x为何值时，△ADN为等腰三角形•
专业资料
3、对于点O、M，点M沿MO的方向运动到O左转弯继续运动到N，使OM=ON，且
OM丄ON，这一过程称为M点关于0点完成一次“左转弯运动”.
形ABCD和点P,P点关于A左转弯运动到Pi,Pi关于B左转弯运动到P2,P2关于C左转弯运动到P3,P3关于D左转弯运动到P4,P4关于A左转弯运动到P5,……•
（1）请你在图中用直尺和圆规在图中确定点Pi的位置；
（2）连接PiA、PiB，判断△ABPi与△ADP之间有怎样的关系？
并说明理由。
度先向下平移，当BC边与网的底部
重合时，继续同样的速度向右平移，当点C与点P重合时，Rt△ABC停止移动•设运动时
间为x秒,AQAC的面积为y.
（1）如图1，当Rt△ABC向下平移到RtZA1B1C1的位置时，请你在网格中画出RtAAiBiCi
关于直线QN成轴对称的图形；
（2）如图2，在RtAABC向下平移的过程中，请你求出y与x的函数关系式，并说明当x
分别取何值时，y取得最大值和最小值？
最大值和最小值分别是多少？
（3）在RtAABC向右平移的过程中，请你说明当x取何值时，y取得最大值和最小值？
最
大值和最值分别是多少？
为什么？
5、如图①，△ABCAB=AC，/B、/C的平分线交于0点，过0点作EF//BC交AB、
AC于E、F.
（1）图中有几个等腰三角形？
猜想：
EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由.
（2）如图②，若AB丰AC,其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？
如果有，分别指出它
们•在第
（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？
（3）如图③，若△ABC中/B的平分线B0与三角形外角平分线CO交于O,过0点作
OE//BC交AB于E,交AC于
说明你的理由。
6、已知，如图，△ABC中，/BAC=90°,AB=AC,D为AC上一点，
且/BDC=124。
，延长BA到点E,使AE=AD,BD的延长线交CE于
点F，求/E的度数。
7、如图，形ABCD的对角线AC,BD交于点0,将一三角尺的直角顶点放在点0处，让
其绕点0旋转，三角尺的直角边与形ABCD的两边交于点E和F。
通过观察或测量
的长度，你发现了什么？
试说明理由。
OE,OF
D
1、解：
（1）证明：
•••EF=EC,•••/EFC=Z-ECEF,//ABB=/EFC,
•••/B=ZECF,•梯形CD是等腰梯形；
1
（2）△DC是等腰直角三角形，证明：
TDE=ECEF=EC,•EF—CD,
2
•△CD是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形
是直角三角形），
•••梯形ABCD是等腰梯形，•CF=-（BC-AD）=1,•/DC=、2,•••由勾股定理得:
2
DF=1,
•△DC是等腰直角三角形；
（3）共四种情况：
PB=1,PB=2,PB=3-2,PB=3+、2
2、证明：
（1［①，••四边形ABCD是菱形，•••AB=AD,Z仁Z2.又vAN=AN,
•••△^BN^zADN.
②解：
作MH丄DA交DA的延长线于点H.由AD//BC，得ZMAH=ZABC=60°.
在Rt△AMH中，MH=AM?
sin60°=4Xsin60°=2<3.•••点M至UAD的距离为2J3.
•••AH=2./-DH=6+2=8.
（2）解：
•ZABC=90°,•菱形ABCD是形./.ZCAD=45°.
下面分三种情形：
（I）若ND=NA,^UZADN=ZNAD=45°.
此时，点M恰好与点B重合，得x=6;
（H）若DN=DA，则ZDNA=/DAN=45°.此时，点M恰好与点C重合，得x=12;
（川）若AN=AD=6，则Z1=Z.TAD//BC,/-Z1=Z4，又Z2=Z3,
•••Z3=Z4.•••CM=CN./-AC=62./-CM=CN=AC-AN=62-6.
故x=12-CM=12-（62-6）=18-62.
综上所述：
当x=6或12或18-62时，△ADN是等腰三角形。
3、解：
（1）用直尺和圆规作图，作图痕迹清晰;
（2）MBP1也zADP，且AABPi可看成是由△ADP绕点A顺时针旋转90°而得.
理由如下：
在△ABP1和△ADP中，
由题意：
AB=AD,AP=APi,/PAD=ZPiAB,.•.公BP1^zADP,
又•••△XBPi和AADP有公共顶点A，且/PAPi=90
•••公BPi可看成是由△ADP绕点A顺时针旋转90°而得；
（3）点P（i,i）关于点A（0,4）左转弯运动到Pi（-3,3）,点Pi（-3,3）关于点B（-4,4）左转弯运动到点P2（-5,3）,
点P2（-5,3）关于点C（-4,0）左转弯运动到点P3（-i,i）,
点P3（-i,i）关于点D（0,0）左转弯运动到点P4（i,i）,
点P4（i,i）关于点A（0,4）左转弯运动到点P5（-3,3）,
点P5与点Pi重合，点P6与点P2重合，，点P2009的坐标为（-3,3）
点P20i0的坐标为（-5,3）.
4、解：
（i）如图i,M2B2C2是△AiBiCi关于直线QN成轴对称的图形;
（2）当厶ABC以每秒1个单位长的速度向下平移x秒时（如图2）,
则有：
MA=x,MB=x+4,MQ=20,
1
X4X4
2
y=S梯形QMBC-SZAMQ-SZABC
=-4+20）（x+4）--X20x-
22
=2x+40（0Wx<16）.
由一次函数的性质可知:
（3）解法一:
当△ABC继续以每秒1个单位长的速度向右平移时,
此时1611
（4+20）（36-x）-—X20x（32-x）-
22
=-2x+104（16由一次函数的性质可知:
解法二:
△QAC在每一时刻的位置都对应着
（2）中厶QAC某一时刻的位置,使得这样的两个三角形关于直线QN成轴对称.
因此，根据轴对称的性质，
只需考查厶ABC在自上至下平移过程中厶QAC面积的变化情况，
便可以知道△ABC在自左向右平移过程中厶QAC面积的变化情况.
当x=16时，y取得最大值，且y最大=72,
当x=32时，y取得最小值，且y最小=40.
5、解：
（1）图中有5个等腰三角形，
EF=BE+CF‘•••△BEO^/CF0,且这两个三角形均为等腰三角形,可得EF=EO+FO=BE+CF;
（2）还有两个等腰三角形，为△BEO、/CFO,
如下图所示：
•EF//BC,「.Z2=Z3,
又仁Z2,「./1=Z3,
•••ZBEO为等腰三角形，在△CFO中，同理可证.
△BEO'ACFO，此时EF=BE-CF,
••如下图所示：
OE//BC，•/5=/6,
又Z4=Z5,「./4=Z6,「.，ABEO是等腰三角形,
在ACFO中，同理可证△CFO是等腰三角形，
此时EF=BE-CF,
匚Q
g
6、解：
在厶ABD和AACE中,
••AB=AC，/DAB=/CAE=90°AD=AE,.'./ABD也zACE（SAS）,
•••左=ZADB.
•.•厶DB=°ZBDC=°124°56°,
•ZE=56°.
7、解：
OE=OF.
证明：
形ABCD的对角线AC，BD交于点O，
•••OA=OB,ZOAB=/OBE=45°,AC丄BD.
•••ZAOF+ZFOB=ZEOB+/FOB=90°,
•ZAOF=ZEOB．
在ZAOF和ABOE中
ZOAB=ZOBE，OA=OB，ZAOF=ZEOB，
•••公OFBAOE（ASA）.
•OE=OF．
升级会员 