.2014各地高考理科数学试题分类汇编圆锥曲线

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2014年全国及各省市高考理科数学分类汇编：

圆锥曲线

1（新课标1卷）.10已知抛物线：

的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个焦点，若，则=C

...3.2

2.（新课标1卷）20.（本小题满分12分）已知点（0，-2），椭圆：

的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.

解：

……5分

……9分

3.（新课标2卷）10.设F为抛物线C:

的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）D

A.B.C.D.

4.（新课标2卷）20.（本小题满分12分）

设,分别是椭圆C:

的左,右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N.

（Ⅰ）若直线MN的斜率为，求C的离心率；

（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a,b.

解：

（I）根据及题设知

将代入，解得（舍去）

故C的离心率为.

（Ⅱ）由题意，原点为的中点，∥轴，所以直线与轴的交点是线段的中点，故，即

①

由得。

设，由题意知，则

，即

代入C的方程，得。

将①及代入②得

解得，

故.

5.（全国大纲卷）6.已知椭圆C：

的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交C于A、B两点，若的周长为，则C的方程为（）

A．B．C．D．

【答案】A．

6.（全国大纲卷）9.已知双曲线C的离心率为2，焦点为、，点A在C上，若，则（）

A．B．C．D．

【答案】A．

7.（全国大纲卷）21.（本小题满分12分）

已知抛物线C：

的焦点为F，直线与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且.

（I）求C的方程；

（II）过F的直线与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线与C相较于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求的方程.

解：

（I）设，代入，得．由题设得，解得（舍去）或，∴C的方程为；（II）由题设知与坐标轴不垂直，故可设的方程为，代入得．设则

．故的中点为．又的斜率为的方程为．将上式代入，并整理得．设则．故的中点为．

由于垂直平分线，故四点在同一圆上等价于，从而即，化简得，解得或．所求直线的方程为或．

8.（山东卷）10.已知,椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为

（A）（B）（C）（D）

答案：

A

9（山东卷）21.（本小题满分14分）

已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有|，学科网当点的横坐标为3时，为正三角形。

（I）求的方程；

（II）若直线，且和有且只有一个公共点，

（i）证明直线过定点，并求出定点坐标；

（ii）的面积是否存在最小值？

若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。

10．（江苏卷）17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，分别是椭圆的左、右焦点，顶点B的坐标为，连结并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结．

（1）若点C的坐标为，且，求椭圆的方程；

（2）若，求椭圆离心率e的值．

【答案】本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运

算求解能力.满分14分.

（1）∵，∴

∵，∴，∴

∴椭圆方程为

（2）设焦点

∵关于x轴对称，∴

∵三点共线，∴，即①

∵，∴，即②

①②联立方程组，解得∴

∵C在椭圆上，∴，

化简得，∴,故离心率为

11.（安徽卷）14．设分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若轴，则椭圆的方程为__________。

答案：

，

解析：

由题意得通径，∴点B坐标为

将点B坐标带入椭圆方程得，又，解得

∴椭圆方程为。

12.（安徽卷）19．（本小题满分13分）如图，已知两条抛物线和，

过原点的两条直线和，与分别交于两点，与分别交于两点。

（Ⅰ）证明：

（Ⅱ）过原点作直线（异于，）与分别交于两点。

记与的面积分别为与,求的值。

（Ⅰ）证：

设直线的方程分别为，则

由得；由得

同理可得，

所以

故，所以。

（Ⅱ）解：

由（Ⅰ）知，同理可得，

所以，因此

又由（Ⅰ）中的知，故。

13.（浙江卷）16设直线与双曲线（）两条渐近线分别交于点，若点满足,则该双曲线的离心率是__________

14（浙江卷）21．（本题满分15分）如图，设椭圆动直线与椭圆只有一个公共点，且点在第一象限.

（１）已知直线的斜率为，用表示点的坐标；

（２）若过原点的直线与垂直，证明：

点到直线的距离的最大值为.

21.本题主要考查椭圆的几何性质、点到直线距离、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法、基本不等式应用等综合解题能力。

满分15分。

（I）设直线的方程为，由，消去得，，

由于直线与椭圆只有一个公共点，故，即，

解得点的坐标为，

由点在第一象限，故点的坐标为；

（II）由于直线过原点，且与垂直，故直线的方程为，所以点到直线的距离，

整理得，

因为，所以，

当且仅当时等号成立，

所以点到直线的距离的最大值为.

15.（北京卷）11设双曲线经过点，且与具有相同渐近线，则的方程为________；渐近线方程为________.，

16.（北京卷）（本小题14分）19.已知椭圆，

（1）求椭圆的离心率.

（2）设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，求直线与圆的位置关系，并证明学科网你的结论.

解：

（I）由题意，椭圆C的标准方程为。

所以，从而。

因此。

故椭圆C的离心率。

（Ⅱ）直线AB与圆相切。

证明如下：

设点A,B的坐标分别为，，其中。

因为，所以，即，解得。

当时，，代入椭圆C的方程，得，

故直线AB的方程为。

圆心O到直线AB的距离。

此时直线AB与圆相切。

当时，直线AB的方程为，

即，

圆心0到直线AB的距离

又，故

此时直线AB与圆相切。

17.（天津卷）（5）已知双曲线的一条渐近线平行于直线：

，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（　　）A

（A）　　（B）

（C）　　（D）

18.（天津卷）（18）（本小题满分13分）

设椭圆（）的左、右焦点为，右顶点为，上顶点为.已知.

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设为椭圆上异于其顶点的一点，以线段为直径的圆经过点，经过原点的直线与该圆相切.求直线的斜率.

（Ⅰ）解：

设椭圆的右焦点的坐标为.由，可得，又，则.

所以，椭圆的离心率.

，所以，解得，.

（Ⅱ）解：

由（Ⅰ）知，.故椭圆方程为.

设.由，，有，.

由已知，有，即.又，故有

.①

又因为点在椭圆上，故

.②

由①和②可得.而点不是椭圆的顶点，故，代入①得，即点的坐标为.

设圆的圆心为，则，，进而圆的半径.

设直线的斜率为，依题意，直线的方程为.学科网

由与圆相切，可得，即，

整理得，解得.

所以，直线的斜率为或.

19（福建卷）9.设分别为和椭圆上的点，则两点间的最大距离是（）D

A.B.C.D.

20.（福建卷）19.（本小题满分13分）

已知双曲线的两条渐近线分别为.

（1）学科网求双曲线的离心率；

（2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，

四象限），且的面积恒为8，试探究：

是否存在总与直线有且只有一个公

共点的双曲线？

若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由。

解法一：

（1）因为双曲线E的渐近线分别为和.

所以,

从而双曲线E的离心率.

（2）由

（1）知,双曲线E的方程为.

设直线与x轴相交于点C.

当轴时,若直线与双曲线E有且只有一个公共点,

则,

又因为的面积为8,

所以.

此时双曲线E的方程为.

若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为.

以下证明:

当直线不与x轴垂直时，双曲线E：

也满足条件.

设直线的方程为,依题意,得k>2或k<-2.

则，记.

由,得,同理得.由得,即.

由得,.因为,

所以,

又因为.所以,即与双曲线E有且只有一个公共点.

因此,存在总与有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为.

21.（辽宁卷）10.已知点在抛物线C：

的准线上，学科网过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）D

A．B．C．D．

22.（辽宁卷）15.已知椭圆C：

，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则.12

23.（辽宁卷）20.（本小题满分12分）圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线过点P且离心率为.

（1）求的方程；

（2）椭圆过点P且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆心过点P，求的方程.

（Ⅰ）设切点坐标为，则切线斜率为，切线方程为，即，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为.由知当且仅当时有最大值，即S有最小值，因此点P得坐标为，

由题意知

解得，故方程为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知的焦点坐标为，由此的方程为，其中.

由在上，得，

解得b12=3，因此C2方程为

显然，l不是直线y=0.设l的方程为x=my+，点

由得，又是方程的根，因此，由得

因由题意知，所以，将①，②，③，④代入⑤式整理得，解得或，因此直线l的方程为，或.

24．（陕西卷）20（本小题满分13分）

如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，的公共点为，其中的离心率为.

（1）求的值；

（2）过点的直线与分别交于（均异于点），若，求直线的方程.

解：

（1）在，方程中，令，可得b=1,且得是上半椭圆的左右顶点，

设的半焦距为，由及，解得

所以，

（1）由

（1）知，上半椭圆的方程为，

易知，直线与轴不重合也不垂直，设其方程为

代入的方程中，整理得：

（*）

设点的坐标

由韦达定理得

又，得，从而求得

所以点的坐标为

同理，由得点的坐标为

，

即

，，解得

经检验，符合题意，

故直线的方程为

25.（湖南卷）15．如图4，正方形的边长分别为，原点为的中点，抛物线经过

26.（湖南卷）21．（本小题满分13分）

如图7，为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，离心率为；双曲线的左、右焦点分别为，离心率为．已知且

（3）求的方程；

（4）过作的不垂直于轴的弦的中点．当直线与交于两点时，求四边形面积的最小值．

解（I）因为，所以，即，因此，从而，于是，所以，。

故的方程分别为，.

（Ⅱ）因AB不垂直于y轴，且过点,故可设直线AB的方程为

.

由得

易知此方程的判别式大于0.设，则是上述方程的两个实根，所以

因此，于是AB的中点为，故直线PQ的斜率为，PQ的方程为，即。

由得，所以，且，，从而。

设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，所以

。

因为点A、B在直线的异侧，所以，于是，

从而

又因为，所以

。

故四边形APBQ的面积

.

而，故当时，S取得最小值2.

综上所述，四边形APBQ面积的最小值为2.

27.（江西卷）15.过点作斜率为的直线与椭圆：

相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为

28.（江西卷）20（本小题满分13分）如图，已知双曲线的右焦点,点分别在的两条渐近线上，轴，∥（为坐标原点）.

（1）求双曲线的方程；

（2）过上一点的直线与直线相交于点，与直线相交于点，证明点在上移动时，恒为定值，并求此定值

（1）设，因为，所以

直线OB方程为，直线BF的方程为，解得

又直线OA的方程为，则

又因为ABOB，所以，解得，故双曲线C的方程为

（2）由

（1）知，则直线的方程为，即

因为直线AF的方程为，所以直线与AF的交点

直线与直线的交点为

则

因为是C上一点，则，代入上式得

，所求定值为

29.（湖北卷）9.已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A

A.B.C.3D.2

30.（湖北卷）21（满分14分）在平面直角坐标系中，点M到点的距离比它到轴的距离多1，记点M的轨迹为C.

（1）求轨迹为C的方程

（2）设斜率为k的直线过定点，求直线与轨迹C恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k的相应取值范围。

解：

（I）设点，依题意，，即，

整理的，

所以点的轨迹的方程为.

（II）在点的轨迹中，记，，

依题意，设直线的方程为，

由方程组得①

当时，此时，把代入轨迹的方程得，

所以此时直线与轨迹恰有一个公共点.

当时，方程①的判别式为②

设直线与轴的交点为，则由，令，得③

（i）若，由②③解得或.

即当时，直线与没有公共点，与有一个公共点，

故此时直线与轨迹恰有一个公共点.

（ii）若或，由②③解得或，

即当时，直线与有一个共点，与有一个公共点.

当时，直线与有两个共点，与没有公共点.

故当时，故此时直线与轨迹恰有两个公共点.

（iii）若，由②③解得或，

即当时，直线与有两个共点，与有一个公共点.

故此时直线与轨迹恰有三个公共点.

综上所述，当时直线与轨迹恰有一个公共点；

当时，故此时直线与轨迹恰有两个公共点；

当时，故此时直线与轨迹恰有三个公共点.

31.（四川卷）10．已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是

A．B．C．D．

【答案】B

32.（四川卷）20．已知椭圆C：

（）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形。

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q。

（i）证明：

OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；

（ii）当最小时，求点T的坐标。

解：

（1）依条件

所以椭圆C的标准方程为

（2）设，，，又设中点为

（i）因为，所以直线的方程为：

所以

于是，

所以。

因为

所以，，三点共线

即OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）

（ii），

所以，令（）

则（当且仅当时取“”）

所以当最小时，即或，此时点T的坐标为或

33.（重庆卷）8.设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为（）B

A.B.C.D.3

34.（重庆卷）21.如题（21）图，设椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，，，的面积为.

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径..

解：

（Ⅰ）设，其中，

由得

从而故.

从而，由得，因此.

所以，故

因此，所求椭圆的标准方程为：

（Ⅱ）如答（21）图，设圆心在轴上的圆与椭圆相交，是两个交点，，,是圆的切线，且由圆和椭圆的对称性，易知，，

由（Ⅰ）知，所以，再由得，由椭圆方程得，即，

解得或.

当时，重合，此时题设要求的圆不存在.

当时，过分别与,垂直的直线的交点即为圆心.

由,是圆的切线，且，知，又故圆的半径

34.（广东卷）4．若实数k满足，则曲线与曲线的

A.焦距相等B.实半轴长相等 C.虚半轴长相等 D.离心率相等

答案：

A

35.（广东卷）20．（本小题满分14分）已知椭圆的一个焦点为，离心率为，

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若动点为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程。

20.解：

（１）可知，又，，，

椭圆C的标准方程为；

（２）设两切线为，

①当轴或轴时，对应轴或轴，可知

②当与轴不垂直且不平行时，，设的斜率为，则，的斜率为，

的方程为，联立，

得，

因为直线与椭圆相切，学科网所以，得，

，

所以是方程的一个根，

同理是方程的另一个根，

，得，其中，

所以点P的轨迹方程为（），

因为满足上式，综上知：

点P的轨迹方程为．

14