精品第二章数学模型与建模.docx
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精品第二章数学模型与建模
第一、二章数学模型与建模
数学模型是架于数学与实际问题之间的桥梁
在数学发展的进程中无时无刻不留下数学模型的印记。
一.模型
为了一定的目的，人们对原型的一个抽象
例如:
航空模型对飞机的一个抽象，城市交通图对交通系统的一个抽象
二.数学模型
用数学语言，对实际问题的一个近似描述，以便于人们用数学方法研究实际问题。
例1：
牛顿定律
假设：
1.物体为质量为m的质点，忽略物体的大小和形状。
2.没有阻力、摩擦力及其他外力，只有沿物体运动方向的作用力F。
引入变量x（t）表示在t时刻物体的位置，则受力物体满足如下运动规律，
这就是牛顿定律的数学模型。
例2：
哥尼斯堡七桥问题
问题：
能否从某地出发，
通过每座桥恰好一次，回到原地？
由4个结点7条边组成的图构成解决这个问题的数学模型。
三.数学模型的特征
1.实践性：
有实际背景，有针对性。
接受实践的检验。
2.应用性：
注意实际问题的要求。
强调模型的实用价值。
3.综合性：
数学与其他学科知识的综合。
四.建模举例
数学建模（Mathematicalmodelling）是一种数学的思考方法，用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的强有力的数学工具。
下面给出几个数学建模的例子，重点说明：
如何做出合理的、简化的假设；
如何选择参数、变量，用数学语言确切的表述实际问题；
如何分析模型的结果，解决或解释实际问题，或根据实际情况改进模型。
例1.管道包扎
问题：
用带子包扎管道，使带子全部包住管道，且用料最省。
假设：
1.直圆管，粗细一致。
2.带子等宽，无弹性。
3.带宽小于圆管截面周长。
4.为省工,用缠绕的方法包扎管道.
参量、变量：
W：
带宽，C：
圆管截面周长，：
倾斜角
（倾斜角）包扎模型
（截口）包扎模型
进一步问,如果知道直圆管道的长度，用缠绕的方法包扎管道，需用多长的带子？
设管道长L,圆管截面周长C,带子宽W,带子长M.
带长模型
问题:
1.若L=30m,C=50cm,W=30cm,则最少要用多长的带子才能将管道缠绕包扎上?
2.现有带长M1=51m，计划将这条带子全部用来缠绕包扎上面的管道。
缠绕时允许带子互相重叠一部分。
应该如何包扎这个管道？
（计算结果精确到0.001）
例2.桌子摆放
问题：
在起伏不平的地面上能不能让桌子的四个脚同时着地？
建模证实，在一定条件下能在起伏不平的地面上放稳桌子，即能让桌子的四个脚同时着地。
假设：
1.桌子的四条腿等长，四脚连线呈平面正方形ABCD。
2.地面的起伏是连续变化的。
3地面相对平坦，使得桌子在任何位置至少有三个脚同时着地。
参数，变量。
1.如何描述“桌子的四个脚同时着地”？
记xA，xB、xC、xD分别为脚A，B,C,D与地面的距离。
则当xA=xB=xC=xD=0时，桌子的四个脚同时着地。
2.如何用数学的语言描述让桌子的四脚着地？
定位：
方桌的对称中心O位于平面坐标原点
移动：
桌子围绕中心转动。
记为AC与X轴的夹角,则可用表示桌子移动的位置。
0.于是桌子转动时，4个桌脚与地面的距离是è的函数。
由中心对称性知，只需两个距离函数表示桌子的状态。
令f（）=xA（）+xC（）,g（）=xB（）+xD（）
如果在位置*桌子四脚落地,则有f（*）=g（*）=0.
根据假设2知f（）和g（）是连续函数，
根据假设3有f（）g（）0，.
根据假设1有f
（1）=g（0）和g
（1）=f（0）,其中1=0+900
模型：
已知f（）和g（）是连续函数，f（）g（）0，.
若f（0）=0,g（0）>0,则存在*使得f（*）=g（*）=0。
证明：
因为f
（1）=g（0）>0,g
（1）=f（0）=0,
令h（）=f（）-g（）,则h（）连续且h（0）<0,h
（1）>0.所以，根据连续函数的介值定理知，存在*,0*1,使得f（*）=g（*）=0。
问题：
1.将例4的假设1改为“桌子的四条腿等长，四脚连线呈平面长方形ABCD”，试构造数学模型证实结论同样成立。
2.小王早上8：
00从A城出发于下午5：
00到达B城。
次日早上8：
00他又从B城出发沿原路返回并于下午5：
00准时到达A城。
试用数学模型说明A、B城之间定有一个位置，小王在往返A、B二城的途中于相同的时间到达该位置。
例3：
交通路口红绿灯
十字路口绿灯亮30秒，最多可以通过多少辆汽车？
假设
1.车辆相同，从静止开始做匀加速运动。
2.车距相同，启动延迟时间相等。
3.直行，不拐弯，单侧，单车道。
4.秩序良好，不堵车。
参数，变量：
车长L，车距D，加速度a，启动延迟T，在时刻t第n辆车的位置Sn（t）
用数轴表示车辆行驶道路,数轴的正向为汽车行驶方向,数轴原点为红绿灯的位置。
于是,当Sn（30）>0时,表明在第30秒第n辆车已通过红绿灯，否则，结论相反。
模型
1.停车位模型：
Sn（0）=–（n-1）（L+D）
2.启动时间模型:
tn=（n-1）T
3.行驶模型:
Sn（t）=Sn（0）+1/2a（t-tn）2,t>tn
参数估计L=5m，D=2m，T=1s，a=2m/s
解:
Sn（30）=-7（n-1）+（30-（n-1））2>0得n19且t19=18<30=t成立。
答案:
最多19辆车通过路口.
改进：
考虑到城市车辆的限速，在匀加速运动启动后，达到最高限速后，停止加速,按最高限速运动穿过路口。
最高限速：
校园内v*=15公里/小时=4米/秒，长安街上v*=40公里/小时=11米/秒，环城路上v*=60公里/小时=17米/秒
取最高限速v*=11m/s，达到最高限速时间tn*=v*/a+tn=5.5+n-1
限速行驶模型:
Sn（t）=Sn（0）+1/2a（tn*–tn）2+v*（t-tn*）,t>tn*
=Sn（0）+1/2a（t-tn）2,tn*>t>tn
=Sn（0）tn>t
解：
Sn（30）=-7（n-1）+（5.5）2+11（30-5.5-（n-1））>0得n17且t17*=5.5+16=21.5<30=t成立。
结论:
该路口最多通过17辆汽车.
问题
1.调查一个路口有关红绿灯的数据验证模型是否正确。
10.调查的位置，走向，车道数，时间。
调查数据（至少三次）：
绿灯时间，通过的车数。
分析数据不同的原因。
20.分析模型的假设与实际是否一致；模型的参数与实际是否一致。
30.分析模型的计算结果与观测结果是否一致？
为什么？
不一致时，如何修改模型。
2.分析绿灯亮后，汽车开始以最高限速穿过路口的时间。
3.给出穿过路口汽车的数量n随时间t变化的数学模型。
例4：
人员疏散
建模分析意外事件发生时建筑物内的人员疏散所用的时间。
假设
1.有一排k间教室，走道只有一个出口。
2.人员撤离时，有序、单行、（间隔）均匀、匀速。
3.室内人员排成一队列的时间不计，第一个人到达教室门口的时间不计（t0=0）。
参数：
第k间教室人数为nk+1,教室距离为Lk,门宽为D，行进速度为v，人体间隔为d。
如果只有第k间教室有人需要撤离，第k间教室疏散时间为Tk
模型
K=1情形：
T1=（n1d+L1）/v
K=2情形：
当第二间教室人不需等待时，即（L2+D）（n1+1）d，T12=T2=（n2d+L1+L2+D）/v,
当第二间教室人需要等待时，即（L2+D）<（n1+1）d,等待时间T=（n1+1）d/v-（L2+D）/v,
T12=T2+T=[（n1+n2+1）d+L1]/v,
讨论
模型：
T=（nd+L）/v,
分析：
v↗,则T↘;d↗,则T↗.
令d=0,则有T=L/v。
疏散时间与人数无关!
?
假设中忽略了人体的厚度!
!
补充假设4.人体厚度相同w
模型T=（n（d+w）+L）/v,
分析若d=0,则T=（nw+L）/v合理吗？
继续补充假设5.速度与间隔有关v=v（d）
模型T=[n（d+w）+L]/v（d）,
其中v=v（d）应满足v（d）是d的单调非减函数，v（0）=0且当d充分大时，v=vmax.
结论：
存在间隔d*和相应的速度v*,使得疏散的时间最短。
讨论：
1.给出函数v（d）应满足的一个充分条件，保证存在唯一的间隔d*，使得疏散的时间最短。
2.通过实验观测给出函数v（d）.
观测数据：
间隔d（厘米）—运动速度v（米/秒）
拟合函数
问题
1.如果n=400，L=30m，w=0.2m,求最短的疏散时间。
2.给出当K=3时的人员疏散模型.
五.建模要点
1．明确研究目标，力图从实际问题中归纳出所采用的假设和解题线索;
2．用假设简化问题，在实际与数学简化之间选择恰当的平衡点,这是建模成功与否的关键,体现了建模工作的想象力和创造力;
3．进行正确的推理，在无法进行严格的数学推导时,可以使用“不严格”的数学,代之以对问题的分析,归纳,类比,猜测,尝试,事后检验；
4．尽量使用实际资料检验数学结果，并用恰当的学科语言表达数学结果。
5．在建模中，数学决不仅仅是工具,要从所作的数学推导和所得到的数学结论中指出所包含的更一般的、更深刻的内在规律。
数学建模绝不仅仅以应用数学解决一个实际问题为目标，我们更希望揭示基本自然规律，产生新的数学思想和方法。
六.建模过程流程
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