第十一届五一数学建模联赛A优秀论文.docx
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2014年第十一届五一数学建模联赛
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2014年第十一届五一数学建模联赛
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2014年第十一届五一数学建模联赛
题目对黑匣子落水点的分析和预测
摘要
本文通过对飞机以及黑匣子受力情况进行分析，构建正交分解模型，得出飞机的坠落轨迹和黑匣子的落水点，及黑匣子在水中的移动情况。
问题一要求在考虑空气气流影响的前提下，建立数学模型，描述飞机坠落轨迹并推测黑匣子的落水点。
本文对飞机失去动力后的全过程建立动力学方程：
然后对动力学方程进行正交分解，在水平和竖直方向上分别进行分析，根据伯努利方程求得升力的计算公式，得出飞机在刚刚失去动力时，升力大于重力，所以飞机会先上升一段距离，随着水平速度的减小，升力也逐渐减小，然后飞机再下降，通过模拟计算可以得出当飞机坠落至失事点下10000时，飞机坠入海面，其飞行速度为515.994，飞机向东北方向飞行了28697。
问题二要求建立数学模型，描述黑匣子在水中沉降过程轨迹，并指出它沉在海底的位置所在的区域范围。
由于不用考虑洋流，黑匣子所受到的力中仅有水的阻力是变化的，其重力和浮力始终保持恒定，根据黑匣子的移动速度，得出相应的阻力和加速度。
在不同的速度范围内，使用不同的阻力公式，计算出相应的移动距离并作出轨迹图。
发现在水平方向仅漂出161.095，速度几乎为零，因此黑匣子在区域内。
问题三要求描述黑匣子沉降轨迹方程，并求解出黑匣子沉入水下1000，2000和3000时离落水点的方位。
根据问题一中得出的结果，可以大致判断出黑匣子的经纬度，查得当地的洋流为南赤道暖流，为风海流，仅在海面表层运动，因此也仅需要在海面下300考虑洋流的影响。
经过计算发现洋流对黑匣子漂流方向的影响极小，速度上的影响也很小，在1000之下的过程中也仅做垂直运动。
关键词正交分解模拟计算微分方程伯努利方程
一、问题背景和重述
1.1问题背景
黑匣子是飞机专用的电子记录设备之一，里面装有飞行数据记录器和舱声录音器，它能记录各种飞行参数，供事故分析和飞机维修参考使用。
黑匣子记录的参数包括：
飞机停止工作或失事坠毁前半小时的语音对话和两小时的飞行高度、速度、航向、爬升率、下降率、加速情况、耗油量、起落架放收、格林尼治时间、飞机系统工作状况和发动机工作参数等[1]
作为飞机数据客观、真实、全面的记录者，它能把飞机停止工作或失事坠毁前半小时的有关技术参数和驾驶舱内的声音记录下来，它是飞机失事后查明事故原因的最可靠、最科学、最有效的手段。
伴随着航空事业的发展，黑匣子在飞机日常安全维护、飞行状态监测、消除事故隐患以及故障定位方面也发挥着越来越重要的作用，甚至可以说充当着飞行过程中不可或缺的角色。
1.2问题重述
假设有一架飞机在高空中飞行时突然发生事故，此时飞行高度为10000米，飞行速度是800公里/小时，航向东北方向45°，飞机在地面的投影位置为南纬22.0度，东经88.0度。
请建立模型求解以下问题：
1、假定飞机在发生事故时突然失去动力，考虑飞机在降落过程中受到空气气流的影响，建立数学模型，描述飞机坠落轨迹并推测黑匣子的落水点。
2、假设黑匣子落水之后，不考虑洋流流动对黑匣子沉降过程的影响，建立模型描述黑匣子在水中沉降过程轨迹。
如图1所示（见附件1），假设黑匣子落水点所对应的海底位置为1，落水时沿着图1中指定的虚线方向沉海，给出黑匣子沉在海底的位置，并指出在图形中的哪个区域范围。
3、考虑洋流流动对黑匣子在水中沉降的影响，建立模型描述在有洋流流动的情况下黑匣子沉降轨迹方程，并求解出黑匣子沉入水下1000，2000和3000时离落水点的方位。
二、问题分析
2.1问题一的分析
问题一要求根据题中给出的已知条件，假定飞机在发生事故时突然失去动力，考虑飞机在降落过程中受到空气气流的影响，建立数学模型，描述飞机坠落轨迹并推测黑匣子的落水点。
对于问题一，本文对飞机在发生事故时突然失去动力后的飞行情况进行正交分解，在水平方向上，考虑空气阻力对飞机飞行的影响[2]，在竖直方向上考虑飞机自身的重力、空气阻力以及升力对飞机飞行的影响到空气阻力和升力是随着速度而不断变化的，因此本文又对飞机飞行的每个阶段进行微分计算，进而得出每个时间点飞机在水平方向和竖直方向上的位置，从而得出飞机坠落轨迹和黑匣子的落水点。
2.2问题二的分析
问题二要求根据题中给出的已知条件，假定黑匣子落水之后，不考虑洋流流动对黑匣子沉降过程的影响，建立模型描述黑匣子在水中沉降过程轨迹。
假设黑匣子落水点所对应的海底位置为1，落水时沿着图1中指定的虚线方向沉海，给出黑匣子沉在海底的位置，并指出在图形中的哪个区域范围。
对于问题二，当黑匣子落水后，在它整个的下潜过程中不需要考虑洋流因素的影响，所以在水平方向上只受水的阻力[3]竖直方向上受到黑匣子自身的重力、海水的浮力以及阻力的影响。
因此本文可以对黑匣子的受力情况进行正交分解，由于海水的阻力较大，所以海水阻力变化的临界值较小，因此在竖直方向上的阻力会有明显变化，所以在竖直方向上要分段考虑。
2.3问题三的分析
问题三要求根据题中给出的已知条件，考虑洋流流动对黑匣子在水中沉降的影响，建立模型，描述在有洋流流动的情况下黑匣子沉降轨迹方程，并求解出黑匣子沉入水下1000，2000和3000时离落水点的方位。
问题三是在问题二的基础上加入了对洋流因素的考虑，本文可以结合问题一中黑匣子的落水点，查询资料得到当地的气候特征与洋流种类，对问题二的模型进行优化，进而得出在考虑洋流流动时，黑匣子的轨迹方程。
然后根据得出的优化模型将问题三给出的数据分别代入所建的新模型中，进而求得当黑匣子沉入水中不同的深度时距离落水点的具体方位[4]。
三、模型假设
结合本题的实际，为了确保模型求解的准确性和合理性，现对一些客观存在但影响可忽略不计的因素提出以下几点假设：
1、假设飞机在失去动力之后仍能保持平衡；
2、假设当天气候正常，晴朗无风；
3、假设飞机坠海解体时，爆炸对黑匣子的速度无明显影响；
4、假设当黑匣子在海底移动时，可以将其视作质点的移动；
5、假设飞机坠入海中后才解体，且解体时不会对黑匣子的速度产生影响；
6、假设洋流的流速及流动方向比较稳定，在短时间内不会发生太大的变化；
7、假设黑匣子在海底移动时不会受到鱼类等障碍物的影响。
四、符号说明和名词解释
4.1符号说明
为了便于问题的求解，现将本文中出现的符号进行解释说明：
符号
符号说明
坠落时间
升力系数
空气阻力
空气阻力系数
黑匣子在水中的水平运行速度
纵向距离
欧拉常数
空气密度
黑匣子的面积
黑匣子在水中的竖直运行速度
4.2名词解释
1、类平抛运动：
物体水平抛出后，在水平方向上作匀速直线运动（不计空气阻力）（与平抛运动一样），而在竖直方向上的运动，不仅受到重力作用，还受到竖直方向上的其他力的作用[5]；
2、正交分解：
将一个分解为和两个相互垂直的分力的方法，叫做力的正交分解，它是力的合成的逆运算；
3、阻力系数：
对于飞行器来说，阻力系数定义为物体（如飞机、导弹）所受到的阻力与气流动压和参考面积之比，是一个无量纲量。
五、模型建立与求解
经过以上的分析和准备，我们将逐步建立以下数学模型，进一步阐述模型的建立过程。
5.1问题一模型的建立与求解
对于问题一，飞机以高速飞行的过程中突然失去动力，本文可以将其视为它在做类平抛运动，对其在失去动力后进行受力分析，可得相应的动力学方程：
由于飞机是朝东北方向飞行，本文可视作飞机是在某一平面内做平抛运动，以此建立相应的直角坐标系，由于该过程比较复杂，本文将飞机的坠落轨迹分别进行水平方向和竖直方向上的正交分解，正交分解图见（附录），正交分解表达式如下：
水平方向上的受力情况：
竖直方向上的受力情况：
由上式得
设起始条件，且为飞机上升到最高点时在水平方向上的分量[6]，对上式再积分得：
对上式进行积分得到飞机在水平方向上的速度：
对飞机在水平方向上的速度公式进行积分，得
从而得飞机失去动力后的水平位移：
所以在竖直方向上的受力情况表达式为：
理想流体作稳定流动时，流体通过同一流管中任何截面的体积流量皆相等。
这就是理想流体的连续性原理。
它表示流体在流动时，应遵守质量守恒定律，其数学表示为
（1）
其中，为流速，为流管的截面面积。
由此方程我们可以得到这样一个结论：
对于同一流管，截面积越小，流速越大；截面积越大，流速越小。
通过连续性原理和功能守恒原理推导出的伯努利方程揭示了液体流动过程中的能量变化规律。
它表示理想流体作定常流动时，应遵守能量守恒定律，其数学表示为
（2）
其中，为此处流体的压强，为此处流体的密度，为此处流体的流速，为此处距基准面的高度，为重力加速度。
由此方程可以得到一个结论：
同一流管等高处两点，流速大的地方压强小，流速小的地方压强大。
设机翼前方气流的速度为压强为，机翼上部气流流速为，压强为，机翼下部流速为，压强为，空气密度为。
由伯努利方程
（2）式得：
（3）
（4）
（3）-（4），得到机翼上下的压力差为：
（5）
设机翼的面积为，获得的升力为,则有
（6）
另外，由连续性方程
（1）式可以知道，分别在机翼的上下方各取一个小流管，则有
（7）
（8）
由（7）和（8）式可以发现，，并且联系（6）式可得出，加以综合可以得到，不妨假设这个系数为，则得到在（6）式得基础上得出的新方程
（9）
经过查阅资料（王家楣《流体力学》第十二章机翼理论）可得到关于升力系数的相关介绍，其定义为
（10）
比较（9）和（10）两个式子很容易发现，即为所推导的系数，也证实了推导的过程。
根据在水平方向上的求得的，代入竖直方向的受力表达式，并且每隔0.01s进行模拟计算可以得出相应的。
假设飞机为波音777F，查表可知空气密度为，机翼面积，升力系数，满载重量，则令
当时，则在竖直方向上的速度为0，即竖直方向上的空气阻力为0，在竖直方向只有重力和升力。
此时
所以当飞机失去动力时，先向上飞一段时间，然后才向下坠落[7],把以上数据分别代入竖直和水平方向上的速度和位移方程，即可得到如下：
水平方向速度
水平方向位移
竖直方向速度
竖直方向位移
则飞机的坠落轨迹为：
飞机的入水横向速度为96.71，入水纵向速度506.8317，横向距离28697，最终求得海水的速度为515.994。
用画出相应的坠落轨迹，如下图：
图1飞机的坠落轨迹图
由飞机的坠落轨迹可以清晰的看出，在水平方向上，由于空气阻力对飞机飞行产生影响，在竖直方向上飞机自身的重力、空气阻力以及升力对飞机飞行也产生影响，所以飞机在发生事故后，先向上飞一段时间，当它达到一定高度后才向下坠落。
5.2问题二模型的建立与求解
由于第二问中不需要考虑洋流，在水中仅考虑水的阻力，浮力和黑匣子自身的重力，得出其受力情况与飞机坠落过程相似，即动力学方程：
直角坐标系下的水平方向上正交分解式为：
黑匣子在落入海水中后水平方向速度：
黑匣子在落入海水中后运动方程：
在竖直方向上由于初速度很大，在起初的一段时间里，水的阻力也极大，等速度降到一定范围时[8],阻力又会明显减小。
通过查表可知，当物体在水中速度超过100时，阻力与速度的二次方成正比，当速度低于100时，阻力与速度的一次方成正比。
因此需要对竖直方向分别考虑：
直角坐标系下的竖直方向上正交分解式为：
其中重力和浮力都是定值，可先求得
再对海水在竖直方向上受到的阻力进行分段计算
整理后可得在竖直方向上的受力情况为
用进行时间间隔为0.001的模拟计算，可得黑匣子在海水中的坠落轨迹:
，
图2黑匣子沉降轨迹图
从图二中可以看出，黑匣子在入水的瞬间竖直方向上的速度骤减，然后沿近似的沿一条直线斜向下移动，直至水平方向的速度为零时，黑匣子垂直向下坠落。
水平方向仅移动161.095m，所以黑匣子最后沉在区域。
5.3问题三模型的建立与求解
在问题三中由于需要考虑洋流的影响，需要在第二问的基础上进行优化，增加洋流对黑匣子坠落的影响，但是从第一问中可以得出飞机坠落的区域内洋流类型为南赤道暖流，属于风海流，仅在海面表层运动，因此洋流对黑匣子坠落轨迹的影响也仅在海面表层，当黑匣子坠落到一定深度时，便又不在受黑匣子的影响。
同时，由于洋流的流向恰与黑匣子的漂流方向成45度夹角。
洋流在改变黑匣子本来的漂流方向，会使黑匣子向西北方向偏转。
空间直角坐标系下的x方向上正交分解式为：
其中为洋流在x方向上的速度，经查表可知，南赤道洋流仅在海表层300m左右运动，因此当黑匣子坠落到300m以下时，情况又回复到问题二中：
同理可得在空间直角坐标系中y方向上的受力情况也为
最后在空间直角坐标系中z方向上的受力情况为
洋流在x方向和z方向上的速度恰好相等，均为，因为洋流速度很小，而黑匣子在竖直方向的初速度又很快。
所以在z方向上的位移极小，经计算，在z方向上先加速后匀速，最后到达300以下后又减速之零，黑匣子在方向上的位移仅为0.0066，可以忽略不计。
因此还是只需要考虑在方向和方向的移动，经过模拟计算可得到相应的坠落轨迹，如下图所示：
图3黑匣子沉降轨迹图
由图三可以清晰地看出，洋流对于黑匣子的沉降没有太大的影响，黑匣子水平移动的距离为170.4525，此时距离海面402，与不考虑洋流的情况下偏差仅为9米，而后就一直作垂直沉降。
因此，黑匣子在沉入水下1000，2000，3000时，距离落水点均为170.4525。
六、模型评价和改进
6.1模型的评价
6.1.1模型的优点
1、问题一的模型可以将飞机的运行轨迹进行简化，方便计算；
2、在对飞机运行轨迹进行模拟运算时，用进行拟合，操作简便，容易实现；
3、题中涉及到的变量比较少，减轻了计算量，减少了问题的复杂程度，得到的信息较多，有利于问题更好的解决；
4、在本题的解答过程中，多次运用图表，使得问题的解答更加的清晰直观，便于理解；
5、模拟计算可对复杂公式进行直接求解，使得计算效率高。
6.1.2模型的缺点
1、在飞机在解体时，本文所建的模型忽略了它的速度变化，可能飞机落点会产生一定的偏差；
2、本文在建立问题二的模型时，忽略了信风的影响，可能对黑匣子的落点位置产生影响。
6.2模型的改进
1、在模型的分析与建立的过程中忽略了一些因素，在模型改进的时候，可以将上述过程中忽略的因素加以考虑；
2、在问题一中若用能量守恒定理，便可直接得出飞机落水点的位置。
七、模型推广
本文通过利用正交分解法，有效地分析出了飞机以及黑匣子的受力情况。
正交分解法在曲面模型风场重构方面有重要作用，在对屋盖结构风场进行模拟，对热对流系统稳定性进行分析以及在场预报中的应用、对桥梁风场的随机模拟等方面，正交分解都发挥着很大的作用。
在本文中，一些微分方程很难直接进行求解，但是通过模拟计算，可以进行极小间隔的赋值来直接进行求值，尤其是结合计算，可以很快的得出结果并作出相应的轨迹图，使求解模型更加简单快捷，易于理解。
同理，模拟计算也适用于其他一些多元方程的求解和检验，模拟计算同时还可以对导弹轨迹进行模拟分析，并进行预测，修正。
本文建立伯努利方程对升力进行求解，事实证明伯努利方程对解决升力问题来说是比较有效的方法，利用该方程不仅可以有效解决题目的问题，通过建立伯努利方程还可以用来解释一些常见的自然现象如：
悬浮球悬浮的情形、虹吸现象、船吸现象等，还可以用来解释喷雾器的制作原理、汽车发动机的汽化器的工作原理等等。
八、参考文献
[1]哈工大理论力学教研组，理论力学[M]，北京：
高等教育出版社，168-171，1998。
[2]同济大学数学教研室，高等数学[M]，北京：
高等教育出版社，89-102，2006。
[3]胡辛录.论力学[M]，西安：
陕西师范大学出版社，105-108，2003。
[4]周衍柏.理论力学教程[M]，北京：
高等教育出版社，67-69，2002。
[5]闫琴李冰，有阻尼斜抛物体运动的分析[J]，石河子大学学报，522-524，2004.5。
[6]程守沫.物理学（第4版）[M]，北京：
人民教育出版社，40-42，1982.6。
[7]马文蔚.理学教程[M]，高等教育出版社，43-44，2002。
[8]郭士垫.理论力学（上册）[M]，北京：
人民教育出版社，103-104，1982.8。
附录
问题一中飞机坠落轨迹的分析所用的正交分解图：
图1飞机在空气中的受力分解图图2飞机在海水中的受力分解图
附录
用解决第一问所用到的程序：
clearall
closeall
vx=222.2;
m=345000;
k=120;
vy=0;
x=0;
y=-10000;
nn=1;
yy=[];
forn=0:
0.001:
201
f_shong=k*vx^2;
f_jnx=10*vx^2;
f_jny=0.08*200*vy;
a_jnx=f_jnx/m;
a_shong=f_shong/m;
a_jny=f_jny/m;
vx=vx-0.001*a_jnx;
ifvx<0
vx=0;
end
ifvy>0
a=a_jny;
else
a=-a_jny;
end
vy=0.01+vy-a_shong*0.001-a*0.001;
x=vx*0.001+x;
y=vy*0.001+y;
yy（nn）=y;
nn=nn+1;
ify>=10000
break;
end
end
xx=1:
length（yy）;
plot（xx,-yy）;
附录
用解决第二问所用到的程序：
clc
clearall
closeall
vx=96.715;
m=20;
vy=506.8317;
x_x=0;
x_y=0;
nn=1;
yy=[];
forn=0:
0.001:
2000
f_x=200*0.06*vx;
ifvy>100
f_y=82*0.4*vy^2;
else
f_y=200*0.06*vy;
end
a_x=f_x/m;
a_y=f_y/m;
vx=vx-0.001*a_x;
vy=vy-a_y*0.001+110.8*0.001/m;
x_x=vx*0.001+x_x;
x_y=vy*0.001+x_y;
xx（nn）=x_x;
yy（nn）=x_y;
nn=nn+1;
ifx_y>4200
break;
end
end
plot（xx,-yy）;
附录
用解决第三问画三维图所用到的程序：
clc
clearall
closeall
vx=96.715;
m=20;
vy=506.8317;
vz=0;
x_z=0;
x_x=0;
x_y=0;
nn=1;
yy=[];
forn=0:
0.001:
2000
ifx_y<300
f_x=200*0.06*vx-6;
f_z=200*0.1*（0.5/sqrt
（2）-vz）;
else
f_x=200*0.06*vx;
f_z=200*0.1*vz;
en
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