第一讲 中国数学史中国文明史的重要篇分析.docx
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第一讲中国数学史中国文明史的重要篇分析
第一讲中国数学史——中国文明史的重要篇章
§1.1学习和研究数学史的意义
数学产生于人类的生产实践，数学发明发现的历史揭示了人类智慧的演变和发展过程，是人类认识自然改造自然的真实写照。
然而，今天的数学教科书和数学专业书籍，未能反应出数学发展的历史，反应出人类在发现数学知识过程中所走过的艰难曲折的道路；特别是没能揭示出人类在发现数学知识时数学思想和数学方法的形成过程，而这些正是我们今天学习数学知识乃至将来发展数学科学所必需的。
由此说明我们今天学习和研究数学史的重要意义。
1、通过数学史的学习和研究，认识数学发展的规律，吸收数学发展过程中的经验教训，创造条件，促使数学科学的进步。
数学史告诉我们，数学的发展不是一帆风顺的，它经历了兴盛、衰落、迅速、迟缓的曲折过程，通过历史的回忆，揭示数学的发展规律，发挥历史的借鉴作用，扬长避短，促进数学的迅速发展。
2、通过数学史的学习和研究，能更深刻的认识数学的本质，理解数学的内容和方法，特别是理解重大的数学思想的形成过程，并从中学习创造性的数学思维，探索数学研究的道路和方法。
历史的数学完善过程也是人类的一个认识的完善过程，学生在教师指导下学习不是否定了这一过程而是精练、简化了这一过程，教学中适当地让学生了解一些重要概念，理解概念的诞生背景对培养学生发现概念，理解概念的能力，学好基础知识甚至培养学生的辨证主义观点都是大有裨益的。
3、有句俗话说：
“不知伟人，就不会成为伟人”。
通过数学史的学习和研究，了解历史上的杰出数学家的事迹。
学习他们热爱科学、勇于创新的精神和正确的科研态度与科研方法，提高我们的数学素养和不怕挫折、敢于创造的勇气。
数学史表明，数学概念和数学理论是通过一系列矛盾，汇聚不同方面的成果，点滴积累而成的。
数学家不是万能的。
他们在取得的一项重大成果前，往往要经历艰苦漫长的道路，有成功，也有失败，有迷雾中摸索，也有成果在望前的碰壁。
如牛顿、莱布尼兹、欧拉等开初都曾嘲笑和讽刺过“虚数”，都曾被“无穷小”愚弄过；罗巴切夫斯基在研究非欧几何时遭到同行的挖苦，康托高集合论和超限基数、序数理论时，受到同行权威的攻击达十多年之久，使他一度精神崩溃，但他们对科学都有惊人的毅力，充分发挥了他们的聪明才智，对数学作出了巨大的贡献，成为世界著名数学家。
§1.2数学史的研究对象
数学史是研究数学的发生发展过程及其规律的一门学科。
他的主要研究对象是：
数学史的年代；数学各分支内部发展规律；数学家列传；数学思想方法的历史考察；数学论文杂志和数学经典著作的述评等。
也可以说：
一部数学史应是数学思想的发展史，重大数学成果的博览史，数学大师的贡献史，数学发展与社会生产、科技、政治、军事、文化等的关系史，同时也是人类对自然科学的认识史和反映数学内部矛盾的斗争史。
§1.3中国古代文明概述
中国是世界文明古国之一，地处亚洲东部，濒太平洋西岸。
黄河流域和长江流域是中华民族文化的摇篮，大约在公元前2000年，在黄河中下游产生了第一个奴隶制国家──夏朝（公元前2033?
——公元前1562?
）,共经历十三世、十六王。
其后又有奴隶制国家商（前562年？
—1066年？
共历十七世三十一王）和西周（前1027年?
—前771年,共历约二百五十七年，传十一世、十二王）。
随后出现了中国历史上的第一次全国性大分裂形成的时期──春秋（前770年-前476年）战国（前403年-前221年），春秋后期,中国文明进入封建时代,到公元前221年秦王赢政统一全国,出现了中国历史上第一个封建帝制国家──秦朝（前221年—前206年）,在以后的时间里,中国封建文明在秦帝国的封建体制的基础不断完善地持续发展,经历了统一强盛的西汉（公元前206年—公元8年）帝国、东汉王朝（公元25年—公元220年）、战乱频繁与分裂的三国时期（公元208年-公元280年）、西晋（公元265年—公元316年）与东晋王朝（公元317年—公元420年）、汉民族以外的少数民族统治的南朝（公元420年—公元589年）与北朝（公元386年—公元518年）。
到了公元581年，由隋再次统一了全国，建立了大一统的隋朝（公元581—618年），接着经历了强大富庶文化繁荣的大唐王朝（公元618年—907年）、北方少数民族政权辽（公元916年-公元1125年）、经济和文化发达的北宋（公元960年公元1127年）与南宋（公元1127年-公元1279年）、蒙古族建立的控制范围扩张至整个西亚地区的疆域最大的元朝（公元1271年-1368年）、元朝灭亡后，汉族人在华夏大地上重新建立起来的封建王朝──明朝（公元1368年-公元1644年），明王朝于17世纪中为少数民族女真族（满族）建立的清朝（公元1616年-公元1911年）所代替。
清朝是中国最后一个封建帝制国家。
自此之后，中国脱离了帝制而转入了现代民主国家。
中国文明与古代埃及、美索不达米亚、印度文明一样，都是古老的农耕文明，但与其他文明截然不同，它其持续发展两千余年之久，在世界文明史上是绝无仅有的。
这种文明十分注重社会事务的管理，强调实际与经验，关心人和自然的和谐与人伦社会的秩序，儒家思想作为调解社会矛盾、维系这一文明持续发展的重要思想基础。
第二讲古代数学的萌芽期
§2.1数的萌芽
大约在一百万年前（也可能在两三百万年前），地球上出现了最早的人类。
原始的人类和大自然艰难地搏斗着。
在长期的劳动中，他们不断进步，慢慢地产生了“数”的思想。
他们找到了食物，会想到这是“有”；找不到食物，就会想到“无”。
要是找到大量的食物，他们认为是“多”；得到的食物不够吃，他们认为这是“少”。
有、无和多、少，是我们祖先最早概括出来的“数”的思想。
直到两万五千年前，人们说“用你的枪头换我的鹿”的时候，还只能用一个指头表示一只鹿，三个指头表示三个枪头。
这种一个指头表示一件东西、三个指头表示三件东西的原始计数法，就是他们掌握的全部算术知识了。
在那以后的几千年里，他们一直把任何大于三的数量理解为“一群”，或者“一堆”。
那时候没有城镇和村庄，人们过着群居穴处的生活：
晚上，他们挤在深深的洞窟里，藏在茂密的林木中；白天，成群结队地到处寻找可以猎取的鸟兽，采集能够充饥的浆果、根茎和谷粒。
这种生活是毫无保障的，常常是饥一顿、饱一顿。
在他们的财物中，除了御寒的兽皮、狩猎的武器、盛水的东西，也许还有熊牙或贝壳做的项链。
他们的生活这么简单，当然不需要更多的数学知识，就是那种简单的手指计数，也用得很少。
§2.2识别方向和区分季节
狩猎和采集的生活，更需要识别方向和区分季节的知识。
有了区分季节的知识，就可以知道远处树林里的果实什么时候成熟；有了识别方向的知识，就能够确定怎么去、又怎么回来。
这些知识，是在漫长的年代里，不断积累而丰富起来的。
在一个熟悉的地区漫游生活，山脉、湖泊、河流就能当作指示方向的路标。
可是，原始人很难在一个地方长期定居。
树林里的浆果和块茎，过一段时间就被吃光了；飞禽和走兽，为了躲避人们经常的袭击，也逃到别的地方去了；特别是发生干旱的时候，人们不得不赶快离开熟悉的地方，去寻找新的水源。
在完全陌生的环境里，指示方向的只有日月和星辰了。
太阳是最方便的路标。
海边部落的人们发现：
太阳每天早上从波涛中升起，晚上落到山岗的后面去。
他们就记住：
初升的红日指示着大海的方向；正在下落的夕阳指示着山岗的方向。
晚上，用星辰来确定方向很可靠。
我们不妨想象一下那时候的情景：
夜幕降临，人们在洞口或者土室、窝棚前点起一堆堆篝火，大家围坐在篝火旁边。
他们抬头凝视那神奇的天空——繁星点点，深不可测。
经过了不知多少个夜晚的观察，他们发现：
一些星群组成的简单形状，每天晚上都能辨认出来，而且总是在天空的一定位置上，沿着一定的方向，缓慢地移动着。
在北边的天空上，有一组最引人注目的星群，这就是我们现在说的北斗七星。
北斗七星属于大熊星座，把这个星座比较亮的星合起来看，有点像一只大熊。
斗头上的四颗像是大熊身体的后部，斗柄的三颗像是大熊的尾巴。
离北斗七星不太远的地方，还有一颗相当亮的星，那就是有名的北极星。
它年年月月，总是出现在一定的地方，几百年也很少变化，好像钉在那里不动似的。
天长日久，我们的祖先就懂得了北极星是一个非常理想的路标！
他们在长途跋涉中需要确定方向的时候，就等到夜幕降临，在繁星闪烁的天空，先找到北斗星，把斗顶两颗连成一条直线，再朝着斗口的方向，把这条直线延长五倍的位置，在那个位置上就看到一颗比较亮的星，这就是北极星。
找到了北极星，其他的方向就很容易确定了。
§2.3时间的概念
日月星辰不只是人类最早的路标，还是人类最早的时钟。
生活在热带北部的原始狩猎者，早晨总是看到在阳光下，东西的影子长长地向西指着；中午太阳升到最高点的时候，影子就很短，甚至看不到了；当太阳向西下落的时候，影子又长了，并且不断地向东面伸长。
这样，由影子的长短变化，他们就能够大体估量出白天的时间了。
夜晚，他们发现圆月在空中最高点的时候，恰好是半夜。
经过长久的观察，他们还可以根据一些星群的位置变化，判断夜间的时间。
要知道比一天更长的时间，想来我们的祖先一定是依靠月亮。
一夜接一夜，他们看到月亮慢慢地由圆到缺，最后全看不见了。
过了几个漆黑的夜晚，月牙又重新出现，并且慢侵地又变成圆月。
当圆月升起的时候，一个部落来到一片树林边。
林子的枝头上挂满了果实，可是还没有成熟。
部落中有经验的长者说话了：
现在别摘这些果子，等下次月亮再圆的时候咱们回来，这些果子就好吃啦！
于是，大家又赶到更远的地方去寻找食物。
他们必须按时回来摘取成熟的果实，这就需要计算天数了。
对原始采集者来说，数天数是一个大难题。
可不是嘛！
时间一去不复返，数天数不能象数死鹿那样，把它们摆成一排，扳起指头去数。
开始，他们很可能是在树上或者在棍棒和石头上刻上一道痕，表示过去了一天，刻上两道痕，表示过去了两天。
久而久之，他们发现，两次满月之间总是相隔三十天，并且用一道大点儿的刻痕来表示一次满月。
月复一月，年复一年，他们逐渐察觉到满月的次数和气候的变化有关系。
他们惊奇地发现：
春、夏、秋、冬四季往复一次，恰好是十二次满月的天数——三百六十天。
于是第一个包括四季的月历产生了。
在测定时间方面，埃及人也是根据日月星辰的位置和物
影来确定的。
不过，他们比原始狩猎者和采集者进步得多。
早晨，原始人看到长长的物影，顶多只能说“时间还早啦!
”埃及人有日规，看看有刻度的木条上的影子，就能说出“上午第二个时辰快到了！
”
我们的祖先，就是这样开始有了数数和观察图形的数学知识。
§2.4记数
一万多年前，随着经验的丰富、知识的增长和工具的改进，人类逐渐开创了崭新的生活，这就是学会了种植和饲养！
在回到过去居住过的地方的时候，我们的祖先常常发现，上次被他们无意撒落的谷粒，现在已经发芽生长；被遗弃的小动物也长大了。
慢慢地，他们学会了种植植物，饲养动物。
从此，他们不再四处飘流，靠采摘野菜和浆果生活，而是播种和收获自己的大麦、小麦和谷子，还有豌豆、扁豆和胡萝卜。
在忠实的伙伴——狗的帮助下，他们驯养着羊、猪和牛。
原始的采集者和狩猎者，开始变成了农民和牧民！
定居生活以后，人们的财物越来越多，这就需要经常记录和计算耕具、土地、篱笆、庄稼和畜群了。
最早的记录方法，就是前面说到的，用一个记号表示一件东西、两个记号表示两件东西，叫做“签法”。
在秘鲁，印加人用在绳子上打结来记下收获谷物的捆数。
在我国，也有结绳记数的古老传说。
直到今天，在欧洲、亚洲和非洲的部分地区，还有一些牧羊人用在棍子上刻痕的办法，来计算自己的羊群哩！
第三讲古代数学初期
§3.1数字的表示
原始公社末期，私有制和货物交换产生以后，数与形的概念有了进一步的发展，仰韶文化时期出土的陶器，上面已刻有表示1234的符号。
这说明到原始公社末期，已开始用文字符号取代结绳记数了。
到了我国第二个奴隶制王朝商代（公元前16——公元前12世纪），甲骨文已发展成熟。
河南安阳发掘的殷墟甲骨文及周代金文考古证明，我国当时已采用了“十进位值制记数法”，这是对世界数学最古老、最伟大的贡献（它比埃及的十进制先进，比巴比伦的六十进位制更先进）。
大多数古代数字系统都用十做基数。
我们猜测，人们在开始的时候大概都是用十个手指来数数的。
其实，“十”这个数并没有什么奇特的地方，用别的数做基数也同样很方便。
美洲中部的马雅人以二十为基数，想来他们在开始的时候，很可能
是用手指和脚趾一起来计数的。
据《易．系辞》记载：
「上古结绳而治，后世圣人易之以书契」。
在殷墟出土的甲骨文卜辞中有很多记数的文字。
从一到十，及百、千、万是专用的记数文字，共有13个独立符号，记数用合文书写，其中有十进制的记数法，出现最大的数字为三万。
我们今天知道的最早的书写数字，产生在五千年前的埃及
和美索不达米亚。
埃及人把数字写在一种纸草上，美索不达米亚的巴比伦人把数字写在软粘土上，他们都是用单划表示个位数，用不同的记号表示十位数和更高位的数。
三千年后，罗马人照样采用单划组成一到四的数字，并且至今还有人在用哩！
在我国殷代的甲骨文字中，就有很多是数字。
殷代人已经能用成文数字记录十万以内的自然数。
右图，是殷甲骨文、周秦金文、汉朝时候用的数字和现代汉语中的数字，我们从中可以看出它们之间的演变情况。
§3.2算筹
在春秋、战国时，我国已经广泛
采用“筹”作为计算工具；筹，即小
竹棍或小木棍（也有用骨或金属材料
制作的），这种计算方法称为筹算。
用算筹记数，有纵、横两种方式：
表示一个多位数字时，采用十进位值制，各位值的数目从左到右排列，纵横相间﹝法则是：
一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当﹞，并以空位表示零（如314，可摆成；6708可摆成）。
算筹为加、减、乘、除等运算建立起良好的条件。
筹算一
直在我国沿用了2000多年，直到十五世纪元代末年才逐渐为珠算所取代，中国古代数学就是在筹算的基础上取得其辉煌成就的。
§3.3商高定理
在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方。
这个定理就是勾股定理，在外国称为“毕达哥拉斯定理”（毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年）。
有时称为“百牛定理”。
商高是西周的大夫，我国古代数学家。
关于他的生卒年月及其生涯经历至今难以确考。
从周朝武王在位，可知商高大约是公元前12世纪的人。
商高的主要成就是勾股定理和测量术。
关于勾股定理的发现，《周髀算经》上说：
“故禹之所以治天下者，此数之所由生也。
”“此数"指的是"勾三股四弦五”，这句话的意思就是说：
勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的。
勾股定理的应用非常广泛。
我国战国时期另一部古籍《路史后记十二注》中就有这样的记载：
“禹治洪水决流江河，望山川之形，定高下之势，除滔天之灾，使注东海，无漫溺之患，此勾股之所系生也。
”这段话的意思是说：
大禹为了治理洪水，使不决流江河，根据地势高低，决定水流走向，因势利导，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的灾害，是应用勾股定理的结果。
§3.4其它重要成就
在几何学方面《史记．夏本记》中说夏禹治水时已使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，
战国时期，齐国人着的《考工记》汇总了当时手工业技术的规范，包含了一些测量的内容，并涉及到一些几何知识，例如角的概念。
战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，一些学派还总结和概括出与数学有关的许多抽象概念，著名的有：
《墨经》中关于某些几何名词的定义和命题，例如：
“圆，一中同长也”、“平，同高也”等等。
墨家还给出有穷和无穷的定义。
《庄子》记载了惠施等人的名家学说和桓团、公孙龙等辩者提出的论题，强调抽象的数学思想，例如“至大无外谓之大一，至小无内谓之小一”、“一尺之棰，日取其半，万世不竭”等。
这些许多几何概念的定义、极限思想和其它数学命题是相当可贵的数学思想，但这种重视抽象性和逻辑严密性的新思想未能得到很好的继承和发展。
讲述阴阳八卦，预言吉凶的《易经》已有了组合数学的萌芽，并反映了二进制的思想。
第四讲古代数学体系的形成时期
§4.1概述
这一时期包括从秦汉、魏晋、南北朝，共400年间的数学发展历史。
秦汉是中国古代数学体系的形成时期，为使不断丰富的数学知识系统化、理论化，数学方面的专书陆续出现。
如：
《算数书》、《周髀算经》、《九章算术》等。
§4.2《算数书》：
1984年在湖北省江陵县张家山，出土了一批西汉初年，即吕后至文帝初年（约公元前186年）的竹简，共千余支。
经初步整理，其中有律令、《脉书》、《引书》、历谱、日书等多种古代珍贵的文献，还有一部数学著作，据写在一支竹简背面的字迹辨认，这部竹简算书的书名叫《算数书》。
全书约有200多支竹简，其中完整的有185支，10余根已残破。
经研究，它和《九章算术》有许多相同之处，体例也是“问题集”形式，大多数题都由问、答、术三部分组成，而且有些概念、术语也与《九章算术》的一样。
全书总共约七千多字，有60多个小标题，如“方田”、“少广”、“金价”、“合分”、“约分”、“经分”、“分乘”、“相乘”、“增减分”、“贾盐”、“息钱”、“程未”等等，但未分章或卷。
《算数书》是中国现已发现的最古的一部数学专著，大约比现有传本的《九章算术》还要早近二百年，而且《九章算术》是传世抄本或刊书，《算数书》则是出土的竹筒算书，属于更可珍贵的第一手资料，所以，《算数书》引起了国内外学者的广泛关注，目前正在被深入研究之中。
§4.3《周髀算经》
西汉末年﹝公元前一世纪﹞编纂的《周髀算经》是古人讨论“盖天说”宇宙论的书，是我国最古老的天文学著作。
但包含许多数学内容，在数学方面主要有两项成就：
（1）提出勾股定理的特例及普遍形式；
（2）测太阳高、远的陈子测日法，为后来重差术（勾股测量法）的先驱。
此外，还有较复杂的开方问题和分数运算等。
“髀”的原意是股或股骨，这里意指长8尺用来测量太阳影子的表。
这本书的内容记述了周代的问题，所以叫做《周髀》，它的成书时间大约在公元前100年（或稍晚一些）。
其中第一章叙述了西周开国时候，周公同一个名叫商高的数学家的一段问答。
商高在答话中提到了“勾三、股四、弦五”（即商高定理）。
关于《周髀》有两点值得注意：
一是用文字表示的复杂的分数计算；二是关于勾股定理和用勾股定理测量的记载，这些在世界上都是比较早的。
§4.4《九章算术》
《九章算术》是一部经几代人整理、删补和修订而成的古代数学经典著作，约成书于东汉初年﹝公元前一世纪﹞。
《九章算术》的出现标志着中国数学体系开始形成。
全书采用问题集的形式编写，共收集了246个问题及其解法，分属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九章。
主要内容包括：
第一章，「方田」：
平面图形面积的量法及算法，如矩形、三角形、圆、弧形、环形等的田地的求积公式，及分数算法，包括加减乘除法、约分﹝将分母，分子用辗转相除法求出它的最大公约数再作约分﹞、分数大小的比较及求几个分数的算术平均数等。
第二章，「粟米」：
各种粮食交换之间的计算，讨论比例算法。
第三章，「衰分」：
比例分配问题。
第四章，「少广」：
多位数开平方，开立方的法则。
第五章，「商功」：
立体形体积的计算。
第六章，「均输」：
处理行程和合理解决征税的问题，尤其是与人们从本地运送谷物到京城交税所需的时间有关的问题，还有一些与按人口征税有关的问题，其中还夹杂着衰分、比例及各种杂题。
第七章，「盈不足」：
算术中的盈亏问题的算法，实际上就是现在的线性插值法，它还有许多名称，如试位法、夹叉求零点、双假设法等都是一项令人惊奇的创造。
第八章，「方程」：
有关一次方程组的内容，最后还有不定方程。
将方程组的系数和常数项用算筹摆成「方程」，这是《九章算术》中解多元一次方程组的方法，而整个消元过程则相当于代数中的线性变换。
在方程章里提出了正负数的不同表示法和正负数的加减法则。
在世界数学史上都是最早的记载。
第九章，「勾股」：
专门讨论用勾股定理解决应用问题的方法。
就《九章算术》的特点来说，它注重应用，注重理论联系实际，形成了以筹算为中心的数学体系，对中国古算影响深远。
它的一些成就如十进制值制、今有术、盈不足术等还传到印度和阿拉伯，并通过这些国家传到欧洲，促进了世界数学的发展。
第五讲古代数学稳步发展时期
§5.1概述
这一时期包括魏晋南北朝至隋唐，即公元221——907年。
这正好是封建关系发展的历史阶段。
农业生产有了显著的发展。
水利事业、手工业及商业也都有较大的发展，因而与生产有密切的历法、数学等，都有了新的成就；最为杰出的数学家有赵爽、刘徽、祖冲之、祖暅、曾一行等。
魏晋时期中国数学在理论上有了较大的发展。
其中赵爽（生卒年代不详）和刘徽（生卒年代不详）的工作被认为是中国古代数学理论体系的开端。
南北朝时期的社会长期处于战争和分裂状态，但数学的发展依然蓬勃。
出现了《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》等算学著作。
公元五世纪，祖冲之、祖暅父子的工作在这一时期最具代表性，他们在《九章算术》刘徽注的基础上，将传统数学大大向前推进了一步，成为重视数学思维和数学推理的典范。
隋朝大兴土木，客观上促进了数学的发展。
隋唐时期是中国封建教育制度建立时期，随着科举制度与国子监制度的确立，数学教育有了长足的发展。
由于南北朝时期的一些重大天文发现在隋唐之交开始落实到历法编算中，使唐代历法中出现一些重要的数学成果。
公元600年，隋代刘焯在制订《皇极历》时，在世界上最早提出了等间距二次内插公式，这在数学史上是一项杰出的创造，
唐朝后期，计算技术有了进一步的改进和普及，出现很多种实用算术书，对于乘除算法力求简捷。
§5.2赵爽
赵爽，三国时期东吴的数学家，是中国古代对数学定理和公式进行证明的最早的数学家之一。
对《周髀算经》做了详尽的注释。
赵爽所作的《周髀算经注》中有一篇《勾股圆方图注》全文五百余字，并附有一幅插图（已失传），这篇注文简练地总结了东汉时期勾股算术的重要成果，最早给出并严格证明了有关勾股弦三边及其和、差关系的二十多个命题（包含勾股定理），他的证明主要是依据几何图形面积的换算关系。
他的方法已体现了割补原理的重要思想。
赵爽还在《勾股圆方图注》中用几何方法推导出二次方程
（其中a>0,A>0）的求根公式：
赵爽在《日高图注》中利用几何图形面积关系，给出了“重差术”的证明。
（汉代天文学家测量太阳高、远的方法称为重差术）。
§5.3刘徽
刘徽（生于公元250年左右），三国魏人（现今山东人），是中国数学史上一个非常伟大的数学家，在世界数学史上，也占有杰出的地位．他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产．
263年，刘徽注释《九章算术》，在《九章算术注》中不仅对原书的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，系统地阐述了中国传统数学的理论体系与数学原理，显示了他在多方面的创造性的贡献．
他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根．
在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则；改进了线性方程组的解法．
在几何方面，提出了“割圆术”，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法．他利用割圆术科学地求出了圆周率π=3.14的结果．刘徽在割圆术中提出的"割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣"，这可视为中国古代极限观念的佳作，阐明了积分学上计算长度和面积的基础。
为解决球体积公式的问题而构造了“牟合方盖”的几何模型，为祖暅获得正确结果开辟了道路；为建立多面体体积理论，运用极限方法成功地证明了阳马术；他还撰著《海岛算经》，发扬了古代勾股测量
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