(湖南专用)中考数学总复习专题四归纳与猜想(专题讲练+名师解读+考向例析+提升演练)(含解析.doc

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专题四　归纳与猜想

归纳猜想问题指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作、变化过程，要求通过观察、分析、推理，探求其中所蕴涵的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论，在解答过程中需要经历观察、归纳、猜想、试验、证明等数学活动，以加深学生对相关数学知识的理解，认识数学知识之间的联系．在试卷中多以选择题、填空题、解答题的形式出现．

考向一　数字规律问题

数字规律问题，即按一定的规律排列的数之间的相互关系或大小变化规律的问题．

【例1】如图，一个数表有7行7列，设aij表示第i行第j列上的数（其中i＝1,2,3，…，j＝1,2,3，…）．例如：

第5行第3列上的数a53＝7.

　　　　　　1　2　3　4　3　2　1

2345432

3456543

4567654

5678765

6789876

78910987

则

（1）（a23－a22）＋（a52－a53）＝__________.

（2）此数表中的四个数anp，ank，amp，amk，满足（anp－ank）＋（amk－amp）＝__________.

解析：

根据数表中数字排列规律，得a23＝4，a22＝3，

a52＝6，a53＝7，

所以

（1）的答案是（4－3）＋（6－7）＝0.

对于

（2）中四个数anp，ank，amp，amk，可以发现anp与ank为同一行的数，且其差为第p个数与第k个数之差，同理amk与amp之差也为同行中第k个数与第p个数之差．

根据数表中数字排列规律可以发现这两个差互为相反数，所以（anp－ank）＋（amk－amp）＝0.

答案：

（1）0　

（2）0

方法归纳解答数字规律问题的关键是，仔细分析数表中或行列中前后各数之间的关系，从而发现其中所蕴涵的规律，利用规律解题．

考向二　数式规律问题

解答此类问题的常用方法是：

（1）将所给每个数据化为有规律的代数式或等式；

（2）按规律顺序排列这些式子；（3）将发现的规律用代数式或等式表示出来；（4）用题中所给数据验证规律的正确性．

【例2】给出下列命题：

命题1：

直线y＝x与双曲线y＝有一个交点是（1,1）；

命题2：

直线y＝8x与双曲线y＝有一个交点是；

命题3：

直线y＝27x与双曲线y＝有一个交点是；

命题4：

直线y＝64x与双曲线y＝有一个交点是；

……

（1）请你阅读、观察上面命题，猜想出命题n（n为正整数）；

（2）请验证你猜想的命题n是真命题．

解：

（1）命题n：

直线y＝n3x与双曲线y＝有一个交点是；

（2）将代入直线y＝n3x得：

右边＝n3×＝n2，左边＝n2，

∴左边＝右边．

∴点在直线y＝n3x上．

同理可证：

点在双曲线y＝上，

∴直线y＝n3x与双曲线y＝有一个交点是.

方法归纳此类问题要从整体上观察各个式子的特点，猜想出式子的变化规律，并进行验证．

对于本题来说，关键是发现变化的点的坐标的横坐标和纵坐标之间的关系，同时找出两个函数的系数和横坐标的关系．

考向三　数形规律问题

根据一组图形的排列，探究图形变化所反映的规律，其中以图形为载体的数字规律最为常见．

【例3】用同样大小的小圆按下图所示的方式摆图形，第1个图形需要1个小圆，第2个图形需要3个小圆，第3个图形需要6个小圆，第4个图形需要10个小圆，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要小圆__________个（用含n的代数式表示）．

解析：

观察图形可知，第n个图形比第（n－1）个图形多n个小圆，

所以第n个图形需要小圆1＋2＋3＋…＋n＝n（n＋1）．

答案：

n（n＋1）

方法归纳解决这类问题的关键是，仔细分析前后两个图形中基础图案的数量关系，从而发现其数字变化规律．具体地说，先根据图形写出数字规律，然后将每一个数字改写为等式，再比较各等式的相同点和不同点，分析不同点（数字）与等式序号之间的关系，从而得到一般规律．

一、选择题

1．如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六边形的渐开线”，其中，，，，，…的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为l1，l2，l3，l4，l5，l6….当AB＝1时，l2011等于（　　）

A． B． C． D．

2.在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1,0），点D的坐标为（0,2）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…，按这样的规律进行下去，第2011个正方形的面积为（　　）

A．52010 B．52011 C．52009 D．54020

二、填空题

3．按一定规律排列的一列数，依次为1,4,7，….则第n个数是__________．

4．如图

（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1；取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图

（2）中阴影部分；取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图（3）中阴影部分；如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为__________．

5．如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，……，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2,4,6，……的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2,0），A2（1，－1），A3（0,0），则依图中所示规律，A2012的坐标为__________．

三、解答题

6．观察下列算式：

①1×3－22＝3－4＝－1

②2×4－32＝8－9＝－1

③3×5－42＝15－16＝－1

④__________________________

……

（1）请你按以上规律写出第4个算式；

（2）把这个规律用含字母n（n为正整数）的式子表示出来；

（3）你认为

（2）中所写出的式子一定成立吗？

并说明理由．

7．观察图形，解答问题：

（1）按下表已填写的形式填写表中的空格：

图①

图②

图③

三个角上三个数的积

1×（－1）×2＝－1

（－3）×（－4）×（－5）＝－60

三个角上三个数的和

1＋（－1）＋2＝2

（－3）＋（－4）＋（－5）＝－12

积与和的商

－2÷2＝－1

（2）请用你发现的规律求出图④中的数y和图⑤中的数x.

8．

（1）△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C＝90°，AC＝BC＝2.要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？

请说明理由．

图1

图2 　图3

（2）图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得的正方形面积为S1；按照甲种剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为S2（如图2），则S2＝__________.

（3）按

（1）

（2）的方法，再在余下的四个三角形中，分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形的面积和为S3（如图3）；继续操作下去…，则第10次剪取时，S10＝__________.求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积和．

参考答案

专题提升演练

1．B　可以发现规律：

每段弧的度数都等于60°，Kn－1Kn的半径为n，所以l2011＝＝.

2．D　由题意知，OA＝1，OD＝2，DA＝，∴AB＝AD＝，利用互余关系证得△DOA∽△ABA1，∴＝，∴BA1＝AB＝，∴A1B1＝A1C＝AB＝，同理，A2B2＝A1B1＝2，一般地AnBn＝n，第2011个正方形的面积为（A2010B2010）2＝54020，故选D.

3．3n－2　思路一：

将数列看成1＋3×0,1＋3×1,1＋3×2，…，1＋3×（n－1），所以第n个数是1＋3×（n－1），即3n－2.

思路二：

将数列看成3×1－2,3×2－2,3×3－2，…，3×n－2，所以第n个数是3n－2.

4.　因为A1，B1分别是EF，FD的中点，所以A1B1＝ED.因为正六角星形A1F1B1D1C1E1∽正六角星形AFBDCE，所以正六角星形A1F1B1D1C1E1的面积∶正六角星形AFBDCE的面积＝2＝.所以正六角星形A1F1B1D1C1E1的面积＝.同理正六角星形A2F2B2D2C2E2的面积∶正六角星形A1F1B1D1C1E1的面积＝2＝，所以正六角星形A2F2B2D2C2E2的面积＝×＝2.如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积等于4＝.

5．（2,1006）

6．解：

（1）4×6－52＝24－25＝－1；

（2）n（n＋2）－（n＋1）2＝－1；

（3）一定成立．理由：

因为n（n＋2）－（n＋1）2＝n2＋2n－（n2＋2n＋1）＝n2＋2n－n2－2n－1＝－1，故

（2）中的式子一定成立．

7．解：

（1）图②：

（－60）÷（－12）＝5，

图③：

（－2）×（－5）×17＝170，

（－2）＋（－5）＋17＝17，

170÷10＝17.

（2）图④：

5×（－8）×（－9）＝360，

5＋（－8）＋（－9）＝－1，

y＝360÷（－12）＝－30，

图⑤：

＝－3，解得x＝－2.

8．解：

（1）如图甲，由题意得AE＝DE＝EC，即EC＝1，S正方形CFDE＝1.如图乙，设MN＝x，则由题意，得AM＝MQ＝PN＝NB＝MN＝x，∴3x＝2，解得x＝.

∴S正方形PNMQ＝2＝.

又∵1＞，∴甲种剪法所得的正方形的面积更大．

（2）S2＝.

（3）S10＝.

解法1：

探索规律可知：

Sn＝.

剩余三角形的面积和为2－（S1＋S2＋…＋S10）＝2－＝.

解法2：

由题意可知，

第1次剪取后剩余三角形面积和为2－S1＝1＝S1.

第2次剪取后剩余三角形面积和为S1－S2＝1－＝＝S2.

第3次剪取后剩余三角形面积和为S2－S3＝－＝＝S3.

…

第10次剪取后剩余三角形面积和为S9－S10＝S10＝.