高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第三节椭圆及其性质AB卷文1.docx

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高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第三节椭圆及其性质AB卷文1

2019年高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第三节椭圆及其性质AB卷文1

1.（2014·大纲全国，9）已知椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4，则C的方程为（　　）

A.＋＝1B.＋y2＝1

C.＋＝1D.＋＝1

解析　由已知e＝＝，又△AF1B的周长为|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝|AF1|＋（|AF2|＋|BF2|）＋|BF1|＝（|AF1|＋|AF2|）＋（|BF2|＋|BF1|）＝2a＋2a＝4，

解得a＝，故c＝1，b＝＝，

故所求的椭圆方程为＋＝1，故选A.

答案　A

2.（2015·新课标全国Ⅱ，20）已知椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，点（2，）在C上.

（1）求C的方程；

（2）直线l不经过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB中点为M，证明：

直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.

解　

（1）由题意得＝，＋＝1，

解得a2＝8，b2＝4.所以C的方程为＋＝1.

（2）设直线l：

y＝kx＋b（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM）.将y＝kx＋b代入＋＝1得

（2k2＋1）x2＋4kbx＋2b2－8＝0.

故xM＝＝，yM＝k·xM＋b＝.

于是直线OM的斜率kOM＝＝－，

即kOM·k＝－.

所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.

3.（2013·新课标全国Ⅰ，21）已知圆M：

（x＋1）2＋y2＝1，圆N：

（x－1）2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.

（1）求C的方程；

（2）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.

解　由已知得圆M的圆心为M（－1，0），半径r1＝1；圆N的圆心为N（1，0），半径r2＝3.设圆P的圆心为P（x，y），半径为R.

（1）因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝（R＋r1）＋（r2－R）＝r1＋r2＝4.

由椭圆的定义可知，曲线C是以M、N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆（左顶点除外），其方程为＋＝1（x≠－2）.

（2）对于曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为（2，0）时，R＝2.

所以当圆P的半径最长时，

其方程为（x－2）2＋y2＝4.

若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝2，

若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，

则＝，可求得Q（－4，0），

所以可设l：

y＝k（x＋4）.

由l与圆M相切得＝1，

解得k＝±.

当k＝时，将y＝x＋代入＋＝1，并整理得7x2＋8x－8＝0，

解得x1，2＝.

所以|AB|＝|x2－x1|＝.

当k＝－时，由图形的对称性可知|AB|＝.

综上，|AB|＝2或|AB|＝.

4.（2016·新课标全国Ⅰ，5）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（　　）

A.B.

C.D.

解析　如图，由题意得，BF＝a，OF＝c，OB＝b，OD＝×2b＝b.

在Rt△OFB中，|OF|×|OB|＝|BF|×|OD|，即cb＝a·b，代入解得a2＝4c2，故椭圆离心率e＝＝，故选B.

答案　B

5.（2016·新课标全国Ⅲ，12）已知O为坐标原点，F是椭圆C：

＋＝1（a>b>0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（　　）

A.B.

C.D.

解析　设M（－c，m），则E，OE的中点为D，则D，又B，D，M三点共线，所以＝，a＝3c，e＝.

答案　A

6.（2013·新课标全国Ⅱ，5）设椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为（　　）

A.B.

C.D.

解析　如图所示，在Rt△PF1F2中，

|F1F2|＝2c.设|PF2|＝x，

则|PF1|＝2x，

由tan30°＝＝＝，

得x＝c.

而由椭圆定义得，|PF1|＋|PF2|＝2a＝3x，

∴a＝x＝c，∴e＝＝＝.

答案　D

7.（2014·新课标全国Ⅱ，20）设F1，F2分别是椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.

（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；

（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.

解　

（1）根据c＝及题设知

M，＝，2b2＝3ac.

将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，

解得＝，＝－2（舍去）.

故C的离心率为.

（2）由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a.①

由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.

设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则

即

代入C的方程，得＋＝1.②

将①及c＝代入②得＋＝1.解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2.

1.（2015·广东，8）已知椭圆＋＝1（m>0）的左焦点为F1（－4，0），则m＝（　　）

A.2B.3

C.4D.9

解析　由题意知25－m2＝16，解得m2＝9，又m>0，所以m＝3.

答案　B

2.（2015·福建，11）已知椭圆E：

＋＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：

3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点.若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（　　）

A.B.

C.D.

解析　左焦点F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形.

∵|AF|＋|BF|＝4，

∴|AF|＋|AF0|＝4，∴a＝2.

设M（0，b），则≥，∴1≤b＜2.

离心率e＝＝＝

＝∈，故选A.

答案　A

3.（2013·广东，9）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C的方程是（　　）

A.＋＝1B.＋＝1

C.＋＝1D.＋＝1

解析　由题意，得c＝1，e＝＝＝，所以a＝2，b2＝3，所以椭圆的方程为＋＝1.

答案　D

4.（2014·四川，20）已知椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的左焦点为F（－2，0），离心率为.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设O为坐标原点，T为直线x＝－3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P，Q.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积.

解　

（1）由已知可得，＝，c＝2，所以a＝.

又由a2＝b2＋c2，解得b＝，

所以椭圆C的标准方程是＋＝1.

（2）设T点的坐标为（－3，m），则直线TF的斜率kTF＝＝－m.

当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ＝，直线PQ的方程是x＝my－2.

当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式.

设P（x1，y1），Q（x2，y2），将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得

消去x，得（m2＋3）y2－4my－2＝0，

其判别式Δ＝16m2＋8（m2＋3）＞0.

所以y1＋y2＝，y1y2＝，x1＋x2＝m（y1＋y2）－4＝.

因为四边形OPTQ是平行四边形，所以＝，即（x1，y1）＝（－3－x2，m－y2）.

所以解得m＝±1.

此时，四边形OPTQ的面积

SOPTQ＝2S△OPQ＝2×·|OF|·|y1－y2|

＝2＝2.

5.（2014·安徽，21）设F1，F2分别是椭圆E：

＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.

（1）若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；

（2）若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率.

解　

（1）由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，

得|AF1|＝3，|F1B|＝1.

因为△ABF2的周长为16，

所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8.

故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5.

（2）设|F1B|＝k，则k＞0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.

由椭圆定义可得，

|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.

在△ABF2中，由余弦定理可得，

|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B，

即（4k）2＝（2a－3k）2＋（2a－k）2－（2a－3k）·（2a－k）.

化简可得（a＋k）（a－3k）＝0，而a＋k＞0，故a＝3k.

于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.

因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，故△AF1F2为等腰直角三角形.从而c＝a，

所以椭圆E的离心率e＝＝.

6.（2012·湖南，21）在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C：

x2＋y2－4x＋2＝0的圆心.

（1）求椭圆E的方程；

（2）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为的直线l1，l2.当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标.

解　

（1）由x2＋y2－4x＋2＝0得（x－2）2＋y2＝2，故圆C的圆心为点（2，0）.

从而可设椭圆E的方程为＋＝1（a＞b＞0），其焦距为2c.由题设知c＝2，e＝＝.

所以a＝2c＝4，b2＝a2－c2＝12.

故椭圆E的方程为＋＝1.

（2）设点P的坐标为（x0，y0），l1，l2的斜率分别为k1，k2.

则l1，l2的方程分别为l1：

y－y0＝k1（x－x0），l2：

y－y0＝k2（x－x0），且k1k2＝.

由l1与圆C：

（x－2）2＋y2＝2相切得

即[（2－x0）2－2]k＋2（2－x0）y0k1＋y－2＝0.

同理可得[（2－x0）2－2]k＋2（2－x0）y0k2＋y－2＝0.

从而k1，k2是方程[（2－x0）2－2]k2＋2（2－x0）y0k＋y－2＝0的两个实根，

于是－2]＞0，））①

且k1k2＝－2,（2－x0）2－2）＝.

由,16）＋\f（y,12）＝1，,\f（y－2,（2－x0）2－2）＝\f（1,2）））

得5x－8x0－36＝0，

解得x0＝－2或x0＝.

由x0＝－2得y0＝±3；由x0＝

得y0＝±，它们均满足①式.

故点P的坐标为（－2，3），或（－2，－3），或或.

7.（2013·四川，9）从椭圆＋＝1（a＞b＞0）上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是（　　）

A.B.

C.D.

解析　由题意可得P（－c，），A（a，0），B（0，b）由AB∥OP，得－＝－，化简，得b＝c，所以离心率e＝＝.

答案　C

8.（2013·辽宁，11）已知椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝，则C的离心率为（　　）

A.B.

C.D.

解析　设椭圆的右焦点为F1，由余弦定理，得|AF|2＝|AB|2＋|BF|2－2|AB||BF|·cos∠ABF＝36，则有|AF|＝6，故∠AFB＝90°，由椭圆的对称性知四边形FAF1B为矩形，则有|BF|＋|BF1|＝8＋6＝14＝2a，

即a＝7，|FF1|＝|AB|＝10＝2c，即c＝5，

则C的离心率为e＝＝.

答案　B

9.（2015·浙江，15）椭圆＋＝1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线y＝x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是________.

解析　设Q（x0，y0），则FQ的中点坐标，kFQ＝，依题意解得

又因为（x0，y0）在椭圆上，所以＋＝1，令e＝，则4e6＋e2＝1，∴离心率e＝.

答案　

10.（2014·江西，14）设椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的左，右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于________.

解析　由题意知F1（－c，0），F2（c，0），其中c＝，因为过F2且与x轴垂直的直线为x＝c，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为A，B.因为AB平行于y轴，且|F1O|＝|OF2|，所以|F1D|＝|DB|，即D为线段F1B的中点，所以点D的坐标为，又AD⊥F1B，所以kAD·kF1B＝－1，即×＝－1，整理得b2＝2ac，所以（a2－c2）＝2ac，又e＝，0

答案　

11.（2013·福建，15）椭圆Γ：

＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝（x＋c）与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________.

解析　由于直线y＝（x＋c）经过焦点F1，且其斜倾角α＝60°，则∠MF1F2＝60°（∠MF1F2＝120°时，结合对应角度关系式，不合题意）.又∠MF1F2＝2∠MF2F1，即∠MF2F1＝30°，即MF1⊥MF2，则|MF1|＝c.由椭圆的定义知|MF2|＝2a－c，则有c2＋（2a－c）2＝4c2，整理有c2＋2ac－2a2＝0，两边都除以a2，整理有e2＋2e－2＝0，解得e＝－1（负值不合条件，舍去）.

答案　－1

12.（2015·安徽，20）设椭圆E的方程为＋＝1（a>b>0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为.

（1）求E的离心率e；

（2）设点C的坐标为（0，－b），N为线段AC的中点，

证明：

MN⊥AB.

（1）解　由题设条件知，点M的坐标为，又kOM＝，从而＝.

进而a＝b，c＝＝2b，故e＝＝.

（2）证明　由N是AC的中点知，点N的坐标为，

可得＝，

又＝（－a，b），从而有·＝

－a2＋b2＝（5b2－a2）.

由

（1）的计算结果可知a2＝5b2，

所以·＝0，故MN⊥AB.

13.（2015·陕西，20）如图，椭圆E：

＋＝1（a＞b＞0），经过点A（0，－1），且离心率为.

（1）求椭圆E的方程；

（2）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：

直线AP与AQ的斜率之和为2.

（1）解　由题设知＝，b＝1，

结合a2＝b2＋c2，解得a＝，

所以椭圆的方程为＋y2＝1.

（2）证明　由题设知，直线PQ的方程为y＝k（x－1）＋1（k≠2），代入＋y2＝1，得（1＋2k2）x2－4k（k－1）x＋2k（k－2）＝0，

由已知Δ＞0，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），x1x2≠0，

则x1＋x2＝，x1x2＝，

从而直线AP，AQ的斜率之和

kAP＋kAQ＝＋

＝＋

＝2k＋（2－k）＝2k＋（2－k）

＝2k＋（2－k）

＝2k－2（k－1）＝2.

14.（2015·重庆，21）如图，椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.

（1）若|PF1|＝2＋，|PF2|＝2－，求椭圆的标准方程；

（2）若|PQ|＝λ|PF1|，且≤λ＜，试确定椭圆离心率e的取值范围.

解　

（1）由椭圆的定义，2a＝|PF1|＋|PF2|

＝（2＋）＋（2－）＝4，故a＝2.

设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2，因此

2c＝|F1F2|＝

＝＝2，

即c＝，从而b＝＝1.

故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.

（2）如图，由PF1⊥PQ，

|PQ|＝λ|PF1|，得

|QF1|＝

＝|PF1|.

由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，

|QF1|＋|QF2|＝2a，

进而|PF1|＋|PQ|＋|QF1|＝4a，

于是（1＋λ＋）|PF1|＝4a，

解得|PF1|＝，

故|PF2|＝2a－|PF1|＝

.

由勾股定理得

|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝（2c）2＝4c2，

从而＋

＝4c2，

两边除以4a2，得

＋＝e2.

若记t＝1＋λ＋，则上式变成

e2＝＝8＋.

由≤λ＜，并注意到1＋λ＋关于λ的单调性，得3≤t＜4，即＜≤.进而＜e2≤，

即＜e≤.