全国高中数学联赛江西省预赛试题及其解答.doc
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2016年全国高中数学联赛江西省预赛
试题解答
年月日上午
一、填空题（每小题分，共分）
、若的值域为，那么的取值范围是．答案：
．
解：
由值域，，
，.
、四面体中，是一个正三角形，，，
，则到面的距离为．答案：
．
解：
如图，据题意得，，
于是，，
因，得，从而以
为顶点的三面角是三直三面角，
四面体体积，而，
若设到面的距离为，则，由，
得到．
、若对于所有的正数，均有，则实数的最小值是．答案：
．
解：
由，得，
当时取等号．
、已知是正方形内切圆上的一点，记，则．答案：
．
解：
如图建立直角坐标系，设圆方程为，
则正方形顶点坐标为，
若点的坐标为，于是直线
的斜率分别为
，，
所以，
，
由此立得．
解2：
取特例，在坐标轴上，则，
这时，，
、等差数列与的公共项（具有相同数值的项）的个数是．答案：
．
解：
将两个数列中的各项都加，则问题等价于求等差数列与等差数列的公共项个数；前者是中的全体能被整除的数，后者是中的全体能被整除的数，故公共项是中的全体能被整除的数，这种数有个．
、设为锐角，则函数的最大值是．答案：
．
解：
由，
得
，
所以．当时取得等号．
、若将前九个正整数分别填写于一张方格表的九个格子中，使得每行三数的和，每列三数的和皆为质数，你的填法是
解答：
（答案有多种）
、把从到这个连续正整数按适当顺序排成一个数列，使得数列中每相邻两项的和为平方数，则正整数的最小值是．答案：
．
例如，排出的一个数列为
．
解：
这是一个操作问题，若用文字表达较为繁琐，故适宜作为填空题直接操作．
记这个连续正整数的集合为，由于，
则中必有，而，所以，当时，从到这个数可以搭配成满足条件的三个数段：
，但它们不能连接成一个项的数列，故应增加后续的数，增加可使得第一段扩充成，增加可使得第二段扩充成，但新的三段也不能连接，还需增加新数，即，而之前的数若与邻接，只有，这三段扩充为
，，，仍旧不能连接，应当借助新的平方数，从到这个数能搭配成和为的最小数是，则，而当时，可排出上面的情形：
．
二、解答题（共分）
、（分）如图，是椭圆的一条直径，
过椭圆长轴的左顶点作的平行线，交椭圆于
另一点，交椭圆短轴所在直线于，
证明：
．
证1：
椭圆方程为，
点的坐标为，则直线方程为，……
代入椭圆方程得到，
，，……
因此，……
又据∥，则点坐标为：
，，……
因为在椭圆上，则，而，，
因此．……
证2：
易知的斜率存在，不妨令，与椭圆方程联系，
解得
……
……
方程为：
.
将方程与椭圆方程联立，得
……
……
，
…
、（分）如图，是的旁心，点关于直线的对称点为．证明：
、三点共线；、四点共圆．
证：
1、延长到，延长到,连，为旁心，
平分，……
又关于对称，
平分,
、、三点共线。
……
2、过作交于，则……
为内心。
连,则平分,……
、、、四点共圆，……
、、、四点共圆。
……
、（分）设为正数，满足：
，证明：
证：
据条件，即要证①
也即 ②……
将此式各项齐次化，因为……
代入②，
只要证
即……
也即。
此为显然，故命题得证．…
证2：
由题设得：
，
三式相乘，故原不等式等价于证明：
……
上式两边展开并化简得：
……
配方得：
……
即……
显然成立.……
、（分）设集合，对于的任一个元子集，若存在，满足，则称为“好集”，求最大的正整数，（），使得任一个含的元子集皆为“好集”．
解：
因任何正整数可以表为形式，其中，为正奇数，于是集合可划分为以下个子集：
，……
对于集合的任一个元子集，只要集中含有某一个中的至少两个元素，因，，则；此时为好集；
以下证明正整数的最大值为：
……
若时，对于的任一个元子集，如果中含有某个中的至少两个元素，则便是好集；如果中的个集合，每个集合中恰有一个元素在中，那么也有一个元素在中，
但为单元素集，于是，而，，这说明仍是好集，
因此合于要求．……
下面说明当时，存在含的集不是好集；分两种情况：
、若，取元集，则，
因中任两个不同元素，均有，故不为好集，这种不合要求．……
、若，记，
，令，则，且，
若中存在，因，，则；
若，如果，只有或者，此时的取值只能是：
，或者；由于，这说明，这两个数已被挖去，不在集合中；……
若，假若，只有，这种数也已悉数被挖去，即，因此不是好集，这种也不合要求．
综上所述，的最大值为．……
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