反比例函数中的存在性问题培优.docx

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反比例函数中的存在性问题培优

姓名；

类型一：

反比例函数中等腰三角形找点问题

1、如图，已知反比例函数

（k＜0）的图象经过点A（—

，m）点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为

.

（1）求k和m的值；

（2）若一次函数y=ax+1的图象经过点A，并且与x轴相交于点C，求|AO|：

|AC|的值；（3）若D为坐标轴上一点，使△AOD是以AO为一腰的等腰三角形，请写出所有满足条件的D点的坐标．

2、已知：

如图，一次函数y=-2x的图象与反比例函数y=

的图象交于A、B两点，且点B的坐标为（1，m）．

（1）求反比例函数y=

的表达式；

（2）点C（n，1）在反比例函数y=

的图象上，求△AOC的面积；（3）在

（2）的条件下，在坐标轴上找出一点P，使△APC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．

类型二：

反比例函数中直角三角形找点问题

1、如图，正比例函数y＝

x与反比例函数y＝

的图象相交于A、B两点，过B作BC⊥x轴，垂足为C，且△BOC的面积等于4．

（1）求k的值；

（2）求A、B两点的坐标；（3）在x轴的正半轴上是否存在一点P，使得△POA为直角三角形若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

类型三：

反比例函数中平行四边形找点问题

1、如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O是坐标原点，点A坐标为（1，3），A、B两点关于直线y=x对称，反比例函数y=

（x＞0）图象经过点A，点P是直线y=x上一动点．

（1）B点的坐标为；

（2）若点C是反比例函数图象上一点，是否存在这样的点C，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形若存在，求出点C坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点Q是线段OP上一点（Q不与O、P重合），当四边形AOBP为菱形时，过点Q分别作直线OA和直线AP的垂线，垂足分别为E、F，当QE+QF+QB的值最小时，求出Q点坐标．

2、如图，把一块等腰直角三角板ABC放在平面直角坐标系的第二象限内，若∠A=90°，AB=AC，且A、B两点的坐标分别为（-4，0）、（0，2）．

（1）求点C的坐标；

（2）将△ABC沿x轴的正方向平移m个单位长度至第一象限内的△DEF位置，若B、C两点的对应点E、F都在反比例函数y=

的图象上，求m、k的值和直线EF的解析式；（3）在

（2）的条件下，直线EF交y轴于点G，问是否存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P，使得四边形PGMF是平行四边形若存在，求出点M和点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2、如图，四边形OABC为矩形，以点O为原点建立直角坐标系，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B为（2，4），反比例函数y=

图象经过AB的中点D，且与BC交于点E．

（1）求m的值和点E的坐标；

（2）求直线DE的解析式；（3）点Q为x轴上一点，点P为反比例函数y=

图象上一点，是否存在点P、Q，使得以P、Q、D、E为顶点的四边形为平行四边形如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

3、已知一次函数y1=ax+b的图象与反比例函数y2=

的图象相交于A、B两点，坐标分别为（-2，4）、（4，-2）．

（1）求两个函数的解析式；

（2）结合图象写出y1＜y2时，x的取值范围；（3）求△AOB的面积；

（4）是否存在一点P，使以点A﹑B﹑O﹑P为顶点的四边形为菱形若存在，求出顶点P的坐标；若不存在，请说明理由．

4、如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=

（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC=BC．

（1）求一次函数、反比例函数的解析式；

（2）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．

5、已知，如图，菱形ABCD的一边BC在x轴上，且C点坐标为（-1，0），D点坐标（0，

）．反比例函数y=

过菱形的顶点A．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若P为反比例函数在第四象限的图象上一点，点Q在x轴上，问是否存在点P、Q，使得四边形CDQP为矩形若存在，求出P和Q的坐标；若不存在，说明理由．

类型四：

反比例函数中图形等面积问题

例1、如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y＝

的图象交于C，D两点，与坐标轴交于A、B两点，连接OC，OD（O是坐标原点）．①利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；②当x＞0时，双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

2、如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（-2，-1），且P（-1，-2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．

（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；

（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

类型五：

反比例函数中图形面积倍分问题

1、如图，M点是正比例函数y=kx和反比例函数y＝

的图象的一个交点．

（1）求这两个函数的解析式；

（2）在反比例函数y＝

的图象上取一点P，过点P做PA垂直于x轴，垂足为A，点Q是直线MO上一点，QB垂直于y轴，垂足为B，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ的面积是△OPA的面积的2倍如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

2如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，与反比例函数y＝

的图象在

第二象限交于点C，CE⊥x轴，垂足为点E，tan∠ABO＝

，OB＝4,OE＝2．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若点D是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD、BF，如果S△BAF＝4S△DFO，求点D的坐标.

类型六：

反比例函数中相似三角形存在性问题

1、如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=

的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知OA=

，tan∠AOC=

，点B的坐标为（m，-2）．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求一次函数的解析式；（3）在y轴上存在一点P，使得△PDC与△ODC相似，请你求出P点的坐标．

类型六：

反比例函数中求点的存在性问题

1、如图，直线y＝

x＋2与双曲线相交于点A（m，3），与x轴交于点C．

（1）求双曲线解析式；

（2）点P在x轴上，如果△ACP的面积为3，求点P的坐标．

类型七：

反比例函数与三角函数问题

1、在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b（a≠0）的图形与反比例函数y＝

（k≠0）的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点，过点A作AH⊥y轴，垂足为H，OH＝3，tan∠AOH＝

，点B的坐标为（m，﹣2）

（1）求△AHO的周长；

（2）求该反比例函数和一次函数的解析式．

2、如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B的坐标是（m，﹣4），连接AO，AO＝5，sin∠AOC＝

．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）连接OB，求△AOB的面积．