二、填空题
5、如图1.4-3,
是线段AB的垂直平分线,则PA=_________,理由是___________.
图1.4-3图1.4-4图1.4-5
6、如图1.4-4,点Q在∠AOB的平分线上,QA⊥OA,QB⊥OB,A、B分别为垂足,则AQ=_________,理由是___________.
7、如图1.4-5,∠C=90°,∠1=∠2,若BC=10,BD=6,则D到AB的距离为_____________.
8、如图1.4-6,四边形ABCD是轴对称图形,直线
是对称轴,则图中相等的线段有_________________,∠ADC=________,AC⊥_____.
9、如图1.4-7,△ABC中,DE垂直平分AC,与AC交于E,与BC交于D,∠C=150,∠BAD=600,则△ABC是__________三角形.
10、如图1.4-8,△ABC中,∠C=900,DE是AB的垂直平分线,且∠BAD:
∠CAD=4:
1,则∠B=_______.
图1.4-7图1.4-8图1.4-9
11、如图1.4-9,分别作出点P关于OA、OB的对称点P1、P2,连结P1P2,分别交OA、OB于点M、N,若P1P2=5cm,则△PMN的周长为__________________.
三、解答题
12、如图1.4-10,己知AB=AC,DE垂直平分AB交AC、AB于D、E两点,若AB=12cm,BC=10cm,∠A=40º,求△BCE的周长和∠EBC的度数.
13、在Rt△ABC中,∠C=900,BD平分∠ABC交AC于点D,DE垂直平分线段AB,
(1)试找出图中相等的线段,并说明理由。
(2)若DE=1cm,BD=2cm,求AC的长。
图1.4-11
[能力提升]
一、综合渗透
1、如图1.4-12,P是∠AOB的平分线上的一个点,PC⊥AO于C,PD⊥OB于D,写出图中一组相等的线段________(只需写出一组即可).
2、如图1.4-13,在ΔABC中,BC=5cm,BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线,且PD∥AB,PE∥AC,则ΔPDE的周长是___________cm.
3、已知:
∠AOB,点M、N.
求作:
点P,使点P在∠AOB的平分线上,且PM=PN.
(要求:
用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
图1.4-14
二、应用创新
1、如图1.4-15,直线MN表示一条小河的河边,一牧民在点A处放马,现在要到河边去饮水,然后回到帐篷点B处(A、B在小河同旁)。
问饮水地在何处时,才能使他们所走的路最短?
在图中作出表示饮水处的点。
2、
(1)如图1.4-16
(1),作△ABC的两内角∠A、∠B的角平分线,设交点为O,点O在∠C的角平分线上吗?
试说明你的猜想。
你又有什么新的发现?
(2)如图1.4-16
(2)作△ABC的两内角∠A、∠B的外角平分线,设交点为O,点O在∠C的角平分线上吗?
试说明你的猜想。
你又有什么新的发现?
(3)你能用你的发现解决下面的实际问题:
如图1.4-16(3)直线L1、L2、L3表示三条互相交叉的公路,现要建一个加油站,要使它到三条公路的距离相等,画出符合要求的点的位置,共有几个?
3、
(1)作△ABC的两边AB、BC的垂直平分线,设交点为O,点O在线段AC的垂直平分线上吗?
试说明你的猜想。
你有什么新的发现?
你能用你的发现解决下面的实际问题吗?
(2)现有三个村庄甲、乙、丙,现要新建一个水泵站P,使它到三个村庄的距离相等,应建在何处?
(画出点P的位置)
图1.4-16
三、探究发散
1、已知:
如图1.4-17,CDEF是一个矩形的台球面,有黑白两球分别位于点A、B两点,试问怎样撞击黑球A,使A先碰到台边EF反弹后再击中白球B?
2、有一个触壁游戏。
规则如下:
球从P点出发,先触OA壁,反弹后再触壁,再次反弹,┅┅.若(至少经过两次)反弹,球能返回P点,则胜利。
若你来玩这个游戏,假设速度不受其它限制,也不受其他因素干扰,你如何选择第一次的触壁点呢?
图1.4-18
3、如图1.4-19,已知P为∠AOB内任意一点,分别在OA、OB上,求作点P1、P2,使△PP1P2的周长最小。
4、如图1.4-20,AD∥BC,DC⊥AD,AE平分∠BAD,且E是的DC的中点,问AD,BC与AB之间有何关系?
图1.4-2
[链接中考]
1、如图1.4-21,有A、B、C三个居民小区的位置成三角形,现决定在三个小区之间修建一个购物超市,使超市到三个小区的距离相等,则超市应建在().
A.在AC、BC两边高线的交点处
B.在AC、BC两边中线的交点处
C.在AC、BC两边垂直平分线的交点处
D.在∠A、∠B两内角平分线的交点处
2、如图1.4-22,OP平分∠AOB,PC⊥OA于C,PD⊥OB于D,则PC与PD的大小关系()
A.PC>PD B.PC=PD C.PC<PD D.不能确定
图1.4-22
参考答案
[双基锤炼]
一、选择题
1、D2、D3、D4、B
二、填空题
5、PB,线段垂直平分线上的点,到线段两端点的距离相等
6、BQ,角平分线上的点到角的两边的距离相等
7、48、AD=AB,DC=BC,DO=OB,∠ABC,BD
9、直角10、40°
11、5cm
三、解答题
12、△BCE的周长为22cm,∠EBC=30°.
13、
(1)AD=BD(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等).
DC=DE(角平分线上的点到角的两边的距离相等)
(2)AC=3cm.
[能力提升]
一、综合渗透
1、PD=PC或OD=OC2、5
3、画出∠AOB的平分线,画出线段MN的垂直平分线,两直线的交点就是所求作的点P。
二、应用创新
1、如图,点F为饮水点,此时BF+AF最短。
2、
(1)点O在∠C的角平分线上。
由此可以得到三角形的三条内角平分线相交于一点,这点到三条边的距离相等;
(2)点O在∠C的角平分线上。
由此可以得到点O到三条边的距离相等;
(3)符合条件的点有4个:
点G、H、I、J。
第2题图
3、
(1)点O在线段AC的垂直平分线上。
三角形的三条边的垂直平分线相交于一点,该点到三角形的三个顶点的距离相等。
(2)点P的位置如图所示。
第3题图
三、探究发散
1、如图,作出点A关于EF的对称点M,连结BM交EF于点N,则沿AN的方向撞击黑球A,可使A先碰到台边EF反弹后再击中白球B。
第1题图
2、如图所示,分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P′′,连结P′P′′,交OA于点E,则点E为第一次的触壁点。
3、如图所示,分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P′′,连结P′P′′,交OA于点P1,交OB于点P2,则点P1、P2为所要求作的点。
第2题图第3题图
4、AD+BC=AB
[链接中考]
1、D2、B