数学苏教版数列教案.docx

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数学苏教版数列教案

数学苏教版必修5：

数列（教案）

第一课时数列

（一）

教学目标：

理解数列的概念、表示、分类、通项等基本概念，了解数列和函数之间的关系，了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项，对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式；培养学生认真观察的习惯，培养学生从特殊到一般的归纳能力，提高观察、抽象的能力.

教学重点：

1.理解数列概念；

2.用通项公式写出数列的任意一项.

教学难点：

根据一些数列的前几项抽象、归纳出数列的通项公式.

教学过程：

Ⅰ.复习回顾

在前面第二章中我们一起学习了有关映射与函数的知识，现在我们再来回顾一下函数的定义.

如果A、B都是非空的数集，那么A到B的映射f︰A→B就叫做A到B的函数，记作：

y＝f（x），其中x∈A，y∈B.

Ⅱ.讲授新课

在学习第二章函数知识的基础上，今天我们一起来学习第三章数列有关知识，首先我们来看一些例子.

1，2，3，4，...，50①

1，2，22，23，...，263②

15，5，16，16，28③

0，10，20，30，...，1000④

1，0.84，0.842，0.843，...⑤

请同学们观察上述例子，看它们有何共同特点？

它们均是一列数，它们是有一定次序的.

引出数列及有关定义.

1.定义

（1）数列：

按照一定次序排成的一列数.

看来上述例子就为我们所学数列.那么一些数为何将其按照一定的次序排列，它有何实际意义呢？

也就是说和我们生活有何关系呢？

如数列①，它就是我们班学生的学号由小到大排成的一列数.

数列②，是引言问题中各个格子里的麦粒数按放置的先后排成的一列数.

数列③，好像是我国体育健儿在五次奥运会中所获金牌数排成的一列数.

数列④，可看作是在1km长的路段上，从起点开始，每隔10m种植一棵树，由近及远各棵树与起点的距离排成的一列数.

数列⑤，我们在化学课上学过一种放射性物质，它不断地变化为其他物质，每经过1年，它就只剩留原来的84%，若设这种物质最初的质量为1，则这种物质各年开始时的剩留量排成一列数，则为：

1，0.84，0.842，0.843，....

诸如此类，还有很多，举不胜举，我们学习它，掌握它，也是为了使我们的生活更美好，下面我们进一步讨论，好吗？

现在，就上述例子，我们来看一下数列的基本知识.

比如，数列中的每一个数，我们以后把其称为数列的项，各项依次叫做数列的第1项（或首项），第2项，...，第n项，....

那么，数列一般可表示为a1，a2，a3，...，an，....其中数列的第n项用an来表示.

数列还可简记作{an}.

数列{an}的第n项an与项数n有一定的关系吗？

数列①中，每一项的序号与这一项有这样的对应关系：

序号123...50↓↓↓...↓项123...50

即数列的每一项就等于其相对应的序号.也可以用一式子：

an=n（1≤n≤50）来表示.且n∈N*）

数列②中，每一项的序号与这一项的对应关系为：

序号123...64↓↓↓...↓项1222...263↓↓↓...↓2°2122...263↓↓↓...↓21－122－123－1...264－1

即：

an＝2n－1（n为正整数，且1≤n≤64）

数列④中：

序号123...101↓↓↓...↓项01020...1000↓↓↓...↓10×010×110×2...10×100↓↓↓...↓

10×（1－1）

10×（2－1）

10×（3－1）...10×（101－1）

∴an＝10（n－1）（n∈N*且1≤n≤101）.

数列⑤中：

序号1234...↓↓↓↓...项10.840.8420.843...↓↓↓↓...0.8400.8410.8420.843...

∴an＝0.84n－1（n≥1且n∈N*）

数列{an}的第n项an与n之间的关系都可以用这样的式子来表示吗？

不是，如数列③的项与序号的关系就不可用这样的式子来表示.

综上所述，如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.

即：

只要依次用1，2，3，...代替公式中的n,就可以求出该数列相应的各项.

下面，我们来练习找通项公式.

1，，，，....①

1，0.1，0.01，0.001，....②

－1，1，－1，1，....③

2，2，2，2，2，2.④

1，3，5，7，9，....⑤

得出数列①的通项公式为：

an＝且n∈N*.

数列②可用通项公式：

an＝，（n∈N*，n≥1）来表示.

数列③的通项公式为：

an＝（－1）n（n∈N*）或an＝

数列④的通项公式为：

an＝2（n∈N*且1≤n≤6）

数列⑤的通项公式为：

an＝2n－1（n∈N*）.

数列与数集的区别和联系.

在数列的定义中，要强调数列中的数是按一定次序排列的；而数集中的元素没有次序.

例如，数列4，5，6，7，8，9与数列9，8，7，6，5，4是不同的两个数列.如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列.而数集中的元素若相同，则为同一集合，与元素的次序无关.

数列中的数是可以重复出现的，而数集中的数是不允许重复出现的.如上数列③与④，均有重复出现的数.

数列与数的集合都是具有某种共同属性的数的全体.

{an}与an又有何区别和联系？

{an}表示数列；an表示数列的项.具体地说，{an}表示数列a1，a2，a3，a4，...，an，...，而an只表示这个数列的第n项.其中n表示项的位置序号，如：

a1，a2，a3，an分别表示数列的第1项，第2项，第3项及第n项.

数列是否都有通项公式？

数列的通项公式是否是惟一的？

从映射、函数的观点来看，数列也可看作是一个定义域为正整数集N*（或它们的有限子集{1，2，3，...，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式.

对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象.看来，数列也可以根据其通项公式画出其对应图象，下面请同学们练习画数列①、⑤的图象.

根据所求通项公式画出数列⑤、①的图象，并总结其特点：

特点：

它们都是一群弧立的点.

（5）有穷数列：

项数有限的数列.如数列④只有6项，是有穷数列.

（6）无穷数列：

项数无限的数列.如数列①、②、③、⑤都是无穷数列.

2.例题讲解

［例1］根据下面数列{an}的通项公式，写出它的前5项：

（1）an＝；

（2）an＝（－1）n·n

分析：

由通项公式定义可知，只要将通项公式中n依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项.

解：

（1）在an＝中依次取n＝1，2，3，4，5，得到数列{}的前5项分别为：

，，，，.即：

a1＝；a2＝；a3＝；a4＝；a5＝.

（2）在an＝（－1）n·n中依次取n＝1，2，3，4，5，得到数列{－1n·n}的前5项分别为：

－1，2，－3，4，－5.

即：

a1＝－1；a2＝2；a3＝－3；a4＝4；a5＝－5.

［例2］写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：

（1）1，3，5，7；

（2），，，

（3）－，，－，.

分析：

认真观察各数列所给出项，寻求各项与其项数的关系，归纳其规律，抽象出其通项公式.

解：

（1）序号：

1234↓↓↓↓项：

1＝2×1－1

3＝2×2－1

5＝2×3－1

7＝2×4－1

规律：

这个数列的前4项1，3，5，7都是序号的2倍减去1，所以它的一个通项公式是an＝2n－1；

（2）序号：

1234↓↓↓↓

项分母：

2＝1＋13＝2＋14＝3＋15＝4＋1↓↓↓↓

项分子：

22－132－142－152－1

规律：

这个数列的前4项，，，的分母都是序号加上1，分子都是分母的平方减去，所以它的一个通项公式是：

an＝；

（3）序号：

1234↓↓↓↓项：

－－‖‖‖‖

（－1）1

（－1）2

（－1）3

（－1）4

规律：

这个数列的前4项－，，－，的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是：

an＝（－1）n·.

Ⅲ.课堂练习

课本P32练习1，2，3，4，5，6

Ⅳ.课时小结

对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的一些项求一些简单数列的通项公式.

Ⅴ.课后作业

课本P32习题1，2，3

数列

（一）

1．把自然数的前五个数①排成1，2，3，4，5；②排成5，4，3，2，1；③排成3，1，4，2，5；④排成2，3，1，4，5，那么可以叫做数列的有个

A.1B.2C.3D.4

2．已知数列的{an}的前四项分别为1，0，1，0，则下列各式可作为数列{an}的通项公式的个数有（）

①an＝[1＋（－1）n+1]；

②an＝sin2；（注n为奇数时，sin2＝1；n为偶数时，sin2＝0.）；

③an＝[1＋（－1）n+1]＋（n－1）（n－2）；

④an＝，（n∈N*）（注：

n为奇数时，cosnπ＝－1，n为偶数时，cosnπ＝1）；

⑤an＝

A.1个B.2个C.3个D.4个

3．数列－1，，－，，...的一个通项公式an是（）

A.（－1）nB.（－1）n

C.（－1）nD.（－1）n

4．数列0，2，0，2，0，2，......的一个通项公式为（）

A.an＝1＋（－1）n－1B.an＝1＋（－1）n

C.an＝1＋（－1）n+1D.an＝2sin

5．以下四个数中是数列{n（n＋1）}中的一项的是（）

A.17B.32C.39D.380

6．数列2，5，11，20，x，47，......中的x等于（）

A.28B.32C.33D.27

7．数列1，2，1，2，1，2的一个通项公式是.

8．求数列，，，...的通项公式.

数列

（一）答案

1．分析：

按照数列定义得出答案.

评述：

数列的定义中所说的"一定次序"不是要求按自然数次序，所以①②③④这四种排法都可叫做数列.答案：

D

2．分析：

要判别某一公式不是数列的通项公式，只要把适当的n代入an，其不满足即可，如果要确定它是通项公式，必须加以一定的说明.

解：

对于③，将n＝3代入，a3＝3≠1，故③不是{an}的通项公式；由三角公式知；②和④实质上是一样的，不难验证，它们是已知数列1，0，1，0的通项公式；对于⑤，易看出，它不是数列{an}的通项公式；①显然是数列{an}的通项公式.

综上可知，数列{an}的通项公式有三个，即有三种表示形式.答案：

C

3．D4．B5．D

6．解析：

∵5＝2＋3×1，11＝5＋3×2，20＝11＋3×3，

∴x＝20＋3×4＝32.答案：

B

评述：

用观察归纳法写出数列的一个通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律、观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，要能观察出特点，观察出项与项数之间的关系、规律，这类问题就是要观察各项与项数之间的联系，利用我们熟知的一些基本数列（如自然数列、奇偶数列、自然数的前n项和数列、自然数的平方数列、简单的指数数列，...），建立合理的联想、转换而达到问题的解决.

7．an＝1＋[1＋（－1）n].

8．求数列，，，...的通项公式.

分析：

可通过观察、分析直接写出其通项公式，也可利用待定系数法求通项公式.

解：

通过观察与分析，不难写出其三个分数中分母5，15，35，...的一个通项公式

10·2n－1－5.

故所求数列的通项公式为：

an＝.