高中数学直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质练习含答案解析A.docx
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高中数学直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质练习含答案解析A
2.3.3 直线与平面垂直的性质
2.3.4 平面与平面垂直的性质
1.直线与平面垂直的性质定理
自然语言
垂直于同一个平面的两条直线①
符号语言
② ,b⊥α⇒③
图形语言
2.平面与平面垂直的性质定理
自然语言
两个平面垂直,则一个平面内④ 的直线与另一个平面垂直
符号语言
α⊥β,α∩β=l,⑤ ,⑥ ⇒a⊥β
图形语言
判断题
1.若直线a∥直线b,且a⊥平面α,则b⊥平面α.（ ）
2.垂直于同一条直线的两个平面平行.（ ）
3.若α⊥β,a⊂α,则a⊥β.（ ）
4.若α⊥β,α∩β=l,a⊥l,则a⊥β.（ ）
5.α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l,则l⊥γ.（ ）
一、线面垂直性质的应用
1.（2014浙江,6,5分,★★☆）设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.（ ）
A.若m⊥n,n∥α,则m⊥α
B.若m∥β,β⊥α,则m⊥α
C.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥α
D.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α
思路点拨 根据条件确定相应的位置关系,再确定答案.
2.（2015安徽,19改编,★☆☆）如图,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,∠BAC=60°.证明在线段PC上存在点M,使得AC⊥BM,并求
的值.
思路点拨 要使AC⊥BM,需证AC垂直于BM所在的一个平面
在AC上找一点N,使MN⊥AC,BN⊥AC
确定M的位置
求比值
二、面面垂直性质的应用
3.（2012浙江,5,5分,★☆☆）设l是直线,α,β是两个不同的平面（ ）
A.若l∥α,l∥β,则α∥βB.若l∥α,l⊥β,则α⊥β
C.若α⊥β,l⊥α,则l⊥βD.若α⊥β,l∥α,则l⊥β
思路点拨 借助几何图形,逐项验证.
4.（2015陕西,18,12分,★★☆）如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=
AB=BC=
AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到图2中△A1BE的位置,得到四棱锥A1-BCDE.
（1）证明:
CD⊥平面A1OC;
（2）当平面A1BE⊥平面BCDE时,四棱锥A1-BCDE的体积为36
求a的值.
思路点拨
（1）BE⊥A1O,BE⊥OC
BE⊥面A1OC
结论
（2）
题组一 直线与平面垂直的性质
1.已知直线l垂直于直线AB和AC,直线m垂直于直线BC和AC,则直线l,m的位置关系是（ ）
A.平行B.异面C.相交D.垂直
2.若直线a⊥平面α,b∥α,则a与b的位置关系是（ ）
A.a⊥b,且a与b相交B.a⊥b,且a与b不相交
C.a⊥bD.a与b不一定垂直
3.如图,已知矩形ABCD,过A作SA⊥平面AC,再过A作AE⊥SB交SB于点E,过E作EF⊥SC交SC于点F.
（1）求证:
AF⊥SC;
（2）若平面AEF交SD于点G,求证:
AG⊥SD.
题组二 平面与平面垂直的性质
4.若两个平面互相垂直,第一个平面内的一条直线a垂直于第二个平面内的一条直线b,那么（ ）
A.直线a垂直于第二个平面
B.直线b垂直于第一个平面
C.直线a不一定垂直于第二个平面
D.a必定垂直于过b的平面
5.如图,三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面PBC,若PB⊥BC,则△ABC的形状为 .
6.如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分别是CD和PC的中点.求证:
（1）PA⊥底面ABCD;
（2）BE∥平面PAD;
（3）平面BEF⊥平面PCD.
（时间:
45分钟;分值:
60分）
一、选择题（每小题5分,共20分）
1.（2016广东惠州模拟,★☆☆）已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是（ ）
A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行
B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行
C.若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线
D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面
2.（2015山东潍坊模拟,★☆☆）已知面α⊥β,α∩β=l,直线a⊂α,直线b⊂β,a,b与l斜交,则（ ）
A.a和b不垂直但可能平行
B.a和b可能垂直也可能平行
C.a和b不平行但可能垂直
D.a和b既不垂直也不平行
3.（2015北京清华附中月考,★☆☆）PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,C为圆上异于A,B的任意一点,则下列关系不正确的是（ ）
A.PA⊥BCB.BC⊥平面PAC
C.AC⊥PBD.PC⊥BC
4.（2015吉林实验中学质量检测,★☆☆）设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题正确的是（ ）
A.若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n
B.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则n∥m
C.若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α⊥β
D.若m⊥α,n∥m,n∥β,则α⊥β
二、解答题（每小题10分,共40分）
5.（2016福建厦门质检,★☆☆）如图,已知平面ABCD⊥平面BCE,四边形ABCD为矩形,BC=CE,点F为CE的中点.
（1）证明:
AE∥平面BDF;
（2）点M为CD上任意一点,在线段AE上是否存在点P,使得PM⊥BE?
若存在,确定点P的位置,并加以证明;若不存在,请说明理由.
6.（2016辽宁实验中学期末,★★☆）如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AC,且AB⊥AC,M是CC1的中点,N是BC的中点,点P在A1B1上.
（1）若P为A1B1的中点,求证:
NP∥平面ACC1A1;
（2）证明:
PN⊥AM.
7.（2016辽宁六校协作体期末,★★☆）如图,△ABC是边长为2的正三角形,AE⊥平面ABC,且AE=1,平面BCD⊥平面ABC,且BD=CD,BD⊥CD.
（1）求证:
AE∥平面BCD;
（2）求证:
平面BDE⊥平面CDE.
8.（2015北京十三中模拟,★★☆）在长方形ABB1A1中,AB=2AA1=2,C,C1分别是AB,A1B1的中点.将此长方形沿CC1折叠,使平面ACC1A1⊥平面CBB1C1,连接AB,A1B1,D是AB的中点.
（1）求证:
BC1∥平面A1CD;
（2）求证:
平面A1CD⊥平面ABB1A1;
（3）求三棱锥C1-A1CD的体积.
知识清单
①平行 ②a⊥α ③a∥b ④垂直于交线 ⑤a⊂α ⑥a⊥l
1.√ 2.√ 3.× 4.× 5.√
链接高考
1.C 对于选项A、B、D,均能举出m∥α的反例;对于选项C,若m⊥β,n⊥β,则m∥n,又n⊥α,∴m⊥α,故选C.
2.解析 在平面ABC内,过点B作BN⊥AC,垂足为N.在平面PAC内,过点N作MN∥PA交PC于点M,连接BM.由PA⊥平面ABC知PA⊥AC,所以MN⊥AC.由于BN∩MN=N,故AC⊥平面MBN.又BM⊂平面MBN,所以AC⊥BM.
在直角△BAN中,AN=AB·cos∠BAC=
从而NC=AC-AN=
.由MN∥PA,得
=
=
.
3.B 对于选项A:
若l∥α,l∥β,则α与β也可能相交,如图.
对于选项B:
因为l∥α,所以过l作平面γ,使γ∩α=a,则l∥a,因为l⊥β,所以a⊥β,又a⊂α,所以α⊥β.
对于选项C:
可能有l∥β或l⊂β.
对于选项D:
可能有l∥β或l⊂β或l与β相交.
故选B.
4.解析
（1）证明:
在题图1中,
因为AB=BC=
AD=a,E是AD的中点,
∠BAD=
所以BE⊥AC.
则在题图2中,BE⊥A1O,BE⊥OC,
从而BE⊥平面A1OC,
又易知四边形BCDE是平行四边形,
所以CD∥BE,
所以CD⊥平面A1OC.
（2）由已知,平面A1BE⊥平面BCDE,
且平面A1BE∩平面BCDE=BE,
又由
（1）知,A1O⊥BE,
所以A1O⊥平面BCDE,
即A1O是四棱锥A1-BCDE的高.
由题图1知,A1O=
AB=
a,平行四边形BCDE的面积S=BC·AB=a2.
从而四棱锥A1-BCDE的体积为
V=
×S×A1O=
×a2×
a=
a3,
由
a3=36
得a=6.
基础过关
1.A 因为直线l垂直于直线AB和AC,所以直线l垂直于平面ABC,同理,直线m垂直于平面ABC,根据线面垂直的性质定理得l∥m.
2.C 因为b∥α,所以在平面α内存在一条直线c,使得b∥c,因为直线a⊥平面α,c⊂α,所以a⊥c.因为b∥c,所以a⊥b.故选C.
3.证明
（1）∵SA⊥平面AC,BC⊂平面AC,
∴SA⊥BC.
∵四边形ABCD为矩形,∴AB⊥BC,又AB∩SA=A,
∴BC⊥平面SAB,∴BC⊥AE.
又SB⊥AE,SB∩BC=B,∴AE⊥平面SBC,∴AE⊥SC.
又EF⊥SC,EF∩AE=E,∴SC⊥平面AEF,∴AF⊥SC.
（2）∵SA⊥平面AC,∴SA⊥DC.
又AD⊥DC,SA∩AD=A,∴DC⊥平面SAD.∴DC⊥AG.
由
（1）知SC⊥平面AEF,又AG⊂平面AEF,
∴SC⊥AG,又SC∩DC=C,∴AG⊥平面SDC,∴AG⊥SD.
4.C 若b为两个平面的交线,则直线a垂直于第二个平面;若b不是两个平面的交线,则直线a不一定垂直于第二个平面.
5.答案 直角三角形
解析 ∵平面PAB⊥平面PBC,平面PAB∩平面PBC=PB,BC⊥PB,且BC⊂平面PBC,∴BC⊥平面PAB,∴BC⊥AB,∴△ABC为直角三角形.
6.证明
（1）因为平面PAD⊥底面ABCD,且PA⊂平面PAD,PA⊥AD,
所以PA⊥底面ABCD.
（2）因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点,
所以AB∥DE,且AB=DE.
所以四边形ABED为平行四边形.
所以BE∥AD.
又因为BE⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,
所以BE∥平面PAD.
（3）因为AB⊥AD,且四边形ABED为平行四边形,所以BE⊥CD,AD⊥CD.
由
（1）知PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD.
又AD∩PA=A,所以CD⊥平面PAD,
所以CD⊥PD.
因为E和F分别是CD和PC的中点,
所以PD∥EF.所以CD⊥EF.
又因为CD⊥BE,EF∩BE=E,
所以CD⊥平面BEF.
又因为CD⊂平面PCD,
所以平面BEF⊥平面PCD.
三年模拟
一、选择题
1.D 对于A,若α,β垂直于同一平面,则α与β不一定平行,例如墙角处的三个平面,故A错误;对于B,若m,n平行于同一平面,则m与n平行、相交或者异面,故B错误;对于C,若α,β不平行,则在α内存在无数条与β平行的直线,故C错误;对于D,假设两条直线m,n同时垂直于同一个平面,则直线m,n平行,与已知矛盾,故D正确.故选D.
2.D 若a∥b,根据线面平行的判定定理可得a∥β,再由线面平行的性质定理可得a∥l,与已知a与l相交矛盾,所以a和b不平行;因为a,b与l斜交,所以a和b所成的角小于二面角α-l-β的平面角,因为α⊥β,所以a和b所成的角小于90°,即a和b不垂直,故D正确.
3.C 由已知得PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC,即选项A正确;又由已知得AC⊥BC,且AC与PA交于点A,则BC⊥平面PAC,所以BC⊥PC,故选项B,D正确;由PA⊥平面ABC可得PA⊥AC,若AC⊥PB,则AC⊥平面PAB,故AC⊥AB,与AC⊥BC矛盾,所以选项C不正确.故选C.
4.D 选项A,若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则可能m⊥n,m∥n,或m,n异面,故A错误;选项B,若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n,或m,n异面,故B错误;选项C,若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α与β可能相交,也可能平行,故C错误;选项D,若m⊥α,m∥n,则n⊥α,再由n∥β可得α⊥β,故D正确.故选D.
二、解答题
5.解析
（1）证明:
连接AC交BD于O,连接OF.
∵四边形ABCD是矩形,
∴O为AC的中点,又F为EC的中点,
∴OF∥AE,
又OF⊂平面BDF,AE⊄平面BDF,∴AE∥平面BDF.
（2）当P为AE的中点时,PM⊥BE,以下给予证明.
取BE的中点H,连接DP,PH,CH,
∵P为AE的中点,H为BE的中点,
∴PH∥AB,又AB∥CD,
∴PH∥CD,
∴P、H、C、D四点共面.
∵平面ABCD⊥平面BCE,且平面ABCD∩平面BCE=BC,CD⊥BC,
∴CD⊥平面BCE,又BE⊂平面BCE,
∴CD⊥BE.
∵BC=CE,且H为BE的中点,
∴CH⊥BE.
∵CH∩CD=C,
∴BE⊥平面DPHC,
又PM⊂平面DPHC,
∴PM⊥BE.
6.证明
（1）取AC的中点Q,连接A1Q,NQ,
在△ABC中,易知NQ
AB,
又A1P
AB,所以NQ
A1P,所以四边形A1PNQ是平行四边形.
故NP∥A1Q,
又NP⊄平面ACC1A1,A1Q⊂平面ACC1A1,
所以NP∥平面ACC1A1.
（2）在正方形ACC1A1中,
易证Rt△AA1Q≌Rt△CAM,所以∠AA1Q=∠MAC.
又∠AA1Q+∠A1QA=90°,
所以∠MAC+∠A1QA=90°,
故AM⊥A1Q,
又A1B1⊥AA1,由已知得A1B1⊥AC,且AC∩AA1=A,
所以A1B1⊥平面ACC1A1,又AM⊂平面ACC1A1,故A1B1⊥AM.
又A1Q∩A1B1=A1,
所以AM⊥平面A1QNB1,
又PN⊂平面A1QNB1,
所以PN⊥AM.
7.证明
（1）取BC的中点M,连接DM.
因为BD=CD,CM=BM,所以DM⊥BC.
又因为平面BCD⊥平面ABC,DM⊂平面BCD,
所以DM⊥平面ABC,又AE⊥平面ABC,所以AE∥DM.
又因为AE⊄平面BCD,DM⊂平面BCD,
所以AE∥平面BCD.
（2）连接AM.因为BD=CD,BD⊥CD,BC=2,M为BC的中点,
所以DM=1.
由
（1）知AE∥DM,又AE=1,所以DM
AE,
所以四边形DMAE是平行四边形,所以DE∥AM.
因为M为正△ABC中边BC的中点,所以AM⊥BC,
又因为平面BCD⊥平面ABC,
所以AM⊥平面BCD,所以DE⊥平面BCD,
又CD⊂平面BCD,所以DE⊥CD.
因为BD⊥CD,BD∩DE=D,所以CD⊥平面BDE.
因为CD⊂平面CDE,所以平面BDE⊥平面CDE.
8.解析
（1）证明:
连接AC1,设AC1∩A1C=E,连接DE.
由已知得AC=AA1=1,且ACC1A1是正方形,∴E是AC1的中点,又D为AB的中点,
∴ED∥BC1.
又ED⊂平面A1CD,BC1⊄平面A1CD,
∴BC1∥平面A1CD.
（2）证明:
因为AC=BC,D为AB的中点,所以CD⊥AB.
因为CC1⊥AC,CC1⊥BC,且AC∩BC=C,所以CC1⊥平面ABC.
因为BB1∥CC1,所以BB1⊥平面ABC,又CD⊂平面ABC,所以BB1⊥CD.
因为BB1∩AB=B,
所以CD⊥平面AA1B1B.
因为CD⊂平面A1CD,
所以平面A1CD⊥平面AA1B1B.
（3）作DH⊥AC于H,∵CC1⊥平面ABC,
∴CC1⊥DH,又DH⊥AC,AC∩CC1=C,
∴DH⊥平面ACC1A1.
∴DH为D到平面ACC1A1的距离.
∵平面ACC1A1⊥平面CBB1C1且交线是CC1,BC⊂平面CBB1C1,BC⊥CC1,
∴BC⊥平面ACC1A1,
∴BC⊥AC,而DH⊥AC,
∴BC∥DH,又D为AB的中点,BC=1,∴DH=
.
∴
=
=
·
·DH=
×
×1×1×
=
.
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