数学建模实验五.docx

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数学建模实验五

数学建模实验五

（最优化与存储模型实验）

基本实验

1.跟车安全距离的确定

解答：

设车速与刹车距离之间的关系：

其中x为车速，y为刹车距离。

现测得50组数据（xi，yi）（i=1，2，…，50）

用平方和最小，估计系数β0和β1

由题意可得目标方程：

使用Lingo建模:

运行结果：

Localoptimalsolutionfound.

Objectivevalue:

11353.52

Infeasibilities:

0.000000

Extendedsolversteps:

5

Totalsolveriterations:

18

ModelClass:

NLP

Totalvariables:

3

Nonlinearvariables:

2

Integervariables:

0

Totalconstraints:

2

Nonlinearconstraints:

1

Totalnonzeros:

3

Nonlinearnonzeros:

2

VariableValueReducedCost

B0-17.579090.000000

B13.9324090.000000

X

（1）4.0000000.000000

X

（2）4.0000000.000000

........................................

X（49）24.000000.000000

X（50）25.000000.000000

Y

（1）2.0000000.000000

Y

（2）10.000000.000000

.......................................

Y（49）120.00000.000000

Y（50）85.000000.000000

RowSlackorSurplusDualPrice

111353.52-1.000000

由运行结果可知：

由平方和最小得到的β0=-17.57909，β1=3.932409

车速与刹车距离之间的关系：

y=—17.579+3.932x

2.选址问题

解答：

设cij为第i个机场到第j个作业点的距离（i=1，2；j=1，2，3），xij为第i个机场到第j个作业点的运量（i=1，2；j=1，2，3），则

目标函数：

约束条件：

其中qj为每个作业点的油料用量。

以矩阵A2×2表示机场位置，以矩阵B2×3表示作业点位置，则机场到每个作业点的距离：

使用Lingo建模：

运行结果：

Localoptimalsolutionfound.

Objectivevalue:

4737.816

Infeasibilities:

0.000000

Totalsolveriterations:

48

ModelClass:

NLP

Totalvariables:

10

Nonlinearvariables:

10

Integervariables:

0

Totalconstraints:

4

Nonlinearconstraints:

1

Totalnonzeros:

16

Nonlinearnonzeros:

10

VariableValueReducedCost

Q

（1）25.000000.000000

Q

（2）14.000000.000000

Q（3）34.000000.000000

A（P,X）0.0000000.000000

A（P,Y）0.0000000.000000

A（Q,X）225.0000-0.7216879E-04

A（Q,Y）40.00000-0.7425981E-03

X（P,1）0.000000228.5279

X（P,2）0.000000137.9248

X（P,3）34.000000.000000

X（Q,1）25.000000.000000

X（Q,2）14.000000.000000

X（Q,3）0.000000228.5279

B（X,1）225.00000.000000

B（X,2）300.00000.000000

B（X,3）0.0000000.000000

B（Y,1）40.000000.000000

B（Y,2）370.00000.000000

B（Y,3）0.0000000.000000

RowSlackorSurplusDualPrice

14737.816-1.000000

20.0000000.000000

30.000000-338.4154

40.0000000.000000

由运行结果可知：

两个临时机场分别建在第1和第3作业点处，建在第1作业点的机场向第1和第2作业点供应油料，建在第3作业点的机场向第3作业点供应油料，最少吨公里数为4737.816。

3.

路灯照明问题

解答：

（1）根据题意建立如图所示模型，P1=2KW，P2=3KW，S=20m。

照度计算公式：

（k为照度系数，可取为1；P为路灯功率）

设Q点为两盏路灯连线上任意一点，则两盏路灯在Q点的照度分别为：

又

，

，

，

，故Q点照度为：

目标函数：

约束条件：

0≤X≤20

使用Lingo建模：

运行结果：

Localoptimalsolutionfound.

Objectivevalue:

0.8447655E-01

Infeasibilities:

0.000000

Extendedsolversteps:

5

Totalsolveriterations:

72

ModelClass:

NLP

Totalvariables:

1

Nonlinearvariables:

1

Integervariables:

0

Totalconstraints:

3

Nonlinearconstraints:

1

Totalnonzeros:

3

Nonlinearnonzeros:

1

VariableValueReducedCost

X19.976700.000000

RowSlackorSurplusDualPrice

10.8447655E-011.000000

219.976700.000000

30.2330419E-010.000000

使用Lingo建模：

运行结果：

Localoptimalsolutionfound.

Objectivevalue:

0.1824393E-01

Infeasibilities:

0.000000

Extendedsolversteps:

5

Totalsolveriterations:

66

ModelClass:

NLP

Totalvariables:

1

Nonlinearvariables:

1

Integervariables:

0

Totalconstraints:

3

Nonlinearconstraints:

1

Totalnonzeros:

3

Nonlinearnonzeros:

1

VariableValueReducedCost

X9.3383030.4709445E-08

RowSlackorSurplusDualPrice

10.1824393E-01-1.000000

29.3383030.000000

310.661700.000000

由运行结果可知：

结果分析：

X=19.97670处为最亮点，X=9.33830处为最暗点。

（2）目标函数：

约束条件：

使用Lingo建模：

运行结果：

Localoptimalsolutionfound.

Objectivevalue:

0.2166187E-01

Infeasibilities:

0.000000

Extendedsolversteps:

5

Totalsolveriterations:

46

ModelClass:

NLP

Totalvariables:

2

Nonlinearvariables:

1

Integervariables:

0

Totalconstraints:

3

Nonlinearconstraints:

1

Totalnonzeros:

3

Nonlinearnonzeros:

1

VariableValueReducedCost

H3.0000000.000000

X0.0000000.000000

RowSlackorSurplusDualPrice

10.2166187E-011.000000

20.000000-0.9719698E-03

39.0000000.000000

由运行结果可知：

当H=3时，路面上最暗的亮度最大。

4.

库存问题I

解答：

（1）由题意得，需求率D=100个/天，存储费CP=0.02元/个·天，订货费CD=100元/次，则

最佳订货量：

个/次

订货时间：

天

单位时间总费用：

元/天

使用Lingo建模：

运行结果：

Feasiblesolutionfound.

Totalsolveriterations:

0

ModelClass:

...

Totalvariables:

0

Nonlinearvariables:

0

Integervariables:

0

Totalconstraints:

0

Nonlinearconstraints:

0

Totalnonzeros:

0

Nonlinearnonzeros:

0

VariableValue

C_D100.0000

D100.0000

C_P0.2000000E-01

Q1000.000

T10.00000

N0.1000000

TC20.00000

RowSlackorSurplus

10.000000

20.000000

30.000000

40.000000

50.000000

60.000000

70.000000

由运行结果可知：

最佳订购批量为1000个/次，订购周期为10天，单位时间总费用为20元/天，与理论计算结果一致。

（2）由题意得，需求率D=100个/天，存储费CP=0.02元/个·天，订货费CD=100元/次，缺货损失费CS=0.08元/天，则

最佳订货量：

个/次

订货时间：

天

单位时间总费用：

元/天

使用Lingo建模：

运行结果：

Feasiblesolutionfound.

Totalsolveriterations:

0

ModelClass:

...

Totalvariables:

0

Nonlinearvariables:

0

Integervariables:

0

Totalconstraints:

0

Nonlinearconstraints:

0

Totalnonzeros:

0

Nonlinearnonzeros:

0

VariableValue

C_D100.0000

D100.0000

C_P0.2000000E-01

C_S0.8000000E-01

Q1118.034

T11.18034

TC17.88854

RowSlackorSurplus

10.000000

20.000000

30.000000

40.000000

50.000000

60.000000

70.000000

由运行结果可知：

最佳订购批量为1118件，订购周期为11.18天，单位时间总费用为17.9元，与理论计算结果一致。

（3）由题意得，需求率D=100个/天，存储费CP=0.02元/个·天，订货费CD=100元/次，生产率P=200个/天，则

最佳订货量：

个/次

订货时间：

天

单位时间总费用：

元/天

使用Lingo建模：

运行结果：

Feasiblesolutionfound.

Totalsolveriterations:

0

ModelClass:

...

Totalvariables:

0

Nonlinearvariables:

0

Integervariables:

0

Totalconstraints:

0

Nonlinearconstraints:

0

Totalnonzeros:

0

Nonlinearnonzeros:

0

VariableValue

C_D100.0000

D100.0000

C_P0.2000000E-01

P200.0000

Q1414.214

T14.14214

TC14.14214

RowSlackorSurplus

10.000000

20.000000

30.000000

40.000000

50.000000

60.000000

70.000000

由运行结果可知：

最佳订购批量为1414个/次，订购周期为14.14天，单位时间总费用为14.14元/天，与理论计算结果一致。

5.库存问题II

解答：

由题意得，需求率D=30件/天，存储费CP=0.05元/个·天，订货费CD=100元/次，采购费C（Q）=10元/件（Q≤600）或者8元/件（Q>600），

则：

目标函数：

minTC（Q）=CPQ/2+CDD/Q+C（Q）D

约束条件：

Q≤600，C（Q）=10；Q>600，C（Q）=8

使用Lingo建模：

运行结果：

Linearizationcomponentsadded:

Constraints:

15

Variables:

8

Integers:

6

Localoptimalsolutionfound.

Objectivevalue:

260.0000

Objectivebound:

260.0000

Infeasibilities:

0.000000

Extendedsolversteps:

2

Totalsolveriterations:

21

ModelClass:

MINLP

Totalvariables:

10

Nonlinearvariables:

1

Integervariables:

6

Totalconstraints:

17

Nonlinearconstraints:

1

Totalnonzeros:

40

Nonlinearnonzeros:

1

VariableValueReducedCost

CP0.5000000E-010.000000

Q600.00000.000000

CD100.00000.000000

D30.000000.000000

CQ8.0000000.000000

RowSlackorSurplusDualPrice

1260.0000-1.000000

20.000000-8.166667

30.000000-300.0000

40.000000-0.5000000E-01

50.000000-30.00000

由运行结果可知：

由此可以得到最优的订货量为600件，最优的储存费为260元/天。

根据提前时间为21天，再订货点为21×30件=630件，最优库存策略就是当储存量下降到630件时，订货600件，其最优库存总费为260元/天。

6.航空机票超订票问题

解答：

设飞机的有效载客数为N，超订票数为S（售出票数为N+S），k为每个座位的盈利值，h1为80%超员旅客的赔偿值，h2为20%超员旅客的赔偿值。

设x是购票未登机的人数。

当x≤S时，有S-x个人购票不能登机，航空公司要为这部分旅客进行补偿。

当x>S时，有x-S个座位没有人坐，航空公司将损失应得的利润。

因此，只要计算出超订票数S=0，1，2…的期望值，并比较它们的大小，就可以计算出最优的超订票数和最大盈利的期望值。

该航空公司所获得的盈利的期望值表达式为：

使用Lingo建模：

运行结果：

Feasiblesolutionfound.

Totalsolveriterations:

0

ModelClass:

...

Totalvariables:

0

Nonlinearvariables:

0

Integervariables:

0

Totalconstraints:

0

Nonlinearconstraints:

0

Totalnonzeros:

0

Nonlinearnonzeros:

0

VariableValue

N150.0000

K1500.000

H1515.000

P

（1）0.1800000

P

（2）0.2500000

P（3）0.2500000

P（4）0.1600000

P（5）0.6000000E-01

P（6）0.4000000E-01

P（7）0.3000000E-01

P（8）0.2000000E-01

P（9）0.1000000E-01

S

（1）222852.3

S

（2）223055.9

S（3）222505.6

S（4）221473.0

S（5）220259.5

S（6）218925.5

S（7）217500.9

S（8）216016.0

RowSlackorSurplus

10.000000

20.000000

30.000000

40.000000

50.000000

60.000000

70.000000

80.000000

90.000000

100.000000

110.000000

由运行结果可知：

航空公司多售出2张票时，预期收益最大为223055.9元。

加分实验（人字架最优设计问题）

解答：

（1）模型建立参考《数学建模基础第二版》

给定d,H后，可计算出钢管的重量：

其中

为密度。

当符合为2P时，杆件受到的压力为：

根据结构力学原理，对于选定的杆件，不出现屈服的条件为：

其中

是钢管最大许可的可抗压强度，而不出现弹性曲变的条件为：

其中E为钢管材料的杨氏模量，因此人字架最优化设计问题是在两个上述条件下使

达到最小。

为方便起见，写成统一的数学表达式，分别用x1,x2代替d,H，记

，用f代替w，因此人字架设计最优化问题的数学表达式为：

Min

S.t

注：

后两问不会。