线性代数2章精选练习题.docx
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线性代数2章精选练习题
第一章行列式
一、单项选择题
1.下列排列是5阶偶排列的是（
（A）24315（B）14325
2.如果n阶排列j1j2jn的逆序数是k,贝U排列jn
）.
（C）41523
（D）24351
j2j1的逆序数是（
）.
（A）k
（B）n
（C）》k
（D）咛k
3.n阶行列式的展开式中含
a11a22的项共有（
）项.
4.
5.
6.
（A）0
（B）n
（C）（n2）!
（D）（n
1）!
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
）.
（A）0
0
1
0
0
（A）0
（B）1
（C）1
（D）2
1
0
0
0
0
0
1
0
）.
（B）
（C）1
（D）2
在函数f（x）
2x
1
1
2
3
1
3项的系数是（
）.
（A）0
（B）
1
（C）
1
（D）2
a11
a12
a13
中，则D1
2a11
a13
a11
2a12
7.若D
a21
a22
a23
2a21
a23
a21
2a22
（
）
a31
a32
a33
2a31
a33
a31
2a32
（C）2
（A）4
（B）
（D）
2
4
2
0
3
0
x
0
8.若
a11
a21
*12
a22
a，则
厲2
*11
ka22
ka21
）.
（A）ka
（B）ka
（C）k2a
（D）k2a
9.已知4阶行列式中第1行元依次是4,0,1,3,第3行元的余子式依次为
（A）0
10.若D
（A）1
11.若D
8
6
1
4
7
2
1
3
（B）
4
3
1
7
3
3
1
1
5
（C）3
（D）2
则D中第一行元的代数余子式的和为
）.
3
1
0
5
（B）
4
1
0
（C）3
（D）0
0
1
0
2
则D中第四行元的余子式的和为（
）.
（A）1
（B）2
（C）3
（D）0
X2
kx3
0
12.k等于
:
下列选项中哪个值时，
齐次线性方程组
kx2
X3
0有非零解
kx1
X2
X3
0
（
1
3
2
）
（A）1
（B）2
（C）3
（D）0
二、填空题
1.2n阶排列24（2n）13（2n1）的逆序数是
2.在六阶行列式中项a32a54a41a65a13a26所带的符-号是
3.四阶行列式中包含a22a43且带正号的项是.
4.若一个n阶行列式中至少有n2n1个元素等于0,则这个行列式的值等于
有元素，则所得的新行列式的值为
1
1
1
1
1
x1
x1
1
10.行列式
1
x
1
1
1
x1
1
1
1
1
1
1
11.n阶行列式
1
1
1
1
1
1
12.已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3,其对应的余子式依次为3,2,1,
则该行列式的值为
1
2
3
4
5
6
7
8
，A4j（j
4
3
2
1
8
7
6
5
13.设行列式D
1,2,3,4）为D中第四行元的代数余子式,
ac
b
b
c
a
a
b
14.已知D
b
a
c
c
a
c
b
d
则4人13A422A43A44
D中第四列元的代数余子式的和为
1234
3344
1567
1122
135
120
16.已知行列式D103
100
2n1
0
0,D中第一行元的代数余子式的和为
n
kx-i
2x2
X30
17.齐次线性方程组2x1
kx2
0仅有零解的充要条件是
X1
X2
X30
x12x2
X3
0
2x2
5x3
0有非零解，则k
3x12x2
kx3
0
18.若齐次线性方程组
a
b
e
d
2
2
2
2
x
y
xy
a
b
e
d
；2.
3
3
3
3
y
xy
x
a
b
e
d
xy
x
y
bed
aed
abd
abe
、计算题
1.
7
x
a1
a2
an2
1
0
1
x
1
a1
x
a2
an2
1
1
0
1
x
a1
a2
x
an2
1
3.解方程
0；
4.
x
1
1
0
1
x
1
0
a1
a2
a3
x
1
a1
a2
a3
an1
1
1
a。
11
1a1
5.11a2
1（aj1,j
0,1,,n）;
6.
（n1）b
1
1
1
1
x
a
a2
an
bi
a1
a
a
a1
x
a2
an
7.
bi
b2
a2
a2
；8.
a1
a2
x
an
bi
b2
bs
an
a1
a2
a3
x
2
1
0
0
0
2
X1
%x2
xx
1
2
1
0
0
x2x1
1X；
X2Xn
J
10.
0
1
2
0
0
人为
xnX2
1X；
0
0
0
2
1
0
0
0
1
2
1a
a
0
0
0
11
a
a
0
0
D
0
1
1a
a
0
.
0
0
1
1a
a
0
0
0
1
1a
1
9.
11.
四、证明题
ai
Rx
a1x
bi
Ci
a2
b2x
a2x
b2
C2
a3
b3X
a3X
b3
e3
玄丄dC|
a?
b?
c?
a3b3C3
（1x2）
1.设abed1，证明:
21
a2ab21
bb2
21
e
1a—a
1
b
1
0.
d2
2
e
1
孑
参考答案
1.单项选择题
ADACCDABCDBB
2.填空题
1.n;2.“”;3.a14a22a31a43;4.0;5.0;6.
（1）n1n!
;
n（n1）
7.
（1）2a1na2（n1}an1;8.3M;9.160;10.x4;11.（n）n1;12.2;
13.0;14.0;
15.129;16.n!
（1
k1
）;17.kk
2,3;
18.k7
-三
.计算题
1.
（abc
d）（b
a）（c
a）（da）（c
b）（db）（d
c）；
2.
33、
2（xy）;
3.
x2,0,1;
n1
4.（x
k1
ak）
5.
n
（ak1）（1
n
11）;
6.（2b）（1
b）
（（n
2）b）;
k0
k0ak
1
10.n1;
n
9.1Xk;
k1
24
11.（1a）（1aa）.
矩阵
一、单项选择题
1.A、B为n阶方阵，则下列各式中成立的是（）。
2I2222TTT
（a）AA（b）AB（AB）（AB）（c）（AB）AAAB（d）（AB）AB
2.设方阵A、B、C满足AB=AC当A满足（）时，B=C
（a）AB=BA（b）A0（c）方程组AX=0有非零解（d）BC可逆
3.
若A为n阶方阵，k为非零常数，则kA（）
5.设A，B为n阶可逆矩阵，下面各式恒正确的是（）。
（a）（AB）1A1B1（b）（AB）T||AB
（c）（A1B）TA1B（d）（AB）1A1B
6.设A为n阶方阵,A*为A的伴随矩阵，则（）。
*1*ii*iin1*iin1
（a）（a）AA1（b）A|A（c）A|A（d）A|A
7.设A为3阶方阵，行列式A1,A*为A的伴随矩阵，则行列式
1*
（2A）2A（）
8.设A,B为n阶方矩阵,A2B2,则下列各式成立的是（）
22
（a）AB（b）AB（c）|A|B（d）A|B
9.设A,B均为n阶方矩阵，则必有（）。
22
（a）ABAB（b）ABBA（c）ABBA（d）AB
10.设A为n阶可逆矩阵，则下面各式恒正确的是（）
（a）2A2At（b）（2A）12A1
11T
（c）[（A）]
[（at）t]1
TT11TT
（d）[（A）][（A）]
an
a12
a13
an
3a31
a123a32
a133a33
11.如果Aa21
a22
a23
a21
a22
a23
，则
A
（）
a31
a32
a33
a31
a32
a33
1
0
0
10
3
0
0
3
1
0
0
（a）0
1
0
（b）
01
0
（c）0
1
0（d）0
1
0
3
0
1
00
1
1
0
1
0
3
1
1
3
1
12.已知A
2
2
0，
则
（
）。
3
1
1
（a）At
A
（b）
A1
*
A
1
0
0
1
1
3
1
0
01
11
3
（c）A0
0
1
2
0
2
（d）0
0
1A20
2
0
1
0
3
1
1
0
1
031
1
13.设A,B,C,I为同阶方阵,
I为单位矩阵，若ABC
I，则（
）
14.设A为n阶方阵，且|A|0，则（）。
（a）A经列初等变换可变为单位阵I
（b）由AXBA，可得XB
（c）当（A|I）经有限次初等变换变为（l|B）时，有A1B
（d）以上（a）、（b）、（c）都不对
15.设A为mn阶矩阵，秩（A）rmn，则（）。
（a）A中r阶子式不全为零（b）A中阶数小于r的子式全为零
（c）A经行初等变换可化为r0（d）A为满秩矩阵
00
16.设A为mn矩阵，C为n阶可逆矩阵，BAC,则（）。
（a）秩（A）>秩（B）（b）秩（A）=秩（B）
（c）秩（A）<秩（B）（d）秩（A）与秩（B）的关系依C而定
17.A，B为n阶非零矩阵，且AB0,则秩（A）和秩（B）（）。
（a）有一个等于零（b）都为n（c）都小于n（d）一个小于n,—个等于n
阶方阵A可逆的充分必要条件是（）。
（b）
（a）r（A）rn
A的列秩为n
（c）A的每一个行向量都是非零向量（d）伴随矩阵存在
阶矩阵A可逆的充要条件是（）。
（a）A的每个行向量都是非零向量
（b）A中任意两个行向量都不成比例
（c）A的行向量中有一个向量可由其它向量线性表示
（d）对任何n维非零向量X，均有AX0二、填空题
1•设A为n阶方阵，1为n阶单位阵，且AI,则行列式A
0ab
2.行列式a0c
bc0
101
3.设2A020，则行列式（A3I）1（A91）的值为
001
a[b[a[b?
ab
7.非零矩阵a2b1也
a2bn的秩为
anbanb2
anbn
8.设A为100阶矩阵，且对任何100维非零列向量X，均有AX0,则A的秩
为
9.若A（aj）为15阶矩阵，则AA的第4行第8列的元素是
10.
若
1
方阵A与4I
2K
相似，
则
A
lim
2kK1
K
1
1
K
3k
1
n
1
2
2
lim
0-
1
n
3
00
1
4
三、
计算题
1•解下列矩阵方程（X为未知矩阵）.
2
2
3
22
0
1
0
2
0
1
3
1）
1
1
0
X32
7
2）
1
0
0X
1
1
2
1
1
2
1
02
0
0
1
1
0
3
1
0
1
0
1
3）
X（I
B
1C）T
BtI，其中B
4
0
4
7
C
2
1
2
4
2
2
1
2
1
7
1
0
1
4）
AX
A2
X
I，其中A
0
2
0
1
0
1
7
4
2
3
5）
AX
A
2X
，其中A1
1
0
1
2
3
1
1
0
3.已知A
0
2
1
，求（A
2I）（A2
4I）1.
1
0
1
4.设A1
1
2
34
0
0
12
A1A2
0
1
A2
23,
A300
A4
求
04
01
A3A4
1
1
2
5.设A
2
2
4
求一秩为
2的方阵B，使AB
0.
3
3
6
2
1
1
01
1
6.设A
1
0
1
B
12
1,求非奇异矩阵
C,使A
CTBC.
1
1
0
11
0
7.求非奇异矩阵P,使P1AP为对角阵.
112
21
1）A2）A131
12
201
8.已知三阶方阵A的三个特征根为1,1,2,其相应的特征向量依次为（0,0,1）T,（1,1,0）T,（2,1,1）T,求矩阵A.
532
9.设A644,求A100.
445
四、证明题
1.设A、B均为n阶非奇异阵,求证AB可逆.
2.设Ak0（k为整数）,求证IA可逆.
3.设a1.a2,L,ak为实数,且如果ak0,如果方阵A满足
AkaiAk1LakiAakI0,求证A是非奇异阵•
4.设n阶方阵A与B中有一个是非奇异的，求证矩阵AB相似于BA.
5.证明可逆的对称矩阵的逆也是对称矩阵.
6.证明两个矩阵和的秩小于这两个矩阵秩的和.
7.证明两个矩阵乘积的秩不大于这两个矩阵的秩中较小者.
8.证明可逆矩阵的伴随矩阵也可逆，且伴随矩阵的逆等于该矩阵的逆矩阵的伴
随矩阵•
9.证明不可逆矩阵的伴随矩阵的逆不大于1.
10.证明每一个方阵均可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和
第二章参考答案
15
1.1或-1;2.0;3.-4;4.1;5.81;6.0;7.1;8.100;9.ai4ai8;10.1;
i1
02
12.0;11.00
1
1
10
0
2
三、
）、
13
2
；2）、2
3
16
0
1
0
2
3
8
6
5）
、
2
9
6
2.0
7
3.
2
12
9
3
1
1
0
1
0
5.
1
1
1
不唯
一;6.1
0
0
1
0
0
0
0
1
3
2
0
JOO100
32（2
1）
8.
1
0
0;
9.
100c100、
2（23）
4
1
1
1
2（3100
1）
14
3
2
01
7
3）、
15
3;
4）
、0
30;
16
4
1
02
1
2
1
0
0
3
1
0
1
2
1
1
3
1;
/0
0
1
2;
0
1
0
4.
0
0
0
1
11
3
11
;7
.1）、
2）、
21
1;
11
12
2
100
100
100
2
2
3
3
1
4
2100
（3100）
2（3100
1）
■
2（1
3100）
2（3100）
1
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