考研概率例题.docx

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考研概率例题

第一讲随机事件和概率例1设A,B,C是随机事件，说明下列关系式的概率意义：

（1）ABC=A；

（2）AUBUC=A

（3）ABC（4）ABC

例2设袋中有大小相同的10个球，其中3个红球，2个黑球，5个白球。

从中无放回地任取2次，每次取1个，如以Ak,Bk,Ck分别表示第k次取到

红球、黑球、白球（k=1,2）,试用A^Bk’Ck表示下列事件：

（1）所取的两个球中有黑球；

（2）仅取到一个黑球；

（3）第二次取到黑球；

（4）没取到黑球；

（5）最多取到一个黑球；

（6）取到的球中有黑球而没有红球；

（7）取到的两个球颜色相同。

例3设A，B为两事件，且满足条件AB=AB，则P（AB）=

例4A，B为任意两事件，则事件（A—B）（B—C）等于事件

（A）A-C（B）A（B-C）

（C）（A_B）_C（D）（AB）_BC

1

例5随机事件A，B，满足P（A）二P（B）二—和P（A-B）=1则有

2

（A）AB二S（B）AB二

（C）P（AB）=1（D）P（A-B）=0

例6设0P（A）,P（B）1且P（B|A）P（B|A）=1则必有

（A）P（A|B）二P（A|B）（B）P（A|B）=P（A|B）

（C）P（AB）=P（A）P（B）（D）P（AB）=P（A）P（B）

例7（06）设A，B为随机事件，且P（B）0,P（A|B^1，则必有

（A）P（AB）P（A）（B）P（AB）P（B）

（C）P（AB）二P（A）（D）P（AB）二P（B）

例8试证对任意两个事件A与B,如果P（A）0，则有

P（B|A）_4P（A）

例9有两个盒子，第一个盒中装有2个红球，1个白球；第二个盒中装一半红球，一半白球，现从两盒中各任取一球放在一起，再从中取一球，问：

（1）这个球是红球的概率；

（2）若发现这个球是红球，问第一盒中取出的球是红球的概率。

例10在伯努利试验中，每次试验成功的概率为p，求在第n次成功之前恰失败了m次的概率。

例11四封信等可能投入三个邮筒，在已知前两封信放入不同邮筒的条件

下，求恰有三封信放入同一个邮筒的概率为

例12已知A，B，C三事件中A与B相互独立，P（C）=0，则A,B,C

事件

（A）相互独立（B）两两独立，但不一定相互独立

（C）不一定两两独立（D）—定不两两独立

例1310台洗衣机中有3台二等品，现已售出1台，在余下的9台中任取2台发现均为一等品，则原先售出1台为二等品的概率为

例14甲袋中有2个白球3个黑球，乙袋中全是白球，今从甲袋中任取

例15（05）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X，再从1,2,…，X中

任取一个数记为丫，则P（Y=2）二

例16一次掷10颗骰子，已知至少出现一个一点，则至少出现两个一点的概率是

例17设0P（A）1,0：

P（B）1，若P（A|B）P（A|B）=1，证明A与B

相互独立

第二讲随机变量及其概率分布§5典型例题分析

例1已知f（x）和f（x）f1（x）均为概率密度函数，则f,（x）必须满足

（A）」f1（x）dx=1,fjx）一0（B）__f1（x）dx=1,f'x）一-f（x）

（C）二£（x）dx=0,f'x）一0（D）二：

f1（x）dx=0,fdx）一-f（x）

例3汽车沿街行驶需要过三个信号灯路口，各信号灯相互独立，且红绿显示时间相等，以X表示汽车所遇红灯个数，求X的分布及分布函数。

例4设随机变量X服从正态分布N（0,1），对给定的:

（01）数u满足

P（X■u_.）二:

•，若P（|X卜：

x）=:

•，则x等于

（A）巴（B）u*.（C）Ul-：

（D）ui_：

~2~2~2~

例5在区间［a,b］上任意投掷一点，X为这点坐标，设该点落在［a,b］中任意小区间的概率与这小区间长度成正比，求X的概率密度

例6（06）设随机变量X服从正态分布N（r，s2），丫服从正态分布N（J,二2）且

P（|X-亠卜1）P（|Y-1），则必有

（C）亠（D）

例7X的密度函数为f（x）=Ae」x（-：

：

x<），试求常数A

1

例8已知X的密度函数为f（x）二-e^d」：

：

:

:

x：

：

：

：

），求Y=X2的密度函数

2

例9设随机变量X的密度函数为f（x）且满足f（-x）=f（x），F（x）是X的分

布函数，则对任意实数3有

13

（B）F（-a）=[-°f（x）dx

（C）F（-a）=F（a）（D）F（-3）=2F（3）-1

例10设随机变量X的分布函数为F（x），引入函数F1（xHF（3x）,F2（xHF2（x），

F3（x）=1-F（-x）和F4（x）=F（x，3），则可以确定也是分布函数的为

（A）F1（x）,F2（x）（B）F2（x）,F3（x）

（C）F3（x）F（x）（D）F2（x）,F4（x）

例11设X~N（2,二）且P（2X4）=0.3，贝UP（X0）=

例12证明若X与-X具有相同密度函数，则其分布函数F（x）—定满足

F（x）+F（-x）=1

第三讲多维随机变量及其概率分布

§7典型例题分析

例1、从1,2,3三个数字中一次任取两数，第一个数为X，第二个数为丫，记

M二max（X,Y），试求（X,Y）和（X,M）的分布律及其边缘分布。

P{XiX2=0}=1，贝UP{Xi=X2}=

例3、设某班车起点站上车人数x服从参数为r0）的泊松分布，每位乘客在

中途下车的概率为p（0：

：

：

P1），且他们在中途下车与否是相互独立的，用丫表

示在中途下车的人数，求：

（1）在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；

（2）

二维随机向量（X,Y）的概率分布。

求

（1）常数A;

（2）边缘密度；

（2）X,Y是否独立。

例5、设随机变量Xj（i=1,2,3,4）相互独立，均服从分布b（1,0.5），求行列式

成立

11

（C）P（XY=0）（D）P（XY=1）=—

44

例9、（06）设两个随机变量X与丫相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布,

则P（max（X,Y）岂1）二

（1）fx（x）和fY（y），X,Y是否独立；

（2）fxY（x|y）和fY|x（y|x）

例11、X，Y相互独立，且都服从参数为r0）的泊松分布，证明XY服

从参数为2的泊松分布。

例12、（04）设随机变量X在区间（0,1）上服从均匀分布，在X=x（0：

：

：

x：

：

：

1）的条

件下，随机变量丫在区间（0,x）上服从均匀分布，求:

（1）随机变量X和丫的联合概率密度；

（2）丫的概率密度；（3）概率P（XY1）

例13、（05）设二维随机变量（X,Y）的概率密度为

f（x,y）=丿

10cxc1,0

0其他，求:

（1）（X,Y）的边缘概率密度fx（x）,fY（y）;

（2）Z=2X-Y的概率密度fz（z）;

11

（3）P（Y|X）

22

第四讲随机变量的数字特征

§6典型例题分析

例1、设随机变量X服从参数为'的泊松分布，且已知E[（X-1）（X-2）]=1，

贝卩'=

例2、已知N件产品中含有M件次品，从中任意取出n件（n岂N），设这n件产

品中的次品件数为X，试求E（X）

例3、（04）设随机变量X服从参数为■的指数分布，则P（X….DX）=

例4、设随机变量X的概率密度函数为

X2

丄丁）的X

f（x）=Ae2-:

:

:

x：

：

：

■:

:

其中A,B为常数，已知E（X）二D（X），试求A,B,E（X）

例5、（04）设随机变量Xi，X2,…，Xn（n_1）独立同分布，且其方差c20，令

n

Y=二Xi，贝U

i丄

a22

（A）cov（X1,Y）（B）cov（X1,Y^c

n

n+22n+12

（C）D（X1Y）（D）D（X^Y）

nn

例6设随机变量X和丫的联合分布在以点（0,1），（1,0），（1,1）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求随机变量U=X+丫勺方差。

例7、设随机变量X的概率分布密度为f（x）=亠」"，-：

：

:

:

:

x”：

■二

2

（1）求X的E（X）和D（X）

（2）求X与|X|的协方差，问X与|X|是否相关？

（3）问X与|X|是否相互独立？

为什么？

1XY

例8、已知随机变量（X,Y）服从N（1,0,9,16,--），设Z=—•—

232

（1）求Z的E（Z）和D（Z）

（2）求‘XZ（3）问乙X是否相互独立？

为什么？

例9、设随机变量（X,Y）在D:

x2y^i1内服从均匀分布，则X和丫的相关系数

例10、随机变量X和丫均服从正态分布，则

（A）X+Y一定服从正态分布（B）X和丫不相关与独立等价

（C）（X,Y）一定服从正态分布（D）（X,-Y）未必服从正态分布

例11、在n次独立重复试验中，X和Y分别表示成功和失败的次数，则X和Y

的相关系数等于

（A）-1（B）0（C）0.5（D）1

例12、设A和B是两个随机事件，定义两个随机变量如下：

证明：

X与丫不相关的充分必要条件是A与B相互独立

C

例13、已知随机变量X的分布P（X二k）kk=0,1,2,…其中C为常数，则

2kk!

随机变量Y=2X-3的D（Y）=

111

例14、（04）设A,B为两个随机事件，且P（A）二―，P（B|A）二—，P（A|B）二—，

432

（1）二维随机变量（X,Y）的概率分布；

（2）X与丫的相关系数：

\y

（3）Z=X2Y2的概率分布。

例15、（06）设二维随机变量（X,Y）的概率分布为

XY

-1

0

1

-1

a

0

0.2

0

0.1

b

0.2

1

0

0.1

c

其中a,b,c为常数，且X的数学期望E（X）=0.2,P（Y乞0|X空0）=0.5，记Z=X+Y

求

（1）a,b,c的值；

（2）Z的概率分布；（3）P（X二Z）

-,一1

例16、（06）设随机变量X的概率密度为fx（x）=J,0兰x<2令Y=X2,F（x,y）

4，其它

为二维随机变量（X,Y）的分布函数，求

1

（1）丫的概率密度fy（y）；

（2）cov（X,Y）；（3）F（-丄,4）

2

第五讲大数定律和中心极限定理

§4典型例题分析

例1、设随机变量X和丫的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为

0.5,则根据切比雪夫不等式P（|X-Y|_6）=

例2、将一枚骰子重复掷n次，则当n>■■-时，n次掷出点数的算术平均值依概

率收敛于—例3、（05）设X"X2,…，Xn，…为独立同分布的随机变量列，且均服从参数为

（1）的指数分布，记：

（x）为标准正态分布函数，则

n

ZXk_nk

（A）limPk-_x=：

」（x）

n「n

■一.一

IJ

ln

&送Xk-n

（C）limPk-_x=：

」（x）

yIn

IJ

第六讲数理统计

§5典型例题分析

例1、设总体X服从参数为p的0—1

ZXk_n九

（B）lim兰x〉=①仕）

n「、n

■■

IJ

「n

送Xk-X

（D）limPk-=：

（x）

yJnkj

IJ

分布，则来自总体X的简单随机样本

X"X2,…,Xn的概率分布为例2、设总体X~7（），则来自总体X的样本X"X2,…,Xn的样本均值X的分

布律是

例3、（98）设X!

X2,X3,X4是来自正态总体N（0,22）的样本，已知

2=a（X^2X2）2b（3Xs-4X4）2服从2（n）分布，其中a,b为常数，则n=—

例4、设随机变量T~t（n），则T2服从的分布及参数为

例5、设X“X2,…，Xn（n一2）为来自总体N（0,1）的简单随机样本，X为样本均

例6设X~N（0,；「2），从总体X中抽样取样本X1,X2/,X9，试确定二的值,

使得P（VX:

:

3）为最大，其中XXi

9iT

第二章参数估计§4典型例题分析

n_1

例1、设X.X2,…，Xn为总体N（」,；「2）的一个样本，已知■:

?

2二（Xi—XJ2

y

为匚2的无偏估计，则常数C等于

例2、（05）设X“，X2,X（n>2）为来自总体N（0,；「2）的简单随机样本，X为样

本均值，斗=Xj—X,i=1,2,,n

求：

（1）Yi的方差DYJ=1,2,…，n

（2）Y1与Yn的协方差cov%,Yn）

（3）若C（Y「Yn）2是二2的无偏估计，求常数C（4）P（Y1Y^0）

例3、从总体X中分别抽取容量为n1和n2的两个独立样本，样本均值分别为X1

和X2，且E（X）=tD（X）=：

;2，已知T=获1bX2为丄的无偏估计量，试求

（1）常数a和b应满足的条件；

（2）使D（T）达到最小值的a和b

例4、设X1X,,Xn是来自总体X的样本，已知X~-（），证明T二（1-丄严

n

是P（X=0）的无偏估计量

例5、（04）设随机变量X的分布函数为尸区口严）"1—（；）,xx，其中参

[0,x"

数:

0/0，设X「X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本

（1）当-=1时，求未知参数1的矩估计量；

（2）当〉=1时，求未知参数1的

最大似然估计量；（3）当1=1时，求未知参数:

的最大似然估计量

例6设某种元件的使用寿命X的概率密度为

其中，为未知参数，又设X1,X2,…，Xn是X的一组观测值，求参数二的最大似然估计值。

例7、设总体X~U（0,汨,Xi,X2,…,Xn是来自总体X的样本，试求：

参数二的

0；x1

1岂x岂2，其中二是未知

其它

最大似然估计量

0,

例8、（06）设总体X的概率密度为f（x,T）=«1—日,

0,

参数（0：

：

宀：

：

：

1），Xi,X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值

Xi,X2,,Xn中小于1的个数，

求

（1）二的矩估计；

（2）r的最大似然估计

3

（A）F（-a）=1-°f（x）dx