公务员考试容斥原理问题.docx
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公务员考试容斥原理问题
公务员考试——容斥原理问题
知识框架
数学运算问题一共分为十四个模块，其中一块是容斥原理问题。
在公务员考试中，根据集合的个数，容斥原理问题一般只有两集合容斥关系和三集合容斥关系两种类型，两集合容斥关系一般只要采用公式法就可轻松解决，三集合容斥关系又可分为标准型、图示标数型、整体重复型三类，对应解题方法分别是公式法、文氏图法、方程法。
无论集合中的元素怎么变化，同学只要牢牢把握这两类型，就能轻松搞定容斥原理问题。
核心点拨
1、题型简介
容斥原理是在不考虑重叠的情况下，先将所有对象的数目相加，然后再减去重复的部分，从而使得计算的结果既无遗漏又无重复。
掌握容斥原理问题，可以帮助同学们解决多集合元素个数的问题。
2、核心知识
（1）两个集合容斥关系
（2）三个集合容斥关系
A、标准型公式
B、图示标数型（文氏图法）
1.两个集合容斥关系
例1：
（2007年中央第50题）
小明和小强参加同一次考试，如果小明答对的题目占题目总数的
，小强答对了27道题，他们两人都答对的题目占题目总数的
，那么两人都没有答对的题目共有（ ）。
A.3道
B.4道
C.5道
D.6道
【答案】
D
【解析】
[题钥]
由于不知道这次考试题目的总数，所以可先设题目总数即元素总量为
。
“小明答对的题目占题目总数的
”，相当于集合A为
。
“小强答对了27道题”，相当于集合B为27。
“他们两人都答对的题目占题目总数的
”，相当于集合
。
“两人都没有答对的题目”，相当于求集合
。
[解析]
根据题意，
确定元素总量W：
；
确定集合A：
；
确定集合B：
27；
确定集合
：
；
代入两集合公式：
＝
＝
因为
和
均为题数，须均为正整数，所以
必须为12的倍数，而且由选项知：
3≤
≤6
当W＝12时，
＝－16，不合题意；
当W＝24时，
＝－5，不合题意；
当W＝36时，
＝6，符合题意。
所以，两人都没答对的题目为6道。
因此，选B。
2.三个集合容斥关系
例2：
（浙江行测真题）
某专业有学生50人，现开设甲、乙、丙三门选修课。
有40人选修甲课程，36选修乙课程，30人选修丙课程，兼选甲、乙两门课的有28人，兼选甲、丙两门课的有26人，兼选乙、丙门课程的有24人，甲、乙、丙三门课程均选的有20人，问三课均未选的有多少人？
（ ）
A.1人
B.2人
C.3人
D.4人
【答案】
B
【解析】
[题钥]
“某专业有学生50人”，相当于元素总量W为50。
“有40人选修甲课程”，相当于集合A为40。
“36选修乙课程”，相当于集合B为36。
“30人选修丙课程”，相当于集合C为30。
“兼选甲、乙两门课的有28人”，相当于集合
=28。
“兼选甲、丙两门课的有26人”，相当于集合
=26。
“兼选乙、丙门课程的有24人”，相当于集合
=24。
“甲、乙、丙三门课程均选的有20人”，相当于集合
=20。
“问三课均未选的有多少人?
”相当于求集合
。
[解析]
根据题意，
确定元素总量W：
50
确定集合A：
40
确定集合B：
36
确定集合C：
30
确定集合
：
28
确定集合
：
26
确定集合
：
24
确定集合
：
20
代入三集合标准型公式：
＝50-（40+36+30-28-24-26+20）
＝2
因此，选B。
例3：
（国家行测真题）
某高校对一些学生进行问卷调查。
在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备选择两种考试参加的有46人，不参加其中任何一种考试的有15人。
问接受调查的学生共有多少人？
（ ）
A.120
B.144
C.177
D.192
【答案】
A
【解析】
[题钥]
观察题目，属于三个集合容斥关系中的标数型问题，可采用文氏图法求解。
[解析]
本题属于标数型问题，可采用文氏图法求解，如下图所示。
图中，黑色部分是准备参加两种考试的学生，灰色部分是准备参加三种考试的学生。
计算总人数时，黑色部分重复计算了一次，灰色部分重复计算了两次，所以接受调查的学生共有：
63＋89＋47－24×2－46＋15＝120人。
因此，选A。
例4：
（浙江2004－20）
某班有35个学生，每个学生至少参加英语小组、语文小组、数学小组中的一个课外活动小组。
现已知参加英语小组的有17人，参加语文小组的有30人，参加数学小组的有13人。
如果有5个学生三个小组全参加了，问有多少个学生只参加了一个小组？
（ ）
A.15人
B.16人
C.17人
D.18人
【答案】
A
【解析】
[题钥]
“某班有35个学生，每个学生至少参加英语小组、语文小组、数学小组中的一个课外活动小组”，相当于元素总量W为35。
“参加英语小组的有17人”，相当于集合A为17。
“参加语文小组的有30人”，相当于集合B为30。
“参加数学小组的有13人”，相当于集合C为13。
“如果有5个学生三个小组全参加了”，相当于元素数量3为5。
“问有多少个学生只参加了一个小组？
”，此类题目属于整体重复型问题，可采用方程法求解。
[解析]
根据题意，设：
参加一个小组的人数为x，即元素数量1为x；
参加两个小姐的人数为y，即元素数量2为y；
确定元素总量W：
38
确定集合A：
17
确定集合B：
30
确定集合C：
13
确定元素数量3：
5
代入公式，列方程：
因此，选A。
进阶训练
1.两个集合容斥关系
例5：
某校学生参加数学竞赛的有120名男生，80名女生，参加英语竞赛的有120名女生，80名男生。
已知该校总共有260名学生参加竞赛，其中75名男生两科竞赛都参加了，那么参加数学竞赛而没有参加英语竞赛的女生人数是多少人?
（ ）
A.15
B.20
C.25
D.30
【答案】
A
【解析】
[题钥]
假设260名学生当中有m名男生、n名女生，同时参加了教学和英语竞赛的女生人数为x。
对于男生：
“m名男生”，相当于元素总量
为m。
“参加数学竞赛的有120名男生”，相当于集合
为120。
“参加英语竞赛的”，“80名男生”，相当于集合
为80。
“其中75名男生两科竞赛都参加了”，相当于集合
为75。
对于女生：
“n名女生”，相当于元素总量
为n。
“参加数学竞赛的”、“80名女生”，相当于集合
为80。
“参加英语竞赛的有120名女生”，相当于集合
为120。
同时参加了教学和英语竞赛的女生人数，相当于集合
为x。
“已知该校总共有260名学生参加竞赛”，可知260名学生都参加了竞赛，没有“数学竞赛和英语竞赛都没参加”的情况。
相当于集合
、集合
为0。
[解析]
根据题意，设：
260名学生当中有m名男生、n名女生；
同时参加了教学和英语竞赛的女生人数为x。
对于男生：
确定元素总量
：
m
确定集合
：
120
确定集合
：
80
确定集合
：
75
确定集合
：
0
对于女生：
确定元素总量
：
n
确定集合
：
80
确定集合
：
120
确定集合
：
x
确定集合
：
0
男女生总数，即m＋n＝260。
代入两集合公式，列方程：
则有
即同时参加了教学和英语竞赛的女生人数为65。
由于参加数学竞赛的女生有80名，
则参加数学竞赛而没有参加英语竞赛的女生人数：
80－65＝15名。
因此，选A。
2.三个集合容斥关系
例6：
（广州2007－33）
如右图所示，每个圆纸片的面积都是36，圆纸片A与B、B与C、C与A的重叠部分面积分别为7、6、9，三个圆纸片覆盖的总面积为88，则图中阴影部分的面积为?
（ ）
A.66
B.68
C.70
D.72
【答案】
C
【解析】
[题钥]
“三个圆纸片覆盖的总面积为88”，相当于元素总量W为88，集合
为0。
“每个圆纸片的面积都是36”，相当于集合A、集合B、集合C都为36。
“圆纸片A与B、B与C、C与A的重叠部分面积分别为7、6、9”，相当于集合
为7，集合
为6，集合
为9。
要求“阴影部分的面积”，可先求出集合
。
[解析]
根据题意，
确定元素总量W：
88
确定集合A：
36
确定集合B：
36
确定集合C：
36
确定集合
：
7
确定集合
：
6
确定集合
：
9
确定集合
：
0
代入公式：
=（88-0）-（36+36+36-7-6-9）
=2
“由中间向外围”进行数据标记，进行简单加减运算，如下图过程所示：
据图可知，阴影部分的面积为：
22＋25＋23＝70。
因此，选C。
例7：
（江苏2009A类－19）
某调查公司就甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，其中有24人三部电影全看过，20人一部也没有看过，则只看过其中两部电影的人数是（ ）。
A.69
B.65
C.57
D.46
【答案】
D
【解析】
[题钥]
“某调查公司就甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查”、“20人一部也没有看过”，相当于元素总量W为125－20＝105。
“有80人看过甲片”，相当于集合A为89。
“有47人看过乙片”，相当于集合B为47。
“有63人看过丙片”，相当于集合C为63。
“其中有24人三部电影全看过”，相当于元素数量3为24。
求解“只看过其中两部电影的人数”，此类题目属于整体重复型问题，可采用方程法求解。
[解析]
根据题意，设：
只看过其中一部电影的人数为x，即元素数量1为x；
看过其中两部电影的人数为y，即元素数量2为y；
确定元素总量W：
125－20＝105
确定集合A：
89
确定集合B：
47
确定集合C：
63
确定元素数量3：
24
代入公式，列方程：
因此，选D。
例8：
建华中学共有1600名学生，其中喜欢乒乓球的有1180人，喜欢羽毛球的有1360人，喜欢篮球的有1250人，喜欢羽毛球的有1040人，问以上四项球类运动都喜欢的至少有几人？
A.20
B.30
C.40
D.50
【答案】
B
【解析】
[题钥]
观察题目，发现采用公式法，文氏图法都是比较麻烦的。
那么逆向考虑，看下各项活动都不喜欢的人有多少人，当这各项活动都不喜欢的人互不重叠的时候，可满足四项活动都喜欢的人最少。
[解析]
根据题意，可知：
不喜欢乒乓球的有：
1600-1180=420人；
不喜欢羽毛球的有：
1600-1360=240人；
不喜欢篮球的有：
1600-1250=350人；
不喜欢足球的有：
1600-1040=560人；
若这些人互不重叠则可满足四项运动都喜欢的人最少，为：
1600-（420+240+350+560）=30人。
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