最新08第八节傅里叶级数.docx

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最新08第八节傅里叶级数

08第八节傅里叶级数

第八节傅里叶级数

分布图示

★引言★引例

★三角函数系的正交性

★傅里叶级数的概念★狄利克雷收敛定理

★例1★例2★例3

★非周期函数的周期延拓★例4

★利用傅氏展开式求数项级数的和

★正弦级数与余弦级数★例5★例6

★函数的奇延拓与偶延拓★例7★例8

★内容小结★课堂练习

★习题12-8★返回

内容要点

一、三角级数三角函数系的正交性

早在18世纪中叶，丹尼尔.伯努利在解决弦振动问题时就提出了这样的见解：

任何复杂的振动都可以分解成一系列谐振动之和.这一事实用数学语言来描述即为：

在一定的条件下，任何周期为«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»的函数«SkipRecordIf...»，都可用一系列以«SkipRecordIf...»为周期的正弦函数所组成的级数来表示，即

«SkipRecordIf...»（8.1）

其中«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»都是常数.

十九世纪初，法国数学家傅里叶曾大胆地断言：

“任意”函数都可以展成三角级数.虽然他没有给出明确的条件和严格的证明，但是毕竟由此开创了“傅里叶分析”这一重要的数学分支，拓广了传统的函数概念.傅里叶的工作被认为是十九世纪科学迈出的极为重要的第一个大步，它对数学的发展产生的影响是他本人及同时代的其他人都难以预料的.而且，这种影响至今还在发展之中.这里所介绍的知识主要是由傅里叶以及与他同时代的德国数学家狄利克雷等人的研究结果.

二、函数展开成傅里叶级数

傅里叶系数«SkipRecordIf...»（8.5）

将这些系数代入（8.4）式的右端，所得的三角级数

«SkipRecordIf...»（8.6）

称为函数«SkipRecordIf...»的傅里叶级数.

定理1（收敛定理，狄利克雷充分条件）设«SkipRecordIf...»是周期为«SkipRecordIf...»的周期函数.如果«SkipRecordIf...»满足在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，并且至多只有有限个极值点.则«SkipRecordIf...»的傅里叶级数收敛，并且

（1）当x是«SkipRecordIf...»的连续点时,级数收敛于«SkipRecordIf...»；

（2）当x是«SkipRecordIf...»的间断点时,收敛于«SkipRecordIf...».

狄利克雷收敛定理告诉我们：

只要函数«SkipRecordIf...»在区间«SkipRecordIf...»上至多只有有限个的第一类间断点，并且不作无限次振动，则函数«SkipRecordIf...»的傅里叶级数在函数的连续点处收敛于到该点的函数值，在函数的间断点处收敛于该点处的函数的左极限与右极限的算术平均值.由此可见，函数展开成傅里叶级数的条件要比函数展开成幂级数的条件低得多.

三、周期延拓：

在区间«SkipRecordIf...»或«SkipRecordIf...»外补充«SkipRecordIf...»的定义，使它拓广成一个周期为«SkipRecordIf...»的周期函数«SkipRecordIf...»，这种拓广函数定义域的方法称为周期延拓.

四、正弦级数与余弦级数：

一般地,一个函数的傅里叶级数既含有正弦项,又含有余弦项（例2），但是,也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项（例1）或者只含有常数项和余弦项（例4），导致这种现象的原因与所给函数的奇偶性有关。

即：

奇函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数.

偶函数的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数.

五、奇延拓与偶延拓

奇延拓令

«SkipRecordIf...»

则«SkipRecordIf...»是定义在«SkipRecordIf...»上的奇函数，将«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上展开成傅里叶级数，所得级数必是正弦级数.再限制«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上，就得到«SkipRecordIf...»的正弦级数展开式.

偶延拓令

«SkipRecordIf...»

则«SkipRecordIf...»是定义在«SkipRecordIf...»上的偶函数，将«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上展开成傅里叶级数，所得级数必是余弦级数.再限制«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上，就得到«SkipRecordIf...»的余弦级数展开式.

例题选讲

函数展开成傅里叶级数

例1（E01）将以«SkipRecordIf...»为周期的函数«SkipRecordIf...»展开成傅里叶级数.

解«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»

«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»

«SkipRecordIf...»

所以函数«SkipRecordIf...»的傅里叶级数展开式为

«SkipRecordIf...»

注意到函数«SkipRecordIf...»满足狄利克雷收敛定理的条件.它在点«SkipRecordIf...»处有第一类间断，在其它点处连续.因此,«SkipRecordIf...»的傅里叶级数收敛，并且当«SkipRecordIf...»时收敛于«SkipRecordIf...»或«SkipRecordIf...»当«SkipRecordIf...»时收敛于«SkipRecordIf...»即«SkipRecordIf...»的傅里叶级数的和函数为

«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»

和函数的图形如图所示.故«SkipRecordIf...»的傅里叶级数展开式为

«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»

注：

如果将本例中的函数«SkipRecordIf...»理解为矩形波的波形函数，则«SkipRecordIf...»的展开式表明：

矩形波是由一系列不同频率的正弦波的叠加而成的.

例2设«SkipRecordIf...»是周期为«SkipRecordIf...»的周期函数，它在«SkipRecordIf...»上的表达式为

«SkipRecordIf...»

试将函数«SkipRecordIf...»展开成傅立叶级数.

解先求«SkipRecordIf...»的傅里叶级数.

«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»

«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»

«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»

«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»

所以函数«SkipRecordIf...»的傅里叶级数为

«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»

并且在上述间断点处级数收敛于«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»

在其它点收敛于«SkipRecordIf...»本身.即«SkipRecordIf...»的傅里叶级数的和函数

«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»

和函数的图形如图.

故«SkipRecordIf...»的傅里叶展开式为

«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»

«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»

«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»

例4（E03）将函数«SkipRecordIf...»展开成傅里叶级数.

解所给函数满足狄利克雷充分条件.拓广的周期函数的傅氏级数展开式在«SkipRecordIf...»收敛于«SkipRecordIf...»

«SkipRecordIf...»

«SkipRecordIf...»

«SkipRecordIf...»

«SkipRecordIf...»

所给函数的傅氏展开式

«SkipRecordIf...»

正弦级数与余弦级数

例5（E04）试将函数«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»展开成傅里叶级数.

解题设函数满足狄利克雷收敛定理的条件，但作周期延拓后的函数«SkipRecordIf...»在区间的端点«SkipRecordIf...»和«SkipRecordIf...»处不连续.故«SkipRecordIf...»的傅里叶级数在区间«SkipRecordIf...»内收敛于和«SkipRecordIf...»在端点收敛于«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»和函数的图形如图（见系统演示）.因«SkipRecordIf...»是奇函数,

故其傅里叶系数«SkipRecordIf...»

«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»

于是«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»

例6将函数«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»展开成傅里叶级数.

解题设函数满足狄利克雷收敛定理的条件，且作周期延拓后的函数«SkipRecordIf...»在区间«SkipRecordIf...»上处处连续.故«SkipRecordIf...»的傅里叶级数在区间«SkipRecordIf...»上收敛于和«SkipRecordIf...»和函数的图形如图所示.注意到«SkipRecordIf...»是偶函数，故其傅里叶系数

«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»

«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»

«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»

«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»

于是得到所求函数的傅里叶级数

«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»

奇延拓与偶延拓

例7（E05）将函数«SkipRecordIf...»分别展开成正弦级数和余弦级数.

解先求正弦级数.为此对«SkipRecordIf...»进行奇延拓，则

«SkipRecordIf...»

«SkipRecordIf...»

«SkipRecordIf...»

«SkipRecordIf...»

于是«SkipRecordIf...»

再求余弦级数.为此对«SkipRecordIf...»进行偶延拓，则

«SkipRecordIf...»

«SkipRecordIf...»

«SkipRecordIf...»

故«SkipRecordIf...»

例8（E06）应当如何把给定在区间«SkipRecordIf...»内满足狄利克雷收敛定理且连续的函数«SkipRecordIf...»延拓到区间«SkipRecordIf...»内,而使它的傅里叶级数展开式为

«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»

解由于展开式中无正弦项,故«SkipRecordIf...»延拓到«SkipRecordIf...»内应满足«SkipRecordIf...»设函数«SkipRecordIf...»延拓到«SkipRecordIf...»的部分记为«SkipRecordIf...»则按题意,有

«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»

由«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»

于是«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»

为要上式成立，只要对每一个«SkipRecordIf...»使«SkipRecordIf...»即«SkipRecordIf...»

故首先要在«SkipRecordIf...»内定义一个函数，使它等于«SkipRecordIf...»然后，再按偶延拓把«SkipRecordIf...»延拓到

«SkipRecordIf...»不妨将延拓到«SkipRecordIf...»上的函数仍记为«SkipRecordIf...»则由上面讨论知

«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»

«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»

课堂练习

1.若函数«SkipRecordIf...»问:

«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»的傅里叶系数«SkipRecordIf...»、«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»之间有何关系？

2.设函数«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»而«SkipRecordIf...»傅里叶级数为

«SkipRecordIf...»

其中«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»为此傅里叶级数的和，求«SkipRecordIf...»

狄利克雷（Dirichlet,PeterGustavLejeune，1805~1859）

狄利克雷（德国数学家，1805年2月13日生于德国迪伦；1859年5月5日卒于格丁根。

狄利克雷生活的时代，德国的数学正经历着以C.F.高斯（Gauss）为前导的、由落后逐渐转为兴旺发达的时期。

狄利克雷以其出色的数学教学才能，以及在数论、分析和数学物理等领域的杰出成果，成为高斯之后与C.G.J.雅强比（Jacobi）齐名的德国数学界的一位核心人物。

狄利克雷出身于行政官员家庭，他父亲是一名邮政局长。

狄利克雷少年时即表现出对数学的浓厚兴趣，据说他在12岁前就自攒零钱购买数学图书。

1817年入波恩的一所中学，除数学外，他对近代史有特殊爱好；人们称道他是个能专心致志又品行优良的学生。

两年后，他遵照父母的意愿转学到科隆的一所教会学校，在那里曾从师物理学家G.欧姆（Ohm），学到了必要的物理学基础知识。

16岁通过中学毕业考试后，父母希望他攻读法律，但狄利克雷已选定数学为其终身职业。

当时的德国数学界，除高斯一人名噪欧洲外，普遍水平较低；又因高斯不喜好教学，于是狄利克雷决定到数学中心巴黎上大学，那里有一批灿如时星的数学家，诸如P.S.拉普拉斯、A.勒让德等。

1822年5月，狄利克雷到达巴黎，选定在法兰西学院和巴黎理学院攻读。

1825年，狄利克雷向法国科学院提交他的第一篇数学论文，题为“某些五次不定方程的不可解”。

他利用代数数论方法讨论形如«SkipRecordIf...»的方程。

几周后，勒让德利用该文中的方法证明了«SkipRecordIf...»

当«SkipRecordIf...»时无整数解；狄利克雷本人不久也独立证明了同一结论。

1825年11月，法伊将军去。

1826年，狄利克雷在为振兴德国自然科学研究而奔走的A.洪堡的影响下，返回德国，在布雷斯劳大学获讲师资格，后升任编外教授（介于正式教授和讲师之间的职称）。

1828年，狄利克雷又经洪堡的帮助来到学术空气较浓厚的柏林，任教于柏林军事学院。

同年，他又被聘为柏林大学编外教授（后升为正式教授），开始了他在柏林长达27年的教学与研究生涯。

由于他讲课清晰，思想深邃，为人谦逊，谆谆善诱，培养了一批优秀数学家，对德国在19世纪后期成为国际上又一个数学中心产生了巨大影响。

1831年，狄利克雷成为柏林科学院院士。

1855年高斯去世，狄利克雷被选定作为高斯的继续任到格丁根大学任教。

与在柏林繁重的教学任务相比，他很欣赏在格丁根有更多自由支配的时间从事研究。

可惜美景不长，1858年夏他去世瑞士蒙特勒开会，作纪念高斯的演讲，在那里突发心脏病。

狄利克雷虽平安返回了格丁根，但在病中遭夫人中风身亡的打击，病情加重，于1859年春与世长辞。

傅里叶（Fourier,JeanBaptisteJoseph，1768~1830）

傅里叶，法国数学家，1768的3月21日生于法国奥塞尔；1830年5月16日卒于巴黎。

傅里叶出身平民，父亲是位裁缝。

9岁时双亲亡故，以后由教会送入镇上的军校就读，表现出对数学的特殊爱好。

他还有志于参加炮兵或工程兵，但因家庭地位低贫而遭拒绝。

后来希望到巴黎在更优越的环境下追求他有兴趣的研究。

可是法国大革命中断了他的计划，于1789年回到家乡奥塞尔的母校执教。

在大革命时期，傅里叶以热心地方事务而知名，并因替当时恐怖行为的受害者申辩而被捕入狱。

出狱后，他曾就读于巴黎师范学校，虽为期甚短，其数学才华却给人以深刻印象。

1795年，当巴黎综合工科学校成立时，即被任命为助教。

这一年他还讽刺地被当作罗伯斯庇尔的支持者而被捕，经同事营救获释。

1989年，蒙日选派他跟随破仑远征埃及。

在开罗，他担任埃及研究院的秘书，并从事许多外交活动。

但同时他仍不断地进行个人的业余研究，即数学物理方面的研究。

1801年回到法国后，傅里叶希望继续执教于巴黎综合工科学术，但因拿仑常识他的行政才能，任命他为伊泽尔地区首府格勒诺布尔的高级官员。

由于正声卓著，1808年拿仑又授予他男爵称号。

此后几经宦海浮沉，1815年，付里叶终于在拿破仑百日王朝的尾期辞去爵位和官职，毅然返回巴黎以图全力投入学术研究。

但是，失业、贫困以及政法名声的落潮，这时的付里叶处于一生中最艰难的时期。

由于得到昔日现事和学生的关怀，为他谋得统计局主管之职，工作不繁重，所入足以为生，使他得以继续从事研究。

1816年，傅里叶被提名为法国科学院的成员。

初时因怒其与拿破仑的关系而为路易十

八所拒。

后来，事情澄清，于1817年就职科学院，其声誉又随之迅速上升。

他的任职得到了当时年事已高的拉普拉斯的支持，却不断受到泊松的反对。

1827年，他又被选为科学院的终身秘书，这是极有权力的职们。

1827年，他又被选为法兰西学院院士，还被英国皇家学会选为外国会员。

傅里叶一生为人正直，他曾对许多年轻的数学家和科学家给予无私的支持和真挚的鼓励，从而得到他的忠诚爱戴，并成为他拉的至交好友。

有一件令人遗憾的事，就是付里叶收到伽罗瓦的关于群论的论文时，他因病情严重而未阅，以至论文手稿失去下落。

傅里叶去世后，在他的家乡为他树立了一座青铜像。

20世纪以后，还以他的名字命名了一所学校，以示人们对他的尊敬和纪念。

纵观傅里叶一生的学术成就，他的最突出的贡献就是他对热传问题的研究和新的普遍性数学方法的创造，这就是为数学物理的前进开辟了康庄大道，极大地推动了应用数学的发展，从而也有力在推动了物理学的发展。

傅里叶大胆地断言：

“任意”函数都可以展成三角级数，并且列举大量函数和动用图形来说明函数的三角级数的普遍性。

虽然他没有给出明确的条件和严格的证明，但是毕竟由此开创出“傅里叶分析”这一重要的数学分支，拓广了传统的函数概念。

傅里叶的工作对数学的发展产生的影响是他本人及其同时代人都难以预料的。

而且，这种影响至今还在发展之中。