(理数)广州市2013届普通高中毕业班综合测试(二).doc
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广州市2013届普通高中毕业班综合测试
（二）
理科数学
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号。
用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：
锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．
一、选择题：
本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．对于任意向量、、，下列命题中正确的是
A．B．C．D．
2．直线与圆的位置关系是
A．相交B．相切C．相离 D．取决于的值
3．若（是虚数单位）是关于的方程（）的一个解，则
A．B．C． D．
x
y
O
图1
y
x
O
A．
x
O
B．
x
O
C．
x
O
D．
y
y
y
4．已知函数的图象如图1所示，则其导函数的图象可能是
5．若函数的一个对称中心是，则的最小值为
A．1B．2C．4 D．8
4
6
图2
6．一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图2所示．若一个平行于
圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为1﹕7的上、下两
部分，则截面的面积为
A．B．
C． D．
7．某辆汽车购买时的费用是15万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为1.5万元．年维修保养费用第一年3000元，以后逐年递增3000元，则这辆汽车报废的最佳年限（即使用多少年的年平均费用最少）是
A．8年B．10年C．12年 D．15年
8．记实数，，…，中的最大数为，最小数为，则
A．B．1C．3 D．
二、填空题：
本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9～13题）
9．某商场销售甲、乙、丙三种不同型号的钢笔，甲、乙、丙三种型号钢笔的数量之比依次为2﹕3﹕4．现用分层抽样的方法抽出一个容量为的样本，其中甲型钢笔有12支，则此样本容量．
10．已知为锐角，且，则．
11．用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成个没有重复数字且能被5整除的五位数（结果用数值表示）．
12．已知函数，点集，，则所构成平面区域的面积为．
13．数列的项是由1或2构成，且首项为1，在第个1和第个1之间有个2，即数列为：
1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列的前项和为，则；．
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14．（几何证明选讲选做题）
在△中，是边的中点，点在线段上，且满足，延长交于点，则的值为．
15.（坐标系与参数方程选做题）
在极坐标系中，已知点，点是曲线上任意一点，设点到直线的距离为，则的最小值为．
三、解答题：
本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
某单位有、、三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点，使得发射点到三个工作点的距离相等．已知这三个工作点之间的距离分别为，，．假定、、、四点在同一平面内．
（1）求的大小；
（2）求点到直线的距离．
17．（本小题满分12分）
已知正方形的边长为2，分别是边的中点．
（1）在正方形内部随机取一点，求满足的概率；
（2）从这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离为，求随机变量的分布列与数学期望．
18．（本小题满分14分）
等边三角形的边长为3，点、分别是边、上的点，且满足（如图3）．将△沿折起到△的位置，使二面角成直二面角，连结、（如图4）．
（1）求证：
平面；
B
C
E
D
图4
图3
A
B
C
D
E
（2）在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？
若存在，求出的长，若不存在，请说明理由．
19．（本小题满分14分）
已知，设命题：
函数在区间上与轴有两个不同的交点；命题：
在区间上有最小值．若是真命题，求实数的取值范围．
20．（本小题满分14分）
经过点且与直线相切的动圆的圆心轨迹为．点、在轨迹上，且关于轴对称，过线段（两端点除外）上的任意一点作直线，使直线与轨迹在点处的切线平行，设直线与轨迹交于点、．
（1）求轨迹的方程；
（2）证明：
；
（3）若点到直线的距离等于，且△的面积为20，求直线的方程．
21．（本小题满分14分）
设是函数的零点．
（1）证明：
；
（2）证明：
．
参考答案
说明：
1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：
本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
C
A
B
C
B
D
二、填空题：
本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题第一个空2分，第二个空3分．
9．5410．11．12．13．；14．15．
三、解答题：
本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题主要考查解三角形等基础知识，考查正弦定理与余弦定理的应用，本小题满分12分）
解：
（1）在△中，因为，，，
由余弦定理得…………………………………2分
．………………………………3分
因为为△的内角，所以．…………………………………4分
（2）方法1：
因为发射点到、、三个工作点的距离相等，
所以点为△外接圆的圆心．………………………………………………5分
设外接圆的半径为，
在△中，由正弦定理得，…………………………………………7分
因为，由
（1）知，所以．
A
B
C
O
D
所以，即．…………………8分
过点作边的垂线，垂足为，…………………………9分
在△中，，，
所以………………………………11分
．
所以点到直线的距离为．……………………………………12分
方法2：
因为发射点到、、三个工作点的距离相等，
A
B
C
O
D
所以点为△外接圆的圆心．……………………5分
连结，，
过点作边的垂线，垂足为，…………………6分
由
（1）知，
所以．
所以．………………………………………9分
在△中，，
所以．……………………………………11分
A
B
C
D
E
F
G
H
所以点到直线的距离为．………………………………………12分
17．（本小题主要考查几何概型、随机变量的分布列与数学期望等基础知识，考查运算求解能力与数据处理能力等，本小题满分12分）
解：
（1）这是一个几何概型．所有点构成的平面区域是正方形的内部，其面积是．…………………1分
满足的点构成的平面区域是以为圆心，为半径的圆的内部与正方形内部的公共部分，它可以看作是由一个以为圆心、为半径、
圆心角为的扇形的内部（即四分之一个圆）与两个
直角边为1的等腰直角三角形（△和△）内部
构成．……………………………………………………………2分
其面积是．………………3分
所以满足的概率为．………………………………………4分
（2）从这八个点中，任意选取两个点，共可构成条不同的线段．………………………………………………………5分
其中长度为1的线段有8条，长度为的线段有4条，长度为2的线段有6条，长度为的线段有8条，长度为的线段有2条．
所以所有可能的取值为．…………………………7分
且，，，，．………9分
所以随机变量的分布列为：
……10分
随机变量的数学期望为
．……12分
A
B
C
D
E
18．（本小题主要考查空间直线与平面垂直、直线与平面所成角等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力等，本小题满分14分）
证明：
（1）因为等边△的边长为3，且，
所以，．
在△中，，
由余弦定理得．
因为，
所以．
折叠后有．……………………………………………………………2分
因为二面角是直二面角，所以平面平面．……3分
又平面平面，平面，，
所以平面．……………………………………………4分
B
C
E
D
H
P
（2）解法1：
假设在线段上存在点，使直线与平面所成的角为．
如图，作于点，连结、．……5分
由
（1）有平面，而平面，
所以．………………………6分
又，
所以平面．………………………………………………7分
所以是直线与平面所成的角．…………………………8分
设，则，．…………………………9分
在△中，，所以．……………………10分
在△中，，．………………………11分
由，
得．……………………………………………12分
解得，满足，符合题意．……………………………………………13分
所以在线段上存在点，使直线与平面所成的角为，此时．………14分
解法2：
由
（1）的证明，可知，平面．
B
C
E
D
H
x
y
z
P
以为坐标原点，以射线、、分别为轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系如图．……………………………………5分
设，
则，，．…………6分
所以，，．……7分
所以.…………………………8分
因为平面，
所以平面的一个法向量为．………………………………9分
因为直线与平面所成的角为，
所以………………………………………………10分
，………………………………………11分
解得．………………………………………………………12分
即，满足，符合题意．……………………………13分
所以在线段上存在点，使直线与平面所成的角为，此时．………14分
19．（本小题主要考查二次函数的交点与分段函数的最值、常用逻辑用语等基础知识，考查数形结合思想、分类讨论思想和运算求解能力、抽象概括能力等，本小题满分14分）
解：
要使函数在上与轴有两个不同的交点，
必须…………………………2分
即………………………………4分
解得．
所以当时，函数在上与轴有两个不同的交点．…5分
下面求在上有最小值时的取值范围：
方法1：
因为………………………………6分
①当时，在和上单调递减，在上无最小值；……………7分
②当时，在上有最小值；………8分
③当时，在上单调递减，在上单调递增，
在上有最小值．………………………………………9分
所以当时，函数在上有最小值．……………………………10分
方法2：
因为………………………………………6分
因为，所以．
所以函数是单调递减的．………………………7分
要使在上有最小值，必须使在上单调递增或为常数．……8分
即，即．…………………………………………………………9分
所以当时，函数在上有最小值．…………………………10分
若是真命题，则是真命题且是真命题，即是假命题且是真命题．……………11分
所以…………………………………………………12分
解得或．……………………………………………………13分
故实数的取值范围为．………………………………………14分
20．（本小题主要考查动点的轨迹和直线与圆锥曲线的位置关系、导数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题满分14分）
解：
（1）方法1：
设动圆圆心为，依题意得，．………1分
整理，得．所以轨迹的方程为．…………………………2分
方法2：
设动圆圆心为，依题意得点到定点的距离和点到定直线的距离相等，
根据抛物线的定义可知，动点的轨迹是抛物线．…………………………1分
且其中定点为焦点，定直线为准线．
所以动圆圆心的轨迹的方程为．………………………………2分
（2）由
（1）得，即，则．
设点，由导数的几何意义知，直线的斜率为．…………3分
A
B
C
D
O
x
y
l
E
由题意知点．设点，，
则，即．……4分
因为，．………………5分
由于，即．………6分
所以．…………………………………………………………………7分
（3）方法1：
由点到的距离等于，可知．………………8分
不妨设点在上方（如图），即，直线的方程为：
．
由
解得点的坐标为．……………………………………10分
所以．
由
（2）知，同理可得．………………11分
所以△的面积，
解得．………………………………………………………………12分
当时，点的坐标为，，
直线的方程为，即．……………………13分
当时，点的坐标为，，
直线的方程为，即．……………………14分
方法2：
由点到的距离等于，可知．…………………8分
由
（2）知，所以，即．
由
（2）知，．
所以．
即．①
由
（2）知．②
不妨设点在上方（如图），即，由①、②解得………10分
因为，
同理．…………………………………………………11分
以下同方法1．
21．（本小题主要考查函数的零点、函数的导数和不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题满分14分）
证明：
（1）因为，，且在上的图像是一条连续曲线，
所以函数在内有零点．………………………………………………1分
因为，
所以函数在上单调递增．…………………………………………2分
所以函数在上只有一个零点，且零点在区间内．
而是函数的零点，
所以．………………………………………………………………3分
（2）先证明左边的不等式：
因为，
由
（1）知，
所以．……………………………………………………………4分
即．
所以．…………………………………………………………5分
所以．…………………………………6分
以下证明．①
方法1（放缩法）：
因为，…………………7分
所以
．……………………………………9分
方法2（数学归纳法）：
1）当时，，不等式①成立．
2）假设当（）时不等式①成立，即
．
那么
．
以下证明．②
即证．
即证．
由于上式显然成立，所以不等式②成立．
即当时不等式①也成立．
根据1）和2），可知不等式①对任何都成立．
所以．………………………………………9分
再证明右边的不等式：
当时，．
由于，，
所以．……………………………………………………………10分
由
（1）知，且，所以．…………11分
因为当时，，…………………………………12分
所以当时，
．
所以当时，都有．
综上所述，．………………………………………14分
16
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