数列极限的求法探讨.docx
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数列极限的求法探讨
数列极限的求法探讨
关于数列极限的求法探讨
摘要:
数列极限是高等数学中最重要的概念之一，本文主要探讨了数学分析中数列极限求解的几种思路和方法，结合具体的例题分析了一般极限的求解过
程，给出了一般极限求解的方法和技巧，揭示了极限求解的解题思路•
关键词:
数列极限单调有界归结原则
极限是数学分析中最基本的概念之一，用以描述变量在一定变化过程中的终极状态。
纵观数学的发展，我们可以看到人们对于极限概念的认识经历了一段漫长的过程。
它把初等数学扩展为一个新的阶段一一变量数学，整个数学分析都是以极限为基础而展开的一门数学科学。
利用极限定义了函数的连续性、
导数、积分等。
同时我们还知道求极限的方法并不是唯一的。
本文主要结合相关概念、定理、性质和例题，对数学分析中极限求解的相关的方法予以归纳总结•
本文主要结合相关概念、定理、性质和例题，对数学分析中数列极限求解的相关的方法予以归纳总结•
1.利用定义求数列极限
定义11:
（点列Xn以X。
为极限的定义）对于任意给定的0,存在正整数N0,当nN时，|焉X。
，则称点列Xn当■趋于无穷时以x|为极限•记为limXnXo.（n必须用公式编辑器中的符号）
n
因此
，解此不等式得n恙
1.
0,取N一L_1,当nN时，有
a1
这说明lim丄0a1.
n
Xn，有
注：
用极限的定义时，只需要证明存在N，故求解的关键在于不等式的建立
在求解的过程中往往采用放大、缩小等技巧，但不能把含有n的因子移到不等式
加入一些限制条件，限制条件必须和所求的N—致，最后结合在一起考虑.
2.利用极限的运算性质求数列极限
定理：
若limXn和lim%存在,
nn
lim
n
Xn
Ynlim
n
Xnlim
n
lim
n
XnYn
limx
n
limYn；
n
Xc
limxn
lim
n
n
（limV
n
Yn
limYn
n
n
1，
lim
Yn2，
则求lim
则a
b
c
%；
例3若limxn
n
XnYn
n0）.
解：
根据数列极限的运算性质有
limXnYn[imXnYn
3.利用两边夹定理求数列极限
（2）limynlimZnAn1,2,L
nn
则limxnA.
n
利用两边夹定理结合不等式推导求数列极限，是一种常用的方法，这里我
们将通过以下例题来加深对这一方法的体会，以期更熟练更灵活的运用它。
a1a2Lanan1L，b1b2Lbnbn1
L.（an,bn的字号
注：
两边夹定理多适用于所考虑的数列比较容易适度放大或缩小，而且放大
和缩小的数列是容易求得相同的极限。
基本思想是把要求解得极限转化为求放
的极限。
4.利用上下极限求数列极限
大小不一致）
且a1,bn有界，于是limanA,limbnB存在且AB.我们称A，B分别为
nn
xn的上下极限.记为limAliman,limxnBlimbn.
nnxn
我们知道，一个有界数列，未必存在极限，但它一定有上下极限。
我们还
知道，有界数列极限存在的充要条件是其上下极限相等。
据此，我们利用上下极限，必要时结合N语言，就可以处理一些数列的极限问题。
兀1
□lkN,N1丄.
Xk
对任何
nN,将kN,N1,L,n1时的各式相乘，并开n次方,
对上式右（左）边的不等式分别取上（下）极限,
艸嘛阿飯i
故limnXnl.
n
5.应用单调有界原理求数列极限
（公理）2在实数系中，有界的单调数列必有极限。
单调有界原理是证明单调数列收敛的基本方法之一。
它与极限的四则运算法则相结合，有时还可以求出某些单调有界数列的极限。
（此式子因为
例6.设a00定义an11sin（an1）,n0,1,2L
ani1sin（an1）,n1,2.,）试求lima
n
证明：
令bnan1,n0,1,2l，则bnsinbn,n0,1,2L（应为bn1sinbn）
利用归纳法可证bn0.
注意到当x0时，恒有xsinx.
这说明bn为单调增加且有界的数列，故极限limbn存在。
n
记limbnl,再由正玄函数的连续性，有bnsinbn,n0,1,2L
b
取极限得Isinl.（应为Isinl）由此可知必有I0.
即limbn0,.从而limanl.（应为liman1）
nnn
注:
利用单调准则证明极限存在，主要针对递推数列，必须验证数列两个方面
的性质：
单调性和有界性。
解题的难点在于判断单调性，一般通过数学归纳法、减法、除法比较前后项。
6.利用递推关系求数列极限
在某些领域的极限问题中，如能求出数列中各项间的递推关系，往往可以比较地证明极限存在，并计算出极限。
例7.设已给两数a及b，Xoa,X1b，Xn由递推公式Xn
来决定，求limXn.
n
对yn的前n项求和，得
7.利用柯西收敛准则证明数列极限
（柯西收敛准则）1点列Xn存在极限的充要条件是对于任意给定的
存在N0,当m,nN时，满足|xm対.用书写符号简记为
8.利用有界变差数列收敛定理求证数列极限
（有界变差数列收敛定理）3单调有界数列必定收敛
则称Xn为有界变差数列，试证：
有界变差数列一定收敛
由已知知yn有界，故yn收敛。
从而0,N，
使得当nmN时，有ynym
由柯西收敛准则，知数列Xn收敛
注：
按极限定义证明一个数列收敛时，必须先知道它的极限是什么。
有界变差
数列收敛定理的重要性在于，它使我们可以从数列本身出发去研究其敛散性，
进而在判断出数列收敛时，利用极限运算去求出相应的去求极限。
9.
利用（海涅）归结原则求数列极限
例10.计算lim
n
解：
一方面,
性质，有时我们可以借助函数的这些优良性质将数列极限转化为函数极限，从而使问题得到简化和解决。
10.利用施笃兹（stolz）定理求数列极限
Stolz定理与L'Hosital法则是数学分析处理'-''型''-0''型极限的两个重要工0
具。
它们分别适用于变量和连续变量的情形。
这里通过以下例子说明Stolz定理
5
stolz定理1
的应用。
（应为一）型：
若yn是严格递增的正无穷大数列，它与
stolz定理20型：
若yn是严格递减的趋向于零的数列，n时人。
且
limXn1Xnl，则有lim鱼l.其中丨为有限数，或，或
nYn1YnnYn
1p2
例11.求极限lim1__-
Stolz定理有很大的优越性.它可以说是求数列极限的洛必达（LHospita）法则。
11.巧用无穷小数列求数列极限
引理8:
数列Xn收敛于a的充要条件是：
数列Xna为无穷小数列.
n是一无穷小数列.
列.
n
数列.
解：
由limXna，作“变量”代换，令Xnan，其中n是一无穷小数列.n
na
alim
n
=lim
n
注：
利用无穷小数列求数列极限通常在高等数学和数学分析教材中介绍甚少，但却是一种很实用有效的方法•用这种方法求某类数列的极限是极为方便的。
12.利用压缩映射原理求数列极限
定义1:
设fx在a,b上有定义，方程fxx在a,b上的解称为fx在a,b
上的不动点。
定义2：
若存在一个常数k，且0k1，使得x,ya,b有
fxfykxy，则称fx是a,b上的一个压缩映射。
压缩映射原理：
设称fx是a,b上的一个压缩映射且xoa,b,Xn+1f人
（应为Xn!
f（Xn），所有数学符号应用公式编辑器编辑。
）对门N，有
xna,b，贝Ufx在a,b上存在唯一的不动点c，且limxnc，n1,2,
n
例13.证明数列xn,a>aa（n个根式‘a〉1,n=1,2,）极限存在，并求
4
limxn.
证及解：
易知xnJaxn1，
考察函数fxax，x0,且在0,上,
由压缩映射原理，数列人收敛且极限为方程xfx的解.
解得limx.—4a
n2
注：
压缩映射原理在实数分析中有着十分广泛的应用，如用它可十分简单的
证明稳函数存在定理、微分方程解的存在性定理，特别的在求一些数列极限中有着十分重要的作用，往往可以使数列极限问题得到简便快速的解决
13.利用微分中值定理求极限
拉格朗日中值定理是微分学重要的基本定理，它利用函数的局部性质来研
究函数的整体性质，其应用十分广泛数列极限中的应用。
.下面我们来看一下拉格朗日中值定理在求
例14.求lim
n
arctan?
n
arctan—n
解：
设fx
arctanx，
应用拉格朗日中值定理，得
故当n
时,
上式应为
可知原式
lim2a
n12n（n1）
lim
n
14.
利用一些熟知的公式求极限
（D）若liman
n
a
an1d,则limnd
nn
根据上述公式，我们可以求一些复杂的极限
limane，
n
例16.求lim1———
n
注：
由上可看出，利用一些已知结论求极限，可达到事半功倍的功效。
极限的思想是近代数学的一种重要思想，其思想方法贯穿于微积分学的始终，可以说微积分学的几乎所有概念都离不开极限。
本文在有关极限概念定理及性质的基础之上，通过详实的例题对于有关极限求解问题予以归纳总结。
对数列极限求法的讨论我们可以发现，在计算极限时，其方法是多种多样的，技巧性很强，本文共总结了求数列极限的十四种方法，当然求极限的方法并不只
这些，在此就不探究了°
仔细检查文字，标点符号，式子计算，还有添加参考文献。
按格式写。
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