全国高考文科数学试题及答案-北京卷.doc

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2017年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）

数学（文史类）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知，集合，则

（A）（B）（C）（D）

（2）若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是

（A）（B）（C）（D）

（3）执行如图所示的程序框图，输出的值为

（A）2（B）（C）（D）

（4）若满足则的最大值为

（A）1（B）3（C）5（D）9

（5）已知函数，则

（A）是偶函数，且在R上是增函数（B）是奇函数，且在R上是增函数

（C）是偶函数，且在R上是减函数（D）是奇函数，且在R上是减函数

（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为

（A）60（B）30（C）20（D）10

（7）设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为.则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：

lg3≈0.48）

（A）（B）（C）（D）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若，则_________．

（10）若双曲线的离心率为，则实数=__________．

（11）已知，，且，则的取值范围是__________．

（12）已知点在圆上，点的坐标为（-2,0），O为原点，则的最大值为_________．

（13）能够说明“设是任意实数．若，则”是假命题的一组整数的值依次为______________________________．

（14）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：

（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；

（ⅱ）女学生人数多于教师人数；

（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．

①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________．

②该小组人数的最小值为__________．

三、解答题：

共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）

已知等差数列和等比数列满足．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）求和：

．

（16）（本小题13分）

已知函数

（Ⅰ）求的最小正周期；

（Ⅱ）求证：

当时，

（17）（本小题13分）

某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：

[20,30），[30,40），......，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：

（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；

（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数；

（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．

（18）（本小题14分）

如图，在三棱锥中，，为线段的中点，为线段上一点．

（Ⅰ）求证：

；

（Ⅱ）求证：

平面平面；

（Ⅲ）当平面时，求三棱锥的体积．

（19）（本小题14分）

已知椭圆的两个顶点分别为A（−2,0），B（2,0），焦点在轴上，离心率为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）点为轴上一点，过作轴的垂线交椭圆于不同的两点，过作的垂线交于点.求证：

△与△的面积之比为4:

5．

（20）（本小题13分）

已知函数

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值.

2017年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）

数学（文史类）

一、选择题

（1）C

（2）B （3）C （4）D（5）B （6）D （7）A （8）D

二、填空题

（9） （10）2 （11） （12）6 （13）-1，-2，-3 （14）6，12

三、解答题

（15）解：

（Ⅰ）设的公差为，据已知，得，

所以.所以

（Ⅱ）设的公比为，因为，所以，所以

因为是首项为1公比为的等比数列，所以是首项为1公比为的等比数列，

所以

求和：

．

（16）解：

（Ⅰ）

所以，最小正周期为

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

因为所以

所以，当，即时，取最小值，

所以，得证

（17）解：

（Ⅰ）由频率分布直方图知，分数小于70的频率为

（Ⅱ）设样本中分数在区间[40,50）内的人数为，则由频率和为1得

解得

（Ⅲ）因为样本中分数不小于70的人数共有（人）

所以，分数不小于70的人中男女各占30人

所以，样本中男生人数为30+30=60人，女生人数为100-60=40人

所以，总体中男生和女生的比例为

（18）（Ⅰ）证明：

，

又平面平面，平面，

又平面，

（Ⅱ）证明：

，是的中点，,

由（Ⅰ）知平面平面，

平面平面，

平面平面，

平面，，

平面，

平面，

平面平面，

（Ⅲ）平面，

又平面平面，

平面，

是中点，

为的中点，

（19）解：

（Ⅰ）焦点在轴上，且顶点为

椭圆方程为

（Ⅱ）设，

直线的方程是，

，，

直线的方程是，直线的方程是，

直线与直线联立

，

整理为：

，即

即，解得，

代入求得

又

和面积的比为4:

5

（20）解：

（Ⅰ）

∴

∴曲线在点处的切线斜率为

切点为，

∴曲线在点处的切线方程为

（Ⅱ），

令

则

当，可得，

即有在上单调递减，可得，

所以在上单调递减，

所以函数在区间上的最大值为；

最小值为

8