北京市丰台区高三一模数学文科试卷及答案.doc
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丰台区2013年高三年级第二学期统一练习
（一）
数学（文科）
一、选择题
1.复数z=在复平面内对应的点位于
（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限
2.若集合A=,B={-2,-1,0,1,2},则集合（）等于
（A）{-2,-1}（B）{-2,-1,0,1,2}
（C）{-2,-1,2}（D）
结束
否
是
开始
输出k
3.设为等比数列的前项和，，则（）
（A）2（B）3（C）4（D）5
4.执行右边的程序框图所得的结果是
（A）3（B）4（C）5（D）6
5.已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，则该椭圆的离心率是
（A）（B）（C）（D）
6.已知命题p:
命题q:
则下列命题为真命题的是
（A）（B）
（C）（D）
7．某四面体三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是
（A）2（B）4（C）（D）
8.如果函数y=f（x）图像上任意一点的坐标（x,y）都满足方程，那么正确的选项是
（A）y=f（x）是区间（0，）上的减函数，且x+y
（B）y=f（x）是区间（1，）上的增函数，且x+y
（C）y=f（x）是区间（1，）上的减函数，且x+y
（D）y=f（x）是区间（1，）上的减函数，且x+y
二．填空题
9.若，则=。
10.某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：
[40,50），[50,60），…，[90,100]后得到频率分布直方图（如图所示）．则分数在[70,80）内的人数是________
11.直线x-y+2=0被圆截得的弦长为_________。
12．已知变量满足约束条件，则的最大值为________。
13．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=1，BC=2，E是CD的中点，则.
14.已知实数若方程有且仅有两个不等实根，且较大实根大于2，则实数的取值范围是。
三．解答题
15.已知函数
（Ⅰ）求的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）求函数在上的值域.
16．如图，四棱锥P-ABCD中，BC∥AD，BC=1，AD=3，AC⊥CD,且平面PCD⊥平面ABCD.
（Ⅰ）求证：
AC⊥PD；
（Ⅱ）在线段PA上,是否存在点E，使BE∥平面PCD？
若存在，求的值；若不存在，请说明理由。
17．在一次抽奖活动中，有a、b、c、d、e、f共6人获得抽奖的机会。
抽奖规则如下：
主办方先从6人中随机抽取两人均获一等奖，再从余下的4人中随机抽取1人获二等奖，最后还从这4人中随机抽取1人获三等奖。
（Ⅰ）求a能获一等奖的概率；
（Ⅱ）若a、b已获一等奖，求c能获奖的概率。
18.已知函数，.
（1）设函数，且求a,b的值；
（2）当a=2且b=4时，求函数的单调区间，并求该函数在区间（-2，m]（）上的最大值。
19．已知椭圆C：
（）的右焦点为F（2,0），且过点P（2，）.直线过点F且交椭圆C于A、B两点。
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若线段AB的垂直平分线与x轴的交点为M（），求直线的方程.
20．
设满足以下两个条件的有穷数列为n（n=2,3,4,…,）阶“期待数列”：
①；
②.
（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；
（Ⅱ）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；
（Ⅲ）记n阶“期待数列”的前k项和为，试证：
.
丰台区2013年高三年级第二学期统一练习
（一）
数学（文科）参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
B
A
D
B
C
C
二．填空题
9.；10.30；11.；12．2；13．-1；14..
三．解答题
15.（本题13分）已知函数
（Ⅰ）求的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）求函数在上的值域.
解：
（Ⅰ），…………………………………3分
最小正周期T=,……………..………………………………………………………………4分
单调增区间，………………………………………………………7分
（Ⅱ），，……………………………10分
在上的值域是.……………………………………………………13分
16．（本题13分）如图，四棱锥P-ABCD中，BC∥AD，BC=1，AD=3，AC⊥CD,且平面PCD⊥平面ABCD.
（Ⅰ）求证：
AC⊥PD；
（Ⅱ）在线段PA上,是否存在点E，使BE∥平面PCD？
若存在，求的值；若不存在，请说明理由。
解：
（Ⅰ）∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD,AC⊥CD,AC⊂平面ABCD,
∴AC⊥平面PCD,...........................4分
∵PD⊂平面PCD,
∴AC⊥PD..................................6分
（Ⅱ）线段PA上,存在点E，使BE∥平面PCD,......7分
∵AD=3，
∴在△PAD中，存在EF//AD（E,F分别在AP,PD上），且使EF=1,
又∵BC∥AD，∴BC∥EF，且BC=EF,
∴四边形BCFE是平行四边形,...................................................9分
∴BE//CF,，
∴BE∥平面PCD,..............................................................11分
∵EF=1，AD=3，
∴...............................................................13分
17．（本题13分）在一次抽奖活动中，有a、b、c、d、e、f共6人获得抽奖的机会。
抽奖规则如下：
主办方先从6人中随机抽取两人均获一等奖，再从余下的4人中随机抽取1人获二等奖，最后还从这4人中随机抽取1人获三等奖。
（Ⅰ）求a能获一等奖的概率；
（Ⅱ）若a、b已获一等奖，求c能获奖的概率。
解：
（Ⅰ）设“a能获一等奖”为事件A,
事件A等价于事件“从6人中随机取抽两人，能抽到a”.从6人中随机抽取两人的基本事件有（a、b）、（a、c）、（a、d）、（a、e）、（a、f）、（b、c）、（b、d）、（b、e）、（b、f）、（c、d）、（c、e）、（c、f）、（d、e）、（d、f）、（e、f）15个，………………………………………………………4分
包含a的有5个，所以，P（A）=,
答：
a能获一等奖的概率为.…………………………………………………………6分
（Ⅱ）设“若a、b已获一等奖，c能获奖”为事件B,
a、b已获一等奖，余下的四个人中，获奖的基本事件有（c，c）、（c、d）、（c、e）、（c、f）、（d，c）、（d、d）、（d、e）、（d、f）、（e，c）、（e、d）、（e、e）、（e、f）、（f，c）、（f、d）、（f、e）、（f、f）16个,…………………………………………………………………………………………11分
其中含有c的有7种，所以，P（B）=,
答:
若a、b已获一等奖，c能获奖的概率为.…………………………………………………13分
18.（本题14分）已知函数，.
（1）设函数，且求a,b的值；
（2）当a=2且b=4时，求函数的单调区间，并讨论该函数在区间（-2，m]（）上的最大值。
解：
（Ⅰ）函数h（x）定义域为{x|x≠-a}，……………………………………………………………1分
则，………………………………………………………3分
因为所以解得，或……………………6分
（Ⅱ）记（x）=，则（x）=（x+a）（bx2+3x）（x≠-a）,
因为a=2，b=4，所以（x≠-2）,………………………………………7分
令，得，或,……………………………………………………………8分
当，或时，，当时，，
函数的单调递增区间为，
单调递减区间为,…………………………………………………………………………10分
①当-2其最大值为（m）=，………………………………………………………12分
②当≤m≤时，（x）在（-2，）上单调递增，在（，-）上单调递减，在（，m）上单调递增，而（）=（）=，
（x）的最大值为.……………………………………………………………………………14分
19．（本题13分）已知椭圆C：
（）的右焦点为F（2,0），且过点（2，）.直线过点F且交椭圆C于A、B两点。
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若线段AB的垂直平分线与x轴的交点为M（），求直线的方程.
解：
（Ⅰ）设椭圆C的方程为，则
，解得，，所以椭圆C的方程为，………………….5分
（Ⅱ）当斜率不存在时,不符合题意,………………………………………………………………6分
当斜率存在时设直线l的方程为y=k（x-2），A（x1,y1）、B（x2,y2），AB的中点为N（x0,y0）,
由得,………………………………………7分
因为，X|k|B|1.c|O|m
所以，………………………………………………………………………………8分
所以，,…………………………………………9分
因为线段AB的垂直平分线过点M（），
所以，即，所以，
解得，,……………………………………………………………………………………12分
所以直线l的方程为或…………………………………………13分
20．（本题14分）设满足以下两个条件的有穷数列为n（n=2,3,4,…,）阶“期待数列”：
③；
④.
（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；
（Ⅱ）若某个2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；
（Ⅲ）记n阶“期待数列”的前k项和为，试证：
.
解：
（Ⅰ）数列为三阶期待数列…………………………………………………………1分
数列为四阶期待数列,………………………………………3分（其它答案酌情给分）
（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为，
因为，，
即，,……………………………………………………………………5分
当d=0时,与期待数列的条件①②矛盾，
当d>0时，据期待数列的条件①②可得
………………………………………………6分
该数列的通项公式为，…7分
当d<0时，同理可得.…………………………………8分
（Ⅲ）当k=n时，显然成立；…………………………………………………………9分
当k，…………………………………10分
即，……………………………………11分
………………………………………………………………………14分
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