(第10讲)函数图象及图象性质的应用.doc

(第10讲)函数图象及图象性质的应用.doc

《(第10讲)函数图象及图象性质的应用.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(第10讲)函数图象及图象性质的应用.doc（6页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

题目高中数学复习专题讲座函数图像及图像性质的应用

高考要求

函数的图像与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具,利用它的直观性解题,可以起到化繁为简、化难为易的作用因此，考生要掌握绘制函数图像的一般方法，掌握函数图像变化的一般规律，能利用函数的图像研究函数的性质

重难点归纳

1熟记基本函数的大致图像，掌握函数作图的基本方法

（1）描点法列表、描点、连线；

（2）图像变换法平移变换、对称变换、伸缩变换等

2高考中总是以几类基本初等函数的图像为基础来考查函数图像的题型多以选择与填空为主，属于必考内容之一，但近年来，在大题中也有出现，须引起重视

典型题例示范讲解

例1对函数y=f（x）定义域中任一个x的值均有f（x+a）=f（a－x）,

（1）求证y=f（x）的图像关于直线x=a对称；

（2）若函数f（x）对一切实数x都有f（x+2）=f（2－x）,且方程f（x）=0恰好有四个不同实根，求这些实根之和

命题意图本题考查函数概念、图像对称问题以及求根问题

知识依托把证明图像对称问题转化到点的对称问题

错解分析找不到问题的突破口，对条件不能进行等价转化

技巧与方法数形结合、等价转化

（1）证明设（x0,y0）是函数y=f（x）图像上任一点，则y0=f（x0）,

∵=a,　∴点（x0,y0）与（2a－x0,y0）关于直线x=a对称，

又f（a+x）=f（a－x）,

∴f（2a－x0）=f［a+（a－x0）］=f［a－（a－x0）］=f（x0）=y0,

∴（2a－x0,y0）也在函数的图像上，

故y=f（x）的图像关于直线x=a对称

（2）解由f（2+x）=f（2－x）得y=f（x）的图像关于直线x=2对称，

若x0是f（x）=0的根，则4－x0也是f（x）=0的根，

若x1是f（x）=0的根，则4－x1也是f（x）=0的根，

∴x0+（4－x0）+x1+（4－x1）=8

即f（x）=0的四根之和为8

例2如图，点A、B、C都在函数y=的图像上，它们的横坐标分别是a、a+1、a+2又A、B、C在x轴上的射影分别是A′、B′、C′,记△AB′C的面积为f（a）,△A′BC′的面积为g（a）

（1）求函数f（a）和g（a）的表达式；

（2）比较f（a）与g（a）的大小，并证明你的结论

命题意图本题考查函数的解析式、函数图像、识图能力、图形的组合等

知识依托充分借助图像信息，利用面积问题的拆拼以及等价变形找到问题的突破口

错解分析图形面积不会拆拼

技巧与方法数形结合、等价转化

解

（1）连结AA′、BB′、CC′,

则f（a）=S△AB′C=S梯形AA′C′C－S△AA′B′－S△CC′B

=（A′A+C′C）=（）,

g（a）=S△A′BC′=A′C′·B′B=B′B=

∴f（a）

例3已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图像如图，求b的范围

解法一观察f（x）的图像，可知函数f（x）的图像过原点，即f（0）=0,得d=0,

又f（x）的图像过（1，0），∴f（x）=a+b+c　　　①

又有f（－1）＜0,即－a+b－c＜0　　　　②

①+②得b＜0,故b的范围是（－∞,0）

解法二如图f（0）=0有三根0,1,2，

∴f（x）=ax3+bx2+cx+d=ax（x－1）（x－2）=ax3－3ax2+2ax,

∴b=－3a,

∵当x>2时，f（x）>0，从而有a>0,∴b＜0

学生巩固练习

1当a≠0时，y=ax+b和y=bax的图像只可能是（）

2某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中y轴表示离学校的距离，x轴表示出发后的时间，则适合题意的图形是（）

3已知函数f（x）=log2（x+1），将y=f（x）的图像向左平移1个单位，再将图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数y=g（x）的图像，则函数F（x）=f（x）－g（x）的最大值为_________

三、解答题

4如图，在函数y=lgx的图像上有A、B、C三点，它们的横坐标分别为m,m+2,m+4（m>1）

（1）若△ABC面积为S，求S=f（m）;

（2）判断S=f（m）的增减性

5如图，函数y=|x|在x∈［－1,1］的图像上有两点A、B，AB∥Ox轴，点M（1，m）（m∈R且m>）是△ABC的BC边的中点

（1）写出用B点横坐标t表示△ABC面积S的函数解析式S=f（t）;

（2）求函数S=f（t）的最大值，并求出相应的C点坐标

6已知函数f（x）是y=－1（x∈R）的反函数，函数g（x）的图像与函数y=－的图像关于y轴对称，设F（x）=f（x）+g（x）

（1）求函数F（x）的解析式及定义域；

（2）试问在函数F（x）的图像上是否存在两个不同的点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直？

若存在，求出A、B的坐标；若不存在，说明理由

7已知函数f1（x）=,f2（x）=x+2,

（1）设y=f（x）=，试画出y=f（x）的图像并求y=f（x）的曲线绕x轴旋转一周所得几何体的表面积；

（2）若方程f1（x+a）=f2（x）有两个不等的实根，求实数a的范围

（3）若f1（x）>f2（x－b）的解集为［－1，］，求b的值

8设函数f（x）=x+的图像为C1，C1关于点A（2，1）对称的图像为C2，C2对应的函数为g（x）

（1）求g（x）的解析表达式；

（2）若直线y=b与C2只有一个交点，求b的值，并求出交点坐标；

（3）解不等式logag（x）

参考答案

1解析∵y=bax=（ba）x,∴这是以ba为底的指数函数仔细观察题目中的直线方程可知在选择支B中a>0,b>1,∴ba>1,C中a＜0,b>1,∴0＜ba＜1,D中a＜0,0＜b＜1,∴ba>1故选择支B、C、D均与指数函数y=（ba）x的图像不符合

答案A

2解析由题意可知，当x=0时，y最大，所以排除A、C又一开始跑步，所以直线随着x的增大而急剧下降

答案D

3解析g（x）=2log2（x+2）（x>－2）

F（x）=f（x）－g（x）=log2（x+1）－2log2（x+2）

=log2

∵x+1>0,∴F（x）≤=－2

当且仅当x+1=,即x=0时取等号

∴F（x）max=F（0）=－2

答案－2

4解

（1）S△ABC=S梯形AA′B′B+S梯形BB′C′C－S梯形AA′C′C

（2）S=f（m）为减函数

5解

（1）依题意，设B（t,t）,A（－t,t）（t>0）,C（x0,y0）

∵M是BC的中点∴=1,=m

∴x0=2－t,y0=2m－t

在△ABC中，|AB|=2t,AB边上的高hAB=y0－t=2m－3t

∴S=|AB|·hAB=·2t·（2m－3t）,即f（t）=－3t2+2mt,t∈（0,1）

（2）∵S=－3t2+2mt=－3（t－）2+,t∈（0,1,若，

即＜m≤3,

当t=时，Smax=,相应的C点坐标是（2－,m）,

若>1,即m>3S=f（t）在区间（0，1］上是增函数，

∴Smax=f

（1）=2m－3,相应的C点坐标是（1，2m－3）

6解

（1）y=－1的反函数为f（x）=lg（－1＜x＜1

由已知得g（x）=,∴F（x）=lg+,定义域为（－1，1）

（2）用定义可证明函数u==－1+是（－1，1）上的减函数，且y=lgu是增函数

∴f（x）是（－1，1）上的减函数，故不存在符合条件的点A、B

7解

（1）y=f（x）=的图像如图所示

y=f（x）的曲线绕x轴旋转一周所得几何体是由一个半径为1的半球及底面半径和高均为1的圆锥体组成，

其表面积为（2+）π

（2）当f1（x+a）=f2（x）有两个不等实根时，a的取值范围为2－＜a≤1

（3）若f1（x）>f2（x－b）的解集为［－1，］，则可解得b=

8

（1）g（x）=x－2+

（2）b=4时，交点为（5，4）；b=0时，交点为（3，0）

（3）不等式的解集为{x|4＜x＜或x>6

课前后备注　

第6页　共6页