北京市朝阳区高三第二次综合练习数学理科.doc
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北京市朝阳区高三年级第二次综合练习
数学学科测试(理工类)
2013.5
(考试时间120分钟满分150分)
本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分
第一部分(选择题共40分)
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
(1)已知集合,集合,则=
A.B.C.D.
(2)若,则实数的值为
A.B.C.D.
(3)执行如图所示的程序框图.若输出的结果是,则判断框内的条件是
A.?
B.?
C.?
D.?
否
开始
S=0
n=1
S=S+n
输出S
结束
是
n=n+2
1
侧视图
正视图
1
1
俯视图
(第3题图)(第5题图)
(第3题图)
(4)若双曲线的渐近线与抛物线有公共点,则此双曲线的离心率的取值范围是
A.B.C.D.
(5)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为
A. B.C. D.
(6)某岗位安排3名职工从周一到周五值班,每天只安排一名职工值班,每人至少安排一天,至多
安排两天,且这两天必须相邻,那么不同的安排方法有
A.种 B.种 C.种 D.种
(7)已知函数,定义函数给出下列命题:
①;②函数是奇函数;③当时,若,,总有成立,其中所有正确命题的序号是
A.② B.①② C.③ D.②③
(8)点是棱长为1的正方体的底面上一点,则的取值范围是
A.B.C.D.
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡上.
(9)为虚数单位,计算 .
(10)若直线与圆(为参数)相交于,两点,
且弦的中点坐标是,则直线的倾斜角为.
(11)如图,切圆于点,割线经过圆心,,
则,△的面积是.
(12)某公司一年购买某种货物吨,每次都购买吨,运费为万元/次,一年的总存储费用为
万元,若要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则每次需购买吨.
(13将一个质点随机投放在关于的不等式组所构成的三角形区域内,则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于的概率是 .
(14)数列的前项组成集合,从集合中任取个数,其所有可能的个数的乘积的和为(若只取一个数,规定乘积为此数本身),记.例如当时,,,;当时,,,,.则当时, ;试写出 .
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
(15)(本小题满分13分)
在△中,所对的边分别为,且.
(Ⅰ)求函数的最大值;
(Ⅱ)若,求b的值.
(16)(本小题满分14分)
A
D
B
C
P
E
F
G
H
如图,四边形是正方形,平面,,,,,分别为,,的中点.
(Ⅰ)求证:
平面;
(Ⅱ)求平面与平面所成锐二面角的大小;
(Ⅲ)在线段上是否存在一点,使直线与直线
所成的角为?
若存在,求出线段的长;若
不存在,请说明理由.
(17)(本小题满分13分)
为提高学生学习数学的兴趣,某地区举办了小学生“数独比赛”.比赛成绩共有90分,70分,60分,40分,30分五种,按本次比赛成绩共分五个等级.从参加比赛的学生中随机抽取了30名学生,并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计,得到如下数据表:
成绩等级
A
B
C
D
E
成绩(分)
90
70
60
40
30
人数(名)
4
6
10
7
3
(Ⅰ)根据上面的统计数据,试估计从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人,其成绩等级为“或”的概率;
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的结论,若从该地区参加“数独比赛”的小学生(参赛人数很多)中任选3人,记表示抽到成绩等级为“或”的学生人数,求的分布列及其数学期望;
(Ⅲ)从这30名学生中,随机选取2人,求“这两个人的成绩之差大于分”的概率.
(18)(本小题满分13分)
已知函数(),.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)当时,若对任意,恒成立,求的取值范围.
(19)(本小题满分14分)
已知椭圆的右焦点为,短轴的端点分别为,且.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点且斜率为的直线交椭圆于两点,弦的垂直平分线与轴相交于
点.设弦的中点为,试求的取值范围.
(20)(本小题满分13分)
已知实数()满足,记.
(Ⅰ)求及的值;
(Ⅱ)当时,求的最小值;
(Ⅲ)求的最小值.
注:
表示中任意两个数,()的乘积之和.
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习
数学学科测试答案(理工类)
2013.5
一、选择题:
题号
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
答案
D
B
C
A
A
C
D
D
二、填空题:
题号
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
答案
(注:
两空的填空,第一空3分,第二空2分)
三、解答题:
(15)(本小题满分13分)
解:
(Ⅰ)因为
.
因为为三角形的内角,所以,
所以.
所以当,即时,取得最大值,且最大值为.………6分
(Ⅱ)由题意知,所以.
又因为,所以,所以.
又因为,所以.
由正弦定理得,.…………13分
(16)(本小题满分14分)
(Ⅰ)证明:
因为,分别为,的中点,
所以.
又平面,平面,
所以平面.…………4分
(Ⅱ)因为平面,,
A
D
B
C
P
E
F
G
H
z
y
x
所以平面,
所以,.
又因为四边形是正方形,
所以.
如图,建立空间直角坐标系,
因为,
所以,,,
,,.
…………5分
因为,,分别为,,的中点,
所以,,.所以,.
设为平面的一个法向量,则,即,
再令,得.,.
设为平面的一个法向量,则,
即,令,得.
所以==.
所以平面与平面所成锐二面角的大小为.…………9分
(Ⅲ)假设在线段上存在一点,使直线与直线所成角为.
依题意可设,其中.
由,则.
又因为,,所以.
因为直线与直线所成角为,,
所以=,即,解得.
所以,.
所以在线段上存在一点,使直线与直线所成角为,此时.
………………………………………14分
(17)(本小题满分13分)
解:
(Ⅰ)根据统计数据可知,从这30名学生中任选一人,分数等级为“或”的频率为.
从本地区小学生中任意抽取一人,其“数独比赛”分数等级为“或”的概率约为.……………………………………………………………………………………3分
(Ⅱ)由已知得,随机变量的可能取值为0,1,2,3.
所以;
;
;
.
随机变量的分布列为
0
1
2
3
所以.……………9分
(Ⅲ)设事件M:
从这30名学生中,随机选取2人,这两个人的成绩之差大于分.
设从这30名学生中,随机选取2人,记其比赛成绩分别为.
显然基本事件的总数为.
不妨设,
当时,或或,其基本事件数为;
当时,或,其基本事件数为;
当时,,其基本事件数为;
所以.
所以从这30名学生中,随机选取2人,这两个人的成绩之差大于分的概率为.……………13分
(18)(本小题满分13分)
解:
(Ⅰ)函数的定义域为,.…………1分
①当时,当变化时,,的变化情况如下表:
所以,函数的单调递增区间是,单调递减区间是,.
…………3分
②当时,当变化时,,的变化情况如下表:
所以,函数的单调递增区间是,,单调递减区间是.
……………5分
(Ⅱ)依题意,“当时,对于任意,恒成立”等价于“当时,对于任意,成立”.
当时,由(Ⅰ)知,函数在上单调递增,在上单调递减,
因为,,所以函数的最小值为.
所以应满足.……………………………………………………………6分
因为,所以.……………7分
①当时,函数,,,
显然不满足,故不成立.……………8分
②当时,令得,,.
(ⅰ)当,即时,
在上,所以函数在上单调递增,
所以函数.
由得,,所以.……………10分
(ⅱ)当,即时,
在上,在上,
所以函数在上单调递增,在上单调递减,
所以.
由得,,所以.……………11分
(ⅲ)当,即时,显然在上,
函数在上单调递增,且.
显然不成立,故不成立.……………12分
综上所述,的取值范围是.……………13分
(19)(本小题满分14分)
解:
(Ⅰ)依题意不妨设,,则,.
由,得.又因为,
解得.
所以椭圆的方程为.……………4分
(Ⅱ)依题直线的方程为.
由得.
设,,则,.…………6分
所以弦的中点为.……………7分
所以
.……………9分
直线的方程为,
由,得,则,
所以.…………11分
所以.……………12分
又因为,所以.
所以.
所以的取值范围是.………………………………………14分
(20)(本小题满分13分)
解:
(Ⅰ)由已知得.
.……………3分
(Ⅱ)设.
当时,.
若固定,仅让变动,此时,
因此.
同理.
.
以此类推,我们可以看出,的最小值必定可在某一组取值的所达到,
于是.
当()时,
.
因为,所以,且当,时,.
因此.……………8分
(Ⅲ)设
.
固定,仅让变动,此时
,
因此.
同理.
.
以此类推,我们可以看出,的最小值必定可在某一组取值的所达到,于是.
当()时,
.
①当为偶数时,,
若取,,则,所以.
②当为奇数时,因为,所以,
若取,,则,
所以.…………………………13分
第13页