全国高中数学联赛福建预赛试题.doc

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2015年福建省高中数学竞赛

暨2015年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案

（考试时间：

2015年5月24日上午9：

00－11：

30，满分160分）

一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。

请直接将答案写在题中的横线上）

1．设集合，从集合中随机抽取一个元素，记，则随机变量的数学期望。

【答案】5

【解答】，随机变量的取值为0，1，4，9，16。

易得，的概率分布列为

0

1

4

9

16

∴。

2．已知，其中是定义在上，最小正周期为2的函数。

若在区间上的最大值为1，则在区间上的最大值为。

【答案】9

【解答】依题意，有。

∵在区间上的最大值为1，

∴在区间上的最大值为3，在区间上的最大值为5，在区间上的最大值为7，在区间上的最大值为9。

3．、为椭圆：

（）的左、右焦点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆离心率的取值范围为。

【答案】

【解答】设为椭圆的上顶点，依题意有。

∴，。

，，。

4．已知实数，，满足，则的最小值为。

【答案】

【解答】由柯西不等式，知

。

∴，当且仅当，即时等号成立。

∴的最小值为。

5．已知函数，数列中，（），则数列的前100项之和。

【答案】

【解答】依题意，有

。

∴。

6．如图，在四面体中，，，，且与平面所成角的余弦值为。

则该四面体外接球半径。

【答案】

【解答】如图，作于，连结，并延长交于点，连结。

则是与平面所成的角，。

∵，，，

∴，为的外心，且。

∴，为中点，结合知，，。

∴，。

∴、、两两互相垂直，四面体外接球半径。

7．在复平面内，复数、、的对应点分别为、、。

若，，，则的取值范围是。

【答案】

【解答】设，（为虚数单位），

∵，，

∴，，

。

设复数对应的点为。

由知，点在以为圆心，1为半径的圆上。

又，因此，，即的取值范围是。

8．已知函数恰有两个极值点，（），则的取值范围为。

【答案】

【解答】。

依题意，有两个不同的实根。

设，则，有两个不同的实根。

若，则，为增函数，至多1个实根，不符合要求。

若，则当时，；时，。

∴在区间上为增函数，上为减函数。

∴的最大值为。

又时，；时，。

∴当且仅当，即时，恰有2个不同的实根。

设的两根为，（）。

则时，，；时，，；时，，。

∴为的极小值点，为的极大值点。

符合要求。

∴的取值范围为。

9．已知，若，则的取值范围为。

【答案】

【解答】设，则。

∴。

∴，。

由知，方程的解集是方程的解集的子集。

若，则，。

若，设，则，得。

又时，，

所以，。

的取值范围是。

10．若，则正整数的最小值为。

【答案】4

【解答】由，，知

。

∴，

，

……………

上述各式左右两边分别相加，得

。

∴，。

∴，（），（）。

∴正整数的最小值为4。

二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。

要求写出解题过程）

11．求函数的最小值。

【解答一】由，得或。

∴函数的定义域为。

………………………5分

记，则

当时，易知。

在上为增函数。

∴时，的最小值为。

…………………………10分

当时，。

∴在上为减函数，时，的最小值为。

………15分

综合得，函数的最小值为1。

………………20分

【解答二】函数化为。

由，知，可设（，且）

…………………………5分

当时，，当，即时，取最小值3。

………………………10分

当时，，当，即时，取最小值1。

…………………………15分

综合得，函数的最小值为1。

……………………20分

或换元后利用导数求解。

【解答三】由，得，

∴，。

……………………5分

依题意，有，因此，。

…………………10分

∴，，解得或。

……………15分

将代入方程，解得。

∴在函数的值域内。

∴函数的最小值为1。

…………………………20分

12．已知过点斜率为的直线交双曲线：

于、两点。

（1）求的取值范围；

（2）若为双曲线的右焦点，且，求的值。

【解答】

（1）设方程为。

由，得………①。

∵直线与双曲线有两个不同的交点，

∴，解得，且。

∴的取值范围为。

……………5分

（2）设，。

则，。

又，

∴，。

…………………………10分

∵，

∴时，，

。

由，得，解得或（舍去）。

∴，。

……………………………15分

时，，

。

由，得，解得或或，均不符合，舍去。

此时，满足条件的不存在。

综上可得，的值为1或。

……………………………20分

13．如图，、分别为的内心、旁心，与圆、圆相切，切点分别为、，为与的交点。

（1）求证：

；

（2）若为中点，求证：

。

（旁心：

三角形旁切圆的圆心，它是三角形一个内角的平分线和其它两个内角的外角平分线的交点。

）

【解答】

（1）设圆、圆的半径分别为、，

则。

……………………5分

（作于，于，则。

）

由条件知，、、三点共线，，。

∴，。

∴。

…………………10分

（2）由，得，

即。

∴。

…………15分

∵为中点，

，

∴，即。

结合，可得。

因此，。

∴。

…………………………………20分

另解：

设的中点为，则由，为中点知，，且。

由，可得，，即。

………15分

又。

∴，。

∴。

…………………………………20分

14．在坐标平面内，横纵坐标都是整数的点称为整点，三个顶点都是整点的三角形称为整点三角形。

求以点为内心且直角顶点在坐标原点的整点直角三角形的个数。

【答案】不妨设点在第一象限。

设，则，直线的斜率。

∴。

………………………5分

由、为整点，设，，其中，为正整数。

∴，。

∵内切圆的半径。

又，，

。

∴。

。

…………………10分

∴。

设，，则。

∴，。

……………………………15分

由，知，，为正整数，又的正因数有个。

∴符合条件的有54组。

∴符合条件的三角形有54个。

………………………20分

15．若对任意的正整数，集合的任意（）元子集中，总有3个元素两两互素，求的最小值。

【答案】考察集合（时）的67元子集：

（偶数与被3整除的奇数）。

显然中不存在3个两两互素的元素。

∴不符合要求。

……………………5分

引理：

对任意的正整数，集合的任意5元子集中，总有3个元素两两互素。

引理的证明：

设集合是集合的一个5元子集。

∵，，，，，这6个数中，3奇3偶，恰有1个5的倍数。

∴若中含有3个奇数，则这3个奇数必两两两互素，结论成立。

若中元素为2奇3偶。

由于3个偶数中至多有1个为3的倍数，至多有1个为5的倍数。

因此，3个偶数中必有1个数既不是3的倍数，也不是5的倍数，它与2个奇数两两互素。

结论成立。

∴引理成立。

……………………10分

对任意的正整数，将集合划分成如下17个集合：

，

，

……………

，

。

………………………15分

显然上述17个集合的两两交集为空集，并集为集合。

设集合是集合的68元子集。

若集合有4个元素来自集合。

由于为奇数时，、、两两互素；为偶数时，、、两两互素。

因此，中至少有3个元素两两互素。

若集合至多3个元素来自集合。

则至少有65个元素来自集合、、…、。

根据抽屉原理，至少有5个元素来自同一个集合，不妨设它们来自集合。

由前面的引理可知，它们中存在3个两两互素的元素。

∴集合中总有3个两两互素的元素。

∴符合要求，即对任意的正整数，集合的任意68元子集中，总有3个元素两两互素。

∴的最小值为68。

…………………………20分

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