不等式组。
3.线性规划是优化的具体模型之一。
在本模块的教学中，教师应引导学生体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题，不必引入很多名词。
选修系列1：
选修1—1
第一章：
常用逻辑用语
1.1命题及其关系
1.2充分条件与必要条件
1.3简单的逻辑联结词
1.4全称量词与存在量词
存在量词
全称量词
教学方法：
（1）这里考虑的命题是指明确地给出条件和结论的命题，对“命题的逆命题、否命题与逆否命题”只要求作一般性了解，重点关注四种命题的相互关系和命题的必要条件、充分条件、充要条件。
（2）对逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，只要求通过数学实例加以了解，使学生正确地表述相关的数学内容。
（3）对于量词，重在理解它们的含义，不要追求它们的形式化定义。
（4）注意引导学生在使用常用逻辑用语的过程中，掌握常用逻辑用语的用法，纠正出现的逻辑错误，体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简洁性。
避免对逻辑用语的机械记忆和抽象解释，不要求使用真值表。
第二章：
圆锥曲线与方程
2.1椭圆
2.2双曲线
2.3抛物线
简单应用
教学方法：
1.在引入圆锥曲线时，应通过丰富的实例（如行星运行轨道、抛物运动轨迹、探照灯的镜面），使学生了解圆锥曲线的背景与应用。
2.教师应向学生展示平面截圆锥得到椭圆的过程，使学生加深对圆锥曲线的理解。
有条件的学校应充分发挥现代教育技术的作用，利用计算机演示平面截圆锥所得的圆锥曲线
第三章：
导数及其应用
3.1变化率与倒数
3.2导数的计算
3.3导数在研究函数中的应用
3.4生活中的优化问题
导数与函数单调性的关系
导数与极（最）值的关系
教学方法：
1.导数的概念是通过实际背景和具体应用的实例引入的。
教学中，可以通过研究增长率、膨胀率、效率、密度、速度等反映导数应用的实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，知道瞬时变化率就是导数。
通过感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的思想及其内涵。
这样处理的目的是帮助学生直观理解导数的背景、思想和作用。
2.在教学中，要防止将导数仅仅作为一些规则和步骤来学习，而忽视它的思想和价值。
应使学生认识到，任何事物的变化率都可以用导数来描述。
应当避免过量的形式化运算练习。
选修1—2
第一章：
统计案例
1.1回归分析的基本思想及其初步应用
1.2独立性检验的基本思想及其初步应用
独立性检验
教学方法：
1.统计案例的教学中，应鼓励学生经历数据处理的过程，培养他们对数据的直观感觉，认识统计方法的特点（如统计推断可能犯错误，估计结果的随机性），体会统计方法应用的广泛性。
应尽量给学生提供一定的实践活动机会，可结合数学建模的活动，选择1个案例，要求学生亲自实践。
对于统计案例内容，只要求学生了解几种统计方法的基本思想及其初步应用，对于其理论基础不作要求，避免学生单纯记忆和机械套用公式。
2．教学中，应鼓励学生使用计算器、计算机等现代技术手段来处理数据，有条件的学校还可运用一些常见的统计软件解决实际问题。
第二章：
推理于证明
2.1合情推理与演绎推理
2.2直接证明与间接证明
反证法
教学方法：
1.教学中应通过实例，引导学生运用合情推理去探索、猜测一些数学结论，并用演绎推理确认所得结论的正确性，或者用反例推翻错误的猜想。
教学的重点在于通过具体实例理解合情推理与演绎推理，而不追求对概念的抽象表述。
2．本模块中设置的证明内容是对学生已学过的基本证明方法的总结。
在教学中，应通过实例，引导学生认识各种证明方法的特点，体会证明的必要性。
对证明的技巧性不宜作过高的要求。
第三章：
数系的扩充与复数的引入
3.1数系的扩充和复数的概念
3.2复数代数形式的四则运算
复数代数形式的四则运算
教学方法：
1.数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，同时体现了数学发生、发展的客观需求，复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充。
在本模块中，学生将在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用。
2.在学习本章时，应注意复数与实数、有理数的练习，复数及其加减运算与平面向量及其加减运算的联系，还应注意复数及其代数形式的加法、减法、乘法运算与多项式及其加法、减法、乘法运算的联系。
这些关系可以用一下框图表示：
数轴上的向量及其运算
第四章：
框图
4.1流程图
4.2结构图
结构图
教学方法：
框图的教学，应从分析实例入手，引导学生运用框图表示数学计算与证明过程中的主要思路与步骤、实际问题中的工序流程、某一数学知识系统的结构关系等。
使学生在运用框图的过程中理解流程图和结构图的特征，掌握框图的用法，体验用框图表示解决问题过程的优越性。
选修系列2：
选修2—1
第一章：
常用逻辑用语
1.1命题及其关系
1.2充分条件与必要条件
1.3简单的逻辑联结词
1.4全称量词和存在量词
全称量词
存在量词
充分条件
必要条件
充要条件
简单逻辑联结词：
或且非
命题及其关系
常用逻辑用语
教学方法：
1.这里考虑的命题是指条件和结论明显的命题，对“命题的逆命题、否命题与逆否命题”只要求做一般性了解，重点关注四种命题的相互关系和命题的必要条件、充分条件、充要条件。
2.对逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，只要求通过数学实例加以了解，帮助学生正确地表述相关的数学内容。
3.对于量词，重在理解它们的含义，不要追求它们的形式化定义。
4.注意引导学生在使用常用逻辑用语的过程中，掌握常用逻辑用语的用法，纠正出现的逻辑错误，体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简洁性。
避免对逻辑用语的机械记忆和抽象解释，不要求使用真值表。
第二章：
圆锥曲线与方程
2.1曲线与方程
2.2椭圆
2.3双曲线
2.4抛物线
简单应用
教学方法：
1.在引入圆锥曲线时，应通过丰富的实例（如行星运行轨道、抛物运动轨迹、探照灯的镜面），使学生了解圆锥曲线的背景与应用。
2..教师应向学生展示平面截圆锥得到椭圆的过程，使学生加深对圆锥曲线的理解。
有条件的学校应充分发挥现代教育技术的作用，利用计算机演示平面截圆锥所得的圆锥曲线
3.教师可以向学生展现圆锥曲线在实际中的应用，例如，投掷铅球的运行轨迹、卫星的运行轨迹。
4.曲线与方程的教学应以学习过的曲线为主，注重使学生体会曲线与方程的对应关系，感受数形结合的基本思想。
对于感兴趣的学生，教师也可以引导学生了解圆锥曲线的离心率与统一方程。
有条件的学校应充分发挥现代教育技术的作用，通过一些软件向学生演示方程中参数的变化对方程所表示的曲线的影响，使学生进一步理解曲线与方程的关系。
第三章：
空间向量与立体几何
3.1空间向量及其运算
3.2立体几何中的向量方法
空间向量的定义及其运算
利用空间向量的运算解决立体几何中的问题
教学方法：
1.空间向量的教学应引导学生运用类比的方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。
教学过程中应注意维数增加所带来的影响。
2.在教学中，可以鼓励学生灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题。
选修2—2
第一章：
导数及其应用
1.1变化
升级会员 