第10讲数阵图二Word格式文档下载.docx

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三阶幻方：

就是将九个连续自然数填入3×

3（三行三列）的方格内，使每行每列、每条对角线的和相等，这叫做三阶幻方。

奇数阶幻方：

“罗伯法”“楼贝法”

西欧在十六，十七世纪时，构造幻方非常盛行。

十七世纪，法E路第十四对构造幻方有着浓厚的兴趣，他专门派DeLaLoubere（楼贝）出使泰国（1687-1688），Loubere：

将在邏罗学的构造作画何奇数阶幻方法的一种统一的方法

1居上行正中央，依次斜填切莫忘，上出框时往下填，右出框时左边放，排重便在下格填，右上排重一个样。

扬辉方法：

扬辉在《续古摘奇算法》中，写到“九子排列，上下对易，左右相更，四维挺出”

杨辉给出的方形纵横图共有十三幅，它们是：

洛书数（三阶幻方）一幅，四四图（四阶幻方）两幅，五五图（五阶幻方）两幅，六六图（六阶幻方）两幅，七七图（七阶幻方）两幅，六十四图（八阶幻方）两幅，九九图（九阶幻方）一幅，百子图（十阶幻方）一幅（参见图1-9-3）。

其中还给出了“洛书数”和“四四阴图”的构造方法。

如“洛书数”的构造方法为：

“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”。

但可惜的是，杨辉只停留在个别纵横图的构造上，没有上升成一般的理论。

他所造出的百子图，虽然每一行和，每一列都等于（1+2+3+…97+98+99+100）=505，但两对角和不是等于505，直到我国清代的张潮（165—？

）费了九牛二虎之力才造出第一个两对角和也是505的百子图。

偶数阶幻方：

对称交换的方法。

1、将数依次填入方格中，对角线满足要求。

2、调整行，对角线数不动，对称行的其它数对调。

3、调整列，对角线数不动，对称列的其它数对调。

数阵图：

把一些数字按照一定的要求，排列成各种各样的图形，叫做数阵图。

1、封闭型：

封闭型数阵图的解题突破口，是确定各边顶点所应填的数。

为确定这些数，采用的方法是建立有关的等式，通过以最小值到最大值的讨论，来确定每条边上的几个数之和，再将和数进行拆分以找到顶点应填入的数，其余的数再利用和与顶点的数就容易被填出。

（1—6）

2、辐射型：

辐射型数阵图，解法的关键是确定中心数。

具体方法是：

通过所给条件建立有关等式，通过整除性的讨论，确定出中心数的取值，然后求出各边上数的和，最后将和自然数分拆成中心数的若干个自然数之和，确定边上其他的数。

（1—9和相等）

3、复合型：

复合型数阵图，解题的关键是要以中心数和顶点数为突破口。

（1~7，和相等）

典型举例1

将1～8这八个数分别填入右图的○中，使两个大圆上的五个数之和都等于21。

解：

中间两个数是重叠数，重叠次数都是1次，所以两个重叠数之和为

　　21×

2-（1+2+…+8）=6。

　　在已知的八个数中，两个数之和为6的只有1与5，2与4。

每个大圆上另外三个数之和为21-6=15。

　　如果两个重叠数为1与5，那么剩下的六个数2，3，4，6，7，8平分为两组，每组三数之和为15的只有

　　2+6+7=15和3+4+8=15，

　　故有左下图的填法。

　　如果两个重叠数为2与4，那么同理可得上页右下图的填法。

1、把1—6六个数字填入下图，使每个大圆上四个数字之和都是16。

2、把2、4、6、8、10、12、14、16这八个数分别填入下图，使每个大圆内五个数的和都是44。

典型举例2

将1～6这六个自然数分别填入右图的六个○内，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11。

本题有三个重叠数，即三角形三个顶点○内的数都是重叠数，并且各重叠一次。

所以三个重叠数之和等于

　　11×

3-（1+2+…+6）=12。

　　1～6中三个数之和等于12的有1，5，6；

2，4，6；

3，4，5。

　　如果三个重叠数是1，5，6，那么根据每条边上的三个数之和等于11，可得左下图的填法。

容易发现，所填数不是1～6，不合题意。

　　同理，三个重叠数也不能是3，4，5。

　　经试验，当重叠数是2，4，6时，可以得到符合题意的填法（见右上图）。

将3—8这六个数分别填入下图中，使得每条边上的三数之和都是15。

典型举例3

将1～6这六个自然数分别填入下图的六个○中，使得三角形每条边上的三个数之和都相等。

与典型举例2不同的是不知道每边的三数之和等于几。

因为三个重叠数都重叠了一次，由（1+2+…+6）+重叠数之和=每边三数之和×

3，得到每边的三数之和等于

　　[（1+2+…+6）+重叠数之和]÷

3

　　=（21+重叠数之和）÷

　　=7+重叠数之和÷

3。

　　因为每边的三数之和是整数，所以重叠数之和应是3的倍数。

考虑到重叠数是1～6中的数，所以三个重叠数之和只能是6，9，12或15，对应的每条边上的三数之和就是9，10，11或12。

　　与例2的方法类似，可得下图的四种填法：

每边三数之和=9每边三数之和=10每边三数之和=11每边三数之和=12

将2～9这八个数分别填入右图的○里，使每条边上的三个数之和都等于18。

四个角上的数是重叠数，重叠次数都是1次。

所以四个重叠数之和等于

　　18×

4-（2+3+…+9）=28。

　　而在已知的八个数中，四数之和为28的只有：

　　4+7+8+9=28或5+6+8+9=28。

　　又由于18-9-8=1，1不是已知的八个数之一，所以，8和9只能填对角处。

由此得到左下图所示的重叠数的两种填法：

“试填”的结果，只有右上图的填法符合题意。

说明：

以上例题都是封闭型数阵图。

　　一般地，在m边形中，每条边上有n个数的形如下图的图形称为封闭型m-n图。

　　与“辐射型m-n图只有一个重叠数，重叠次数是m-1”不同的是，封闭型m-n图有m个重叠数，重叠次数都是1次。

　　对于封闭型数阵图，因为重叠数只重叠一次，所以

　　已知各数之和+重叠数之和

　　=每边各数之和×

边数。

　　由这个关系式，就可以分析解决封闭型数阵图的问题。

　　前面我们讲了辐射型数阵图和封闭型数阵图，虽然大多数数阵问题要比它们复杂些，但只要紧紧抓住“重叠数”进行分析，就能解决很多数阵问题。

1、将1、2、3、4、5、6、7、8这八个数分别填入下面的图里，使得每条边上的三个数之和是12。

2、将2—9这八个数填入下图，使每条边上的三个数的和都等于16。

把1～7分别填入左下图中的七个空块里，使每个圆圈里的四个数之和都等于13。

这道题的“重叠数”很多。

有重叠2次的（中心数，记为a）；

有重叠1次的（三个数，分别记为b，c，d）。

根据题意应有

　　（1+2+…+7）+a+a+b+c+d=13×

3，

　　即a+a+b+c+d=11。

　　因为1+2+3+4=10，11-10=1，所以只有a=1，b，c，d分别为2，3，4才符合题意，填法见右上图。

在下面圆圈内的空白处填入7、8、10、12，使每个院内的四个数的和都相等。

把1—9这九个数填入下图的方格中，并使每一行、每一列和对角线上的数的和都相等

方法一：

（1）先填中心数，把1－9按从小到大顺序排成一排，第五个数填在中心格。

（2）将剩下的八个数排成两排，第一排为1、2、3、4、第二排为8、7、6、5即

1234

8765

（3）根据两排数字填上四个角，四个角的数就是两排中第二、第四列中的四个数，这两列数字按对角填。

（4）用对角线的和减去每行或每列知道的数字就完成了。

方法二：

（1）将这9个数字按照如下方式排列：

1

24

357

68

9

（2）上下两个数互换：

1

（3）左右两个数互换：

753

（4）填入表格即可。

1、将20－28填入九宫格中，使每行、每列、两条对角线的和相等。

1、将17－25填入九宫格中，使之成为一个三阶幻方。

A基础训练

　　1.把1～8填入下页左上图的八个○里，使每个圆圈上的五个数之和都等于20。

　　2.把1～6这六个数填入右上图的○里，使每个圆圈上的四个数之和都相等。

　　3.将1～8填入左下图的八个○中，使得每条边上的三个数之和都等于15。

　　4.将1～8填入右上图的八个○中，使得每条直线上的四个数之和与每个圆周上的四个数之和都相等。

　　5.将1～7填入右图的七个○，使得每条直线上的各数之和都相等。

　　6.把1，3，5，7，9，11，13分别填入左图中的七个空块中，使得每个圆内的四个数之和都等于34。

答案与提示练习17

　　每个圆周的四数之和=12每个圆周的四数之和=13

　　每个圆周的四数之和=14

　每个圆周的四数之和=15每个圆周的四数之和=16

　　3.提示：

四个顶点数之和为15×

4－（1＋2＋…＋8）=24，四个顶点数有3，6，7，8和4，5，7，8两种可能。

经试验只有左下图一个解。

　　4.提示：

每条直线或每个圆周上的四个数之和都等于

　　（1＋2＋…＋8）÷

7＝18。

　　填法见右上图。

（填法不唯一）

　　5.提示：

顶上的数重叠2次，其它数都重叠1次。

　　（1＋2＋…＋7）×

2＋顶上数=每条线上的和×

5，

　　56＋顶上数=每条线上的和×

5。

　　由上式等号左端是5的倍数，推知“顶上数”=4。

所以每条线上的三个数之和为

　　（56＋4）÷

5＝12。

　　经试验填法如上图。

　　6.与例5类似（见上图）。

B冲刺夺冠

1.把1~8这8个数,分别填入图中的方格内（每个数必须用一次）,使“十一”三笔中每三个方格内数的和都相等.

2.把1~11这11个数分别填入如下图11个○内,使每条虚线上三个○内数的和相等,一共有几种不同的和?

3.在下图中的几个圈内各填一个数,使每一条直线上的三个数中,当中的数是两边两个数的平均数,现在已经填好两个数,那么

（）.

4.在图的每个圆圈内填上适当的质数（不得重复）,使每条直线上三个数的和相等,且均为偶数.

5.图有五个圆,它们相交相互分成9个区域,现在两个区域里已经填上10与6，请在另外七个区域里分别填进2.3.4.5.6.7.9七个数,使每圆内的和都等于15.

6.10个连续的自然数中第三个的数是9,把这10个数填入图中的10个方格内,每格填一个数,要求图中3个2×

2的正方形中4个数之和相等,那么这个和最小值是______.

7.将1~10这十个数分别填入下图中的十个○内,使每条线段上四个○内数的和相等,每个三角形三个顶点上○内数的和也相等.

8.把1~16这16个数,填入图中的16个○内,使五个正方形的四个顶点上○内数的和相等.

9.将1-12这十二个数分别填入图中的十二个小圆圈里,使每条直线上的四个小圆圈中的数字之和26.

10.在图中的空格中填入四个数,使每个横行,每个竖行的三个数的积都相等.

11.在图中分别填入

和

使每横行,每竖列,每斜行的三个分数之和都相等.

12.把1~12这十二个数,填入下图中的12个○内,使每条线段上四个数的和相等,两个同心圆上的数的和也相等.

13.将1~5这五个数填入下图中,使每行和每列的3个数的和相等.

14.将1~9这九个数分别填入图中○内,使每条线段三个数相等.

———————————————答案——————————————————————

1.

2.

3.

4.

5.

6.24.

7.等:

16

2

10

12

15

8

7

14

4

11

5

6

13

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.