江苏高考数学理大一轮复习检测专题二十五 离散型随机变量及其概率分布期望与方差.docx
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江苏高考数学理大一轮复习检测专题二十五离散型随机变量及其概率分布期望与方差
专题二十五 离散型随机变量及其
概率分布、期望与方差
1.（2017·南京期初）甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一次篮,先投中者获胜.投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束.设甲每次投篮命中的概率为,乙每次投篮命中的概率为,且各次投篮互不影响.现由甲先投.
（1）求甲获胜的概率;
（2）求投篮结束时甲的投篮次数X的概率分布与数学期望E（X）.
2.（2018·常州一模）已知正四棱锥P-ABCD的侧棱和底面边长相等,在这个正四棱锥的8条棱中任取两条,按下列方式定义随机变量ξ的值:
若这两条棱所在的直线相交,则ξ的值是这两条棱所在直线的夹角大小（弧度制）;若这两条棱所在的直线平行,则ξ=0;若这两条棱所在的直线异面,则ξ的值是这两条棱所在直线所成角的大小（弧度制）.
（1）求P（ξ=0）的值;
（2）求随机变量ξ的概率分布及数学期望E（ξ）.
3.（2018·镇江一模）某学生参加4门学科的学业水平测试,每门得A等级的概率都是,该学生各学科等级成绩彼此独立.规定:
有一门学科获A等级加1分,有两门学科获A等级加2分,有三门学科获A等级加3分,四门学科全获A等级则加5分.记ξ1表示该生的加分数,ξ2表示该生获A等级的学科门数与未获A等级学科门数的差的绝对值.
（1）求ξ1的数学期望;
（2）求ξ2的概率分布.
4.（2017·苏州调研）口袋里装有大小相同的八张卡片,其中三张标有数字1,三张标有数字2,两张标有数字3.第一次从口袋里任意抽取一张,放回口袋后第二次再任意抽取一张,记第一次与第二次取到卡片上的数字之和为ξ.
（1）ξ为何值时,其发生的概率最大?
请说明理由;
（2）求随机变量ξ的数学期望E（ξ）.
5.（2017·无锡期末）某小区停车场的收费标准为:
每车每次停车时间不超过2h免费,超过2h的部分每小时收费1元（不足1h的部分按1h计算）.现有甲、乙两人独立来停车场停车（各停车一次）,且两人停车时间均不超过5h.设甲、乙两人停车时间（h）与取车概率如下表所示.
停车时间
取车概率
停车人员
（0,2]
（2,3]
（3,4]
（4,5]
甲
x
x
x
乙
y
0
（1）求甲、乙两人所付车费相同的概率;
（2）设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量ξ,求ξ的概率分布和数学期望E（ξ）.
6.（2018·扬州一模）扬州大学数学系有6名大学生要去甲、乙两所中学实习,每名大学生都被随机分配到两所中学的其中一所.
（1）求6名大学生中至少有1名被分配到甲学校实习的概率;
（2）设X,Y分别表示分配到甲、乙两所中学的大学生人数,记ξ=|X-Y|,求随机变量ξ的概率分布和数学期望E（ξ）.
7.（2018·无锡一模）某公司有A,B,C,D四辆汽车,其中A车的车牌尾号为0,B,C两辆车的车牌尾号为6,D车的车牌尾号为5,已知在非限行日,每辆车都有可能出车或不出车.已知A,D两辆汽车每天出车的概率为,B,C两辆汽车每天出车的概率为,且四辆汽车是否出车是相互独立的.该公司所在地区汽车限行规定如下表所示:
汽车车牌尾号
车辆限行日
0和5
星期一
1和6
星期二
2和7
星期三
3和8
星期四
4和9
星期五
（1）求该公司在星期四至少有2辆汽车出车的概率;
（2）设ξ表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和,求ξ的概率分布和数学期望.
8.（2017·宿迁二调）某乐队参加一户外音乐节,准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱.
（1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率;
（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a（a为常数）,演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a,求观众与乐队的互动指数之和X的概率分布及数学期望.
9.（2017·苏州、无锡、常州、镇江三模）已知袋中装有大小相同的2个白球,2个红球和1个黄球.一项游戏规定:
每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分,每一局从袋中一次性取出3个球,将3个球对应的分值相加后称为该局的得分,计算完得分后将球放回袋中.当出现第n局得n分（n∈N*）的情况就算游戏过关,同时游戏结束,若四局过后仍未过关,游戏也结束.
（1）求在一局游戏中得3分的概率;
（2）求游戏结束时局数X的概率分布和数学期望E（X）.
10.（2018·南京联合体调研）甲、乙两人参加某种选拔测试,在备选的10道题中,甲答对其中每道题的概率都是,乙能答对其中的5道题.规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试,答对一题加10分,答错一题（不答视为答错）减5分,至少得15分才能入选.
（1）求甲能入选的概率;
（2）求乙得分的概率分布和数学期望.
11.（2018·南京期初）袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球,每种颜色的小球各有4个,分别编号为1,2,3,4.现从袋中随机取两个球.
（1）若两个球颜色不同,求不同取法的种数;
（2）在
（1）的条件下,记两球编号的差的绝对值为随机变量X,求随机变量X的概率分布与数学期望E（X）.
12.（2017·盐城三模）一只袋中装有编号为1,2,3,…,n的n个小球,n≥4,这些小球除编号以外无任何区别,现从袋中不重复地随机取出4个小球,记取得的4个小球的最大编号与最小编号的差的绝对值为ξn,如ξ4=3,ξ5=3或4,ξ6=3或4或5,记ξn的数学期望为f（n）.
（1）求f（5）,f（6）;
（2）求f（n）.
专题二十五 离散型随机变量及其概率分布、期望与方差
1.
（1）设甲第i次投中获胜的事件为Ai（i=1,2,3）,则A1,A2,A3彼此互斥,甲获胜的事件为A1+A2+A3.
则P（A1）=,
P（A2）=××=,
P（A3）=××=,
所以P（A1+A2+A3）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=++=.
答:
甲获胜的概率为.
（2）由题知X所有可能取的值为1,2,3.
则P（X=1）=+×=,
P（X=2）=+×××=,
P（X=3）=××1=.
所以X的概率分布为
X
1
2
3
P
所以E（X）=1×+2×+3×=.
2.根据题意,该四棱锥的四个侧面均为等边三角形,底面为正方形,容易得到△PAC,△PBD为等腰直角三角形,ξ的可能取值为0,,,共=28种情况,其中,ξ=0时,有2种;ξ=时,有3×4+2×4=20（种）;ξ=时,有2+4=6（种）.
（1）P（ξ=0）==.
（2）P==,P==.
再根据
（1）的结论,知随机变量ξ的概率分布为
ξ
0
P
所以E（ξ）=0×+×+×=.
3.
（1）记该学生有i门学科获得A等级为事件Ai,i=0,1,2,3,4.
随机变量ξ1的可能取值为0,1,2,3,5.
则P（Ai）=,
则P（A0）=,P（A1）=,P（A2）=,P（A3）=,P（A4）=,所以随机变量ξ1的概率分布为
ξ1
0
1
2
3
5
P
所以E（ξ1）=0×+1×+2×+3×+5×=.
（2）由题知,随机变量ξ2的可能取值为0,2,4,则
P（ξ2=0）=P（A2）=,
P（ξ2=2）=P（A1）+P（A3）=+=,
P（ξ2=4）=P（A0）+P（A4）=+=.
所以随机变量ξ2的概率分布为
ξ
0
2
4
P
4.
（1）设第一次与第二次取到卡片上数字分别为X,Y,则P（X=1）=P（Y=1）=P（X=2）=P（Y=2）=,P（X=3）=P（Y=3）=.
由题知,随机变量ξ的可能取值为2,3,4,5,6.
P（ξ=2）=P（X=1）P（Y=1）==,
P（ξ=3）=P（X=1）P（Y=2）+P（X=2）P（Y=1）=,
P（ξ=4）=P（X=1）P（Y=3）+P（X=3）P（Y=1）+P（X=2）P（Y=2）=,
P（ξ=5）=P（X=2）P（Y=3）+P（X=3）P（Y=2）=,
P（ξ=6）=P（X=3）P（Y=3）=.
所以当ξ=4时,其发生的概率最大,最大值为.
（2）由
（1）可知E（ξ）=2×+3×+4×+5×+6×==,
所以随机变量ξ的数学期望为.
5.
（1）由题意得+3x=1,所以x=.
又++y+0=1,所以y=.
记“甲、乙两人所付的停车费相同”为事件A,
则P（A）=×+×+×=,
所以甲、乙两人所付车费相同的概率为.
（2）设甲、乙两人所付停车费之和为ξ,ξ可能的取值为0,1,2,3,4,5.
P（ξ=0）=,P（ξ=1）=×+×=,
P（ξ=2）=×+×+×=,
P（ξ=3）=×+×+×=,
P（ξ=4）=×+×=,P（ξ=5）=×=.
所以随机变量ξ的概率分布为
ξ
0
1
2
3
4
5
P
所以E（ξ）=0×+1×+2×+3×+4×+5×=.
6.
（1）记“6名大学生中至少有1名被分配到甲学校实习”为事件A,则P（A）=1-=.
答:
6名大学生中至少有1名被分配到甲学校实习的概率为.
（2）ξ所有的可能取值是0,2,4,6,记“6名学生中恰有i名被分到甲学校实习”为事件Ai（i=0,1,…,6）,则
P（ξ=0）=P（A3）==,
P（ξ=2）=P（A2+A4）=P（A2）+P（A4）=+=,
P（ξ=4）=P（A1+A5）=P（A1）+P（A5）=+=,
P（ξ=6）=P（A0+A6）=P（A0）+P（A6）=+=,
所以随机变量ξ的概率分布为
ξ
0
2
4
6
P
所以E（ξ）=0×+2×+4×+6×=.
答:
随机变量ξ的数学期望E（ξ）=.
7.
（1）记该公司在星期四至少有两辆汽车出车为事件A,则为该公司在星期四最多有一辆汽车出车,
P（）=++·=,
所以P（A）=1-P（）=.
答:
该公司在星期四至少有两辆汽车出车的概率为.
（2）由题意知,ξ的可能取值为0,1,2,3,4,则
P（ξ=0）==,
P（ξ=1）=+=,
P（ξ=2）=++·=,
P（ξ=3）=+=,
P（ξ=4）==.
所以ξ的概率分布为
ξ
0
1
2
3
4
P
所以E（ξ）=0×+1×+2×+3×+4×=.
答:
ξ的数学期望为.
8.
（1）设“至少演唱1首原创新曲”为事件A,
则事件A的对立事件为“没有1首原创新曲被演唱”,
所以P（A）=1-P（）=1-=.
答:
该乐队至少演唱1首原创新曲的概率为.
（2）设随机变量x表示被演唱的原创新曲的首数,则x的所有可能值为0,1,2,3.
依题意知X=ax+2a（4-x）,故X的所有可能值依次为8a,7a,6a,5a.
则P（X=8a）=P（x=0）==,
P（X=7a）=P（x=1）==,
P（X=6a）=P（x=2）==,
P（X=5a）=P（x=3）==.
从而X的概率分布为
X
8a
7a
6a
5a
P
所以E（X）=8a×+7a×+6a×+5a×=a.
9.
（1）设“在一局游戏中得3分”为事件A,
则P（A）==.
答:
在一局游戏中得3分的概率为.
（2）X的所有可能取值为1,2,3,4.
在一局游戏中得2分的概率为=,
P（X=1）==,
P（X=2）=×=,
P（X=3）=××=,
P（X=4）=××=.
所以游戏结束时X的概率分布为
X
1
2
3
4
P
所以E（X）=1×+2×+3×+4×=.
10.
（1）由题知甲至少答对2题才能入选,记“甲入选”为事件A,
则P（A）=+=.
（2）设乙答题所得分数为X,则X的可能取值为-15,0,15,30,则
P（X=-15）==,
P（X=0）==,
P（X=15）==,
P（X=30）==.
所以X的概率分布为
X
-15
0
15
30
P
所以E（X）=×（-15）+×0+×15+×30=.
11.
（1）两个球颜色不同的情况共有·42=96.
（2）随机变量X所有可能的值为0,1,2,3.则
P（X=0）==,
P（X=1）==,
P（X=2）==,
P（X=3）==,
所以随机变量X的概率分布为
X
0
1
2
3
P
所以E（X）=0×+1×+2×+3×=.
12.
（1）ξ5的概率分布为
ξ5
3
4
P
则f（5）=E（ξ5）=.
ξ6的概率分布为
ξ6
3
4
5
P
则f（6）=E（ξ6）=.
（2）方法一:
ξn=3,4,5,…,n-1,
P（ξn=i）=（i=3,4,…,n-1）,
即n=k+1时命题也成立.
综上①②,对一切n（n≥4,n∈N*）猜想都成立.
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