完整word高等代数北大版第8章习题参考答案.docx
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完整word高等代数北大版第8章习题参考答案
第八章—矩阵
1
3
22
1）
o
2
）
2
5
3
1
2
0
0
0
0
3）
0
0
4
）
2
0
0
0（
1）2
2
32
2
3
21
22
3
5）
42
3
5
32
23
4
2
4
2
1
2
3
0
1
4
3
60
2
2
6）
0
6
2
0
1
0
1
0
0
3
3
1
22
0
0
解1
）对
矩阵作初等变换,
有
A（
）
3
22
3
25
3
2
5
3
2
3
0
22
1.化下列矩阵成标准形
0
031023=B（）
0
0
（1）2
0
3-102-3
0
2
0
0
2
0
0
0
2）对
矩阵作初等变换,有
2
2
1
0
0
12
12
A（）
0
0
222
2
2
0
0
（1）
1222
12
B（）即为所求。
10
0
00
=B（），
B（）即为所求。
2
0
0
3）因为0
0的行列式因子为
0
0（
1）
D1=1,
D2=
（1）,
D3=
2
（1），
所以
d1:
=1,
d
D2
2=
=（
1）,
d3=
:
D3=
（
1）2，
D1
D2
从而
2
0
0
1
0
0
A（
）
0
0
0
（
1）
0
=B（），
0
0（
1）2
0
0
（
1）2
B（
）即为所求。
0
0
0
2
0
0
2
0
4）因为
的行
:
列式因子为
0
（
1）2
0
0
2
0
0
0
D1=1,
D2
=（
1）,
D3=
2（
1）2,
D4=
4（
1），
所以
d2=D
Di
1）,d
D
D2
1），d4=D
2（
1）2
从而
0
0
0
0
0
2
A（）
0
（1）2
0
2
0
0
2
0
0
0
B（）,
3
2
3
2
A（）
4
2
3
5
3
2
4
3
2
2
2
1
4
2
3
3
2
2
2
2
4
2
7
6
2
1223
2234
21
2
2
1
32
3224501001
2
32
2450
10
01
100
32
0
0
10
01
=B（），
1
B（）即为所求。
6）对矩阵作初等变换,有
A（）
1
22
0001
00022
0020
10100
01000
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
2
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
2
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0,
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
在最后一个行列式中
D3=1,D4=
（
1）,
D5=
3（
1）2，
所以
d1=d2
=d3=1,d4:
—
D4
=（
1）,
d5=
D5=
2（
1）O
D3
D4
故所求标准形为
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
B（）=
0
0
1
0
0
0
0
0
0
（1）
0
0
0
0
0
2（
1）
2.求下列
矩阵的不变因子
1
0
0
2
10
0
1
0
1）0
21
2
）
0
0
1
0
02
5
4
3
2
D1=1,D2=1,D3=
（2）',
故该矩阵的不变因子为
D3=
=D2
=D1=1,
D4=4
23
32
45，
故
矩阵的不变因子为
d1=
:
d2
=d3=1,
d4=4
23
32
450
3）
当0时，有
D4=
1
1
=
（
222）22,
且在
矩阵中有一个
、三阶子式
1
10
01=
2（
）
0
于是由
2（
）,D3
=1
可得
D3=1,
故该
矩阵的不变因子为
d1
=d2=d3
=1,d4=
（
）2
22
0
当
0时，由
D1=1,
D2=1,
D3=（
）2,
D
4=（）4,
2）因为所给矩阵的右上角的三阶子式为
-1,所以其行列式因子为
从而
di=d2=1,d3=（）2,d4=D4=（）2。
Da
4）因为所给矩阵的左上角三阶子式为1,所以其行列式因子为
Di=1,D2=1,D3=1,D4=
（2）4，
从而所求不变因子为
Da=1,D4=（21）（24），
故所求不变因子为
3.证明：
0000an
1000an1
0100an2
0010an3
因为
矩阵左下角的n1阶子式Mn勺=
（1）n1,所以Dn1=1,从而
Dn2=1,
故所给矩阵的不变因子为
即证。
4•设A是数域P上一个nn阶矩阵，证明A与A'相似。
证设
A=
311
321
312
322
a1n
32n
3n1
3n2
3nn
a11
321
3n1
a12
322
an2
则
A'=
31n
a2n
3nn
因为
A与A'相似的充分必要条件是
它们有相同的不变因子，所以只需证明
EA与
E
A'有相同的不变因子即可。
注意到EA与EA'对应的k级子式互为转置，因而对应的k级子式相等，故
EA与EA'
有相同的各级行列式因子，从而有相同的不变因子，即证A与A'相似。
5.设
00
A=
1
0
0
1
求Ak。
解因为
k
k
kk1
k（k
1）k2
0
0
k
2
1
0=
0
k
k
k1
0
1
0
0
k
所以
0
0
1
0
1
0
Ak=
1
0=
=0
1
=0
1
0
1
0
0
0
0
k
k
k
kk1
k（k
1）k2
2
0
k
k
k1
0
0
k
k
0
0
.k1
k
k
0o
k（k1）k2
kk1
k
2
6.求下列复系数矩阵的若尔当标准形
1
2
0
13
16
16
1）
0
2
0
2
）5
7
6
2
2
1
6
8
7
3
0
8
4
5
2
3）
3
1
6
4
）2
2
1
2
0
5
1
1
1
3
7
3
1
12
5）
2
5
2
6）
3
36
4
10
3
2
24
1
1
1
4
210
7）
3
3
3
8）
4
37
2
2
2
3
17
0
3
3
8
30
14
9）
1
8
6
10）
6
19
9
2
14
10
6
23
11
3
1
00
1
23
4
4
1
00
0
12
3
11）
7
1
21
12）
0
01
2
7
6
10
0
00
1
0
10
0
0
1
3
03
0
01
0
0
2
6
013
0
00
0
0
13）
0
3
13
14）
1
2
08
0
00
0
1
1
00
0
0
解1）设原矩阵为A,贝U
1
2
0
0
10
0
0
2）
01
00
（
1）（
1）（
于是A的初等因子是
1,
1,
2，
故A的若尔当标准形为
1
0
0
J=
=0
1
0。
0
0
2
2）设原矩阵为A,则
于是A的初等因子是
（1）2,3,
故A的若尔当标准形为
3
0
0
J=
0
1
0。
0
1
1
3）设原矩阵为A,则
3
0
8
1
12
EA=3
1
6
2
16
2
0
5
2
05
1
0
0
1
00
0（
1）2
0
0
12
（1）
0
2
（1）
1
0
2
0
（1）2
1
0
0
0
1
0
0
0（
1）2
A的初等因子是1,（
1）2,故A的若尔当标准形为
1
0
0
J=
0
1
0。
0
1
1
4）设原矩阵为A,则
4
5
2
1
5
2
EA=
2
21
2
1
1
1
1
0
1
1
1
3
1
1
0
0
2
1
0
2
2
2
1
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0（
1）2
0
0
0
（
1）3
A的初等因子是（
1）3，
故
A
的若尔当标准形为
100
J=
110
011
5）设原矩阵为A,则
37
EA=25
410
11705
110
100
010
00
（1）（
于是A的初等因子是1,i,
3
7
2
2
0
5
3
110
3
6
1
17
0
2
0
5
2
3
0
177
263
21）
从而A
的若尔当标准形为
1
0
0
J=
0
i
0
0
0
i
6）设原矩阵为
A,则
1
1
2
EA
=3
3
6
2
2
4
1
0
0
0
（
2）
2
0
2
10
0
0
0
00
（
2）
于是A的初等因子是
112
336
224
100
0222
00
2,从而A的若尔当标准形为
0
0
0
J=
0
0
0。
0
0
2
7）设原矩阵为A,则
1
1
1
EA=
3
3
3
2
2
2
111
333
222
10
0
0
10
0
00
000
J=000。
010
8）设原矩阵为A,则
4
2
10
1
3
7
EA=
4
3
7
3
4
7
3
1
7
2
4
10
1
0
0
1
0
0
0
35
10
14
0
1
24
2
0
2
2
4
0
2
2
4
10
0
01
0
00
（2）3
A的初等因子是（
2）3,
故A的若尔当标准形为
20
0
J
=12
0。
01
2
9）设原矩阵为A,则
3
3
1
8
6
EA=
1
8
6
3
3
2
14
10
2
14
10
1
0
0
1
0
0
0
28
36
3
0
14
62
106
0
22
2
0
2（
1）
2
于是A的初等因子是
2
（1）2,故A的若尔当标准形为
10）设原矩阵为A，则
830
EA=619
623
10
04
0234
100
010
00330
设3308=
（1）
（2）（
14
1
23
11
19
1
19
9
8
11
30
14
6
0
1
0
0
2
0
2
2
19
4
022
154
24
8
3）,
则由
“卡当”
公式可解得
134.101634.1016
34J016
234.1016
234.1016
34>1016
其中
1.3.
i.
22
于是A的初等因子是
为
3
3,故A的若尔当标准形
11）设原矩阵为A，则
3
1
00
4
1
00
EA=
7
1
2
1
7
6
1
1
0
0
0
0（
1）2
0
0
0
6
2
1
0
10
（1）2
0
O
1
0
0
0
0
221
0
0
0
4
2
1
0
611
1
1
0
0
0
0
（1）2
0
0
0
0
0
1
0
10（
1）2
0
1000
0100
0010
000
（1）4
1
0
0
0
1
1
0
0
J=
。
0
1
1
0
0
0
1
1
12）设原矩阵为A,则
1
2
3
4
0
1
2
3
EA=
0
0
1
2
0
0
0
1
因为三阶子式无公共非零因式
所以
E
A的行列式因子为
D3=1,
D4=
E
A
（
1）4，
于是
d4=（
1）4,
d
3=d
2=d
1=1,
于是A的初等因子是（
1）4,故A的若尔当标准形为
因此A的初等因子是
（1）4,故A的若尔当标准形为
10
0
0
11
0
0
J=
。
_01
1
0
00
1
1
佝设原矩阵为A则
1
3
0
8
2
6
0
13
E
A=
0
3
1
3
1
2
0
8
1
0
0
0
0
2
0
2
3
0
3
1
3
0
2
1
0
2
91
1
0
0
0
0
3
1
0
0
2
0
1
0
2
1
0
211
10
1
0
0
0
0
3
0
0
0
0
0
1
0
0
3
15
2,
3319
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
（
1）（
7
30）（7.30）
所以A的初等因子是
1,
1,
7
30
5
7
30,故
A的若尔当标准形为
1
0
0
0
0
1
0
0
J
i
f
。
0
0
7■30
0
0
0
0
7
.30
14）设原矩阵为
A,则
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
E
A
—
0
0
0
1
于是EA有一个n1阶子式
1）n1,
所以EA的行列式因子为
D1=D2=…=Dn1=1,
10
Dn=
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
n1
=
（1）（
00
00
00
1
0
ai）（a?
）（ani）,
1,
a1,
a2,
7
an1，
故A的若尔当标准形为
1
0
0
0
0
0
a1
0
0
0
0
0
a2
0
0
J=
0
0
0
an-2
0
0
0
0
0
an-1
其中1,ai,a2,,ani是n个n次单位根，所以A的初等因子为
注上述矩阵的若尔当标准形也可用波尔曼公式求得
7.把习题6中各矩阵看成有理数域上矩阵
留给读者作为练习。
试写出它们的有理标准形。
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