11-2复数的概念与运算.doc

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11-2复数的概念与运算

基础巩固强化

1.（2011·安徽皖南八校联考）复数z满足z＝，则等于（　　）

A．1＋3i　　　　　　　 B．3－i

C.－i D.＋i

[答案]　C

[解析]　∵z＝＝＝，

∴＝－i，故选C.

2．（2012·哈三中二模）已知复数z＝，则复平面内表示复数z的点位于（　　）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

[答案]　B

[解析]　z＝＝＝，对应点为（－，）．

3．（文）（2013·武汉市部分学校12月联考）投掷两颗骰子，其向上的点数分别为m和n，则复数（m＋ni）2为纯虚数的概率为（　　）

A.　　　B.　　　C.　　　D.

[答案]　C

[解析]　∵（m＋ni）2＝m2－n2＋2mni为纯虚数，

∴m2－n2＝0，∴m＝n，

（m，n）的所有可能取法有6×6＝36种，其中满足m＝n的取法有6种，

∴所求概率P＝＝.

（理）（2012·陕西理，3）设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的（　　）

A．充分不必要条件　　　　B．必要不充分条件

C．充分必要条件　　　　　D．既不充分也不必要条件

[答案]　B

[解析]　由ab＝0知a＝0或b＝0，当a＝0时，若b≠0，则复数a＋为纯虚数，否则a＋为实数，反之若a＋为纯虚数，则b≠0且a＝0，则ab＝0，故“ab＝0”是“a＋为纯虚数”的必要不充分条件．

4．（2012·东北三校模拟）已知z＝1－i（i是虚数单位），则＋z2＝（　　）

A．2　　　　B．2i　　　　C．2＋4i　　D．2－4i

[答案]　A

[解析]　∵z＝1－i，

∴＋z2＝＋（1－i）2＝－2i＝2.

5．（2012·洛阳市示范高中联考）已知＝2－i（是z的共轭复数），则复数z在复平面内对应的点位于（　　）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

[答案]　D

[解析]　∵＝（1＋2i）（2－i）＝2＋4i－i＋2＝4＋3i，∴z＝4－3i在复平面内对应点（4，－3）位于第四象限．

6．（2011·温州八校期末）若i为虚数单位，已知a＋bi＝（a，b∈R），则点（a，b）与圆x2＋y2＝2的关系为（　　）

A．在圆外 B．在圆上

C．在圆内 D．不能确定

[答案]　A

[解析]　∵a＋bi＝＝

＝＋i（a，b∈R），

∴，

∵2＋2＝>2，

∴点P在圆x2＋y2＝2外，故选A.

7．（2011·无为中学月考）已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别为A、B、C.若＝x＋y，则x＋y的值是________．

[答案]　5

[解析]　∵＝x＋y，

∴（3－2i）＝x（－1＋2i）＋y（1－i），

∴，解得，故x＋y＝5.

8．设i为虚数单位，复数z＝（3＋4i）（cosθ＋isinθ），若z∈R，θ≠kπ＋，则tanθ的值为________．

[答案]　－

[解析]　∵z＝（3＋4i）（cosθ＋isinθ）＝（3cosθ－4sinθ）＋（4cosθ＋3sinθ）i∈R，∴4cosθ＋3sinθ＝0，

∵θ≠kπ＋，∴cosθ≠0，∴tanθ＝－.

9．一个正四面体玩具，它的四个面上标有数字－1,0,1,2，连续抛掷两次，记第一次向下的面上数字为a，第二次向下的面上数字为b，设复数z＝a＋bi，则z的对应点在第二象限的概率为________．

[答案]　

[解析]　若z＝a＋bi的对应点在第二象限，则a<0，b>0，这样的点有2个，即（－1,1），（－1,2），∴所求概率为P＝＝.

10．已知复数z＝＋（a2－5a＋6）i（a∈R）．试求实数a分别为什么值时，z分别为：

（1）实数；　

（2）虚数；　（3）纯虚数．

[解析]　

（1）当z为实数时，∴a＝3，

∴当a＝3时，z为实数．

（2）当z为虚数时，∴a≠2且a≠3，

故当a∈R，a≠2且a≠3时，z为虚数．

（3）当z为纯虚数时，

∴a＝5，故a＝5时，z为纯虚数.

能力拓展提升

11.（文）（2011·东北四市统考）已知复数z1＝cos23°＋isin23°和复数z2＝cos37°＋isin37°，则z1·z2为（　　）

A.＋i B.＋i

C.－i D.－i

[答案]　A

[解析]　z1·z2＝cos23°cos37°－sin23°sin37°＋（sin37°cos23°＋cos37°sin23°）i＝cos60°＋i·sin60°＝＋i，故选A.

（理）若z＝cosθ＋isinθ（i为虚数单位），则使z2＝－1的θ值可能是（　　）

A. B.

C. D.

[答案]　D

[解析]　∵z2＝cos2θ＋isin2θ＝－1，∴.

∴2θ＝2kπ＋π　（k∈Z），

∴θ＝kπ＋.令k＝0知，D正确．

12．如果复数（m2＋i）（1＋mi）是实数，则实数m等于（　　）

A．1 B．－1

C. D．－

[答案]　B

[解析]　∵（m2＋i）（1＋mi）＝（m2－m）＋（m3＋1）i是实数，m∈R，

∴由a＋bi（a、b∈R）是实数的充要条件是b＝0，

得m3＋1＝0，即m＝－1.

13．（2011·南通调研）若复数z满足z＋i＝，则|z|＝________.

[答案]　

[解析]　∵z＝－i＝－3i＋1－i＝1－4i，

∴|z|＝.

14．在复平面内，z＝cos10＋isin10的对应点在第______象限．

[答案]　三

[解析]　∵3π<10<，∴cos10<0，sin10<0，

∴z的对应点在第三象限．

15．（文）设复数z＝lg（m2－2m－2）＋（m2＋3m＋2）i，当实数m取何值时．

（1）z是纯虚数．

（2）z是实数．

（3）z对应的点位于复平面的第二象限．

[解析]　

（1）由题意知

解得m＝3.所以当m＝3时，z是纯虚数．

（2）由m2＋3m＋2＝0，得m＝－1或m＝－2，

又m＝－1或m＝－2时，m2－2m－2>0，

所以当m＝－1或m＝－2时，z是实数．

（3）由

解得：

－1

（理）设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1<ω<2.

（1）求z的实部的取值范围；

（2）设u＝，那么u是不是纯虚数？

并说明理由．

[解析]　

（1）设z＝a＋bi（a、b∈R，b≠0），

ω＝a＋bi＋＝＋i，

∵ω是实数，∴b－＝0.

又b≠0，∴a2＋b2＝1，ω＝2a.

∵－1<ω<2，∴－

即z的实部的取值范围是.

（2）u＝＝＝＝－i，

∵－

16．将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b.

（1）设复数z＝a＋bi（i为虚数单位），求事件“z－3i为实数”的概率；

（2）求点P（a，b）落在不等式组表示的平面区域内（含边界）的概率．

[解析]　

（1）z＝a＋bi（i为虚数单位），z－3i为实数，则a＋bi－3i＝a＋（b－3）i为实数，则b＝3.

依题意得b的可能取值为1,2,3,4,5,6，故b＝3的概率为.

即事件“z－3i为实数”的概率为.

（2）连续抛掷两次骰子所得结果如下表：

1

2

3

4

5

6

1

（1,1）

（1,2）

（1,3）

（1,4）

（1,5）

（1,6）

2

（2,1）

（2,2）

（2,3）

（2,4）

（2,5）

（2,6）

3

（3,1）

（3,2）

（3,3）

（3,4）

（3,5）

（3,6）

4

（4,1）

（4,2）

（4,3）

（4,4）

（4,5）

（4,6）

5

（5,1）

（5,2）

（5,3）

（5,4）

（5,5）

（5,6）

6

（6,1）

（6,2）

（6,3）

（6,4）

（6,5）

（6,6）

由上表知，连续抛掷两次骰子共有36种不同的结果．

不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示（含边界）．

由图知，点P（a，b）落在四边形ABCD内的结果有：

（1,1）、（1,2）、（1,3）、（2,1）、（2,2）、（2,3）、（2,4）、（3,1）、（3,2）、（3,3）、（3,4）、（3,5）、（4,1）、（4,2）、（4,3）、（4,4）、（4,5）、（4,6），共18种．

所以点P（a，b）落在四边形ABCD内（含边界）的概率为P＝＝.

1．（2011·罗源一中月考）已知复数z1＝cosα＋isinα，z2＝sinβ＋icosβ，（α，β∈R），复数z＝z1·2的对应点在第二象限，则角α＋β所在象限为（　　）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

[答案]　C

[解析]　∵z＝（cosα＋isinα）·（sinβ－icosβ）＝sin（α＋β）－icos（α＋β）的对应点在第二象限，

∴，∴角α＋β的终边在第三象限．

2．已知复数a＝3＋2i，b＝4＋xi（其中i为虚数单位，x∈R），若复数∈R，则实数x的值为（　　）

A．－6 B．6

C. D．－

[答案]　C

[解析]　＝＝＝＋·i∈R，∴＝0，∴x＝.

3．若复数（a∈R）是纯虚数（i是虚数单位），则a的值为（　　）

A．－2 B．－1

C．1 D．2

[答案]　D

[解析]　＝＝为纯虚数，∴，∴a＝2.

4．若i是虚数单位，则满足（p＋qi）2＝q＋pi的实数p、q一共有（　　）

A．1对 B．2对

C．3对 D．4对

[答案]　D

[解析]　由（p＋qi）2＝q＋pi得（p2－q2）＋2pqi＝q＋pi，所以解得，或，

或或因此满足条件的实数p、q一共有4对．

5．（2012·昆明第一中学检测）已知复数z＝，是z的共轭复数，则||为（　　）

A. B.

C. D．5

[答案]　C

[解析]　∵z＝＝＝＝－1＋2i，∴＝－1－2i，∴||＝.

6．（2012·山西联考）设复数z的共轭复数为，若z＝1－i（i为虚数单位），则＋z2的值为（　　）

A．－3i B．－2i

C．i D．－i

[答案]　D

[解析]　依题意得＋z2＝＋（1－i）2＝－2i＝i－2i＝－i，选D.

7．关于x的不等式mx2－nx＋p>0（m，n，p∈R）的解集为区间（－，2），则复数m＋ni所对应的点位于复平面内的第________象限．

[答案]　三

[解析]　∵mx2－nx＋p>0（m、n、p∈R）的解集为（－，2），

∴∵m<0，∴p>0，n<0.

故复数m＋ni所对应的点位于复平面内的第三象限．

8．（2011·上海文，19）已知复数z1满足（z1－2）（1＋i）＝1－i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.

[解析]　设z1＝（a＋2）＋bi，a，b∈R，

∵（z1－2）（1＋i）＝1－i，∴a－b＋（b＋a）i＝1－i.

∴∴∴z1＝2－i.

又设z2＝c＋2i，c∈R，则z1z2＝（2－i）（c＋2i）＝（2c＋2）＋（4－c）i，

∵z1z2∈R，∴4－c＝0，c＝4，∴z2＝4＋2i.