经典奥数时钟问题.docx

经典奥数时钟问题.docx

《经典奥数时钟问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《经典奥数时钟问题.docx（31页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

经典奥数时钟问题

时钟问题解法与算法公式

时钟问题的关键点：

　　时针每小时走30度

　　分针每分钟走6度

　　分针走一分钟（转6度）时，时针走0．5度，分针与时针的速度差为5．5度。

　　请看例题：

　　【例题1】从12时到13时，钟的时针与分针可成直角的机会有：

　　A．1次B．2次C．3次D．4次

　　【解析】

　　时针与分针成直角，即时针与分针的角度差为90度或者为270度，理论上讲应为２次，还要验证：

　　根据角度差/速度差=分钟数，可得90/5．5=16又4/11＜60，表示经过16又4/11分钟，时针与分针第一次垂直；同理，270/5．5=49又1/11＜60，表示经过49又1/11分钟，时针与分针第二次垂直。

经验证，选B可以。

　　【例题2】在某时刻，某钟表时针在10点到11点之间，此时刻再过6分钟后的分针和此时刻3分钟前的时针正好方向相反且在一条直线上，则此时刻为

　　A．10点15分

　　B．10点19分

　　C．10点20分

　　D．10点25分

　　【解法1】

　　时针10—11点之间的刻度应和分针20—25分钟的刻度相对，所以要想时针与分针成一条直线，则分针必在这一范围，而选项中加上6分钟后在这一范围的只有10点15分，所以答案为A。

　　【解法2】常规方法

　　设此时刻为X分钟。

则6分钟后分针转的角度为6（X+6）度，则此时刻3分钟前的时针转的角度为0．5（Ｘ＋3）度，以0点为起始来算此时时针的角度为0．5（Ｘ—3）+10×30度。

所谓“时针与分针成一条直线”即0．5（Ｘ—3）+10×30—6（Ｘ+6）=180度，解得Ｘ=15分钟。

著名数学难题：

时钟的时针和分针

由时钟的时针与分针的特殊关系，产生了许多有趣的数学问题，下面介绍几例，并研究它们的解法。

例1在钟表正常走动的时候，有多少个时针和分针重合的位置？

它们分别表示什么时刻？

解：

钟表上把一个圆分成了60等分，假如时针从12点开始走过了x个刻度，那么分针就要走过12x个刻度，即分针走了12x分钟。

两针在12点重合后，当分针比时针多走60个刻度时，出现第一次分针和时针重合；当分针又比时针多走60个刻度时，出现第二次分针和时针重合；……直至回到12点两针又重合后，又开始重复出现以上情况。

用数学式子来表示，即为：

12x－x=60m，其中m=1，2，…．

度为1小时，对分针来说1个刻度就是1分钟。

所以，12点以后出现第

出现第四、五、六、七、八、九、十次重合的时间不难算出，它们

如果用m=11代入，解得x=60，出现第十一次重合的时间是12点，这样就回到了开始的时刻，可见，以上共有11次出现两针重合的时间。

例2已知：

挂钟比标准时间每小时慢2分钟；台钟比挂钟每小时快2分钟，闹钟比台钟每小时慢2分钟，手表比闹钟每小时要快2分钟。

试问：

手表走时是否标准，若不标准时，判断是快还是慢，快多少或慢多少？

为什么？

解：

（1）标准时间走60分钟时，挂钟时间走58分。

（2）因为台钟比挂钟每小时快2分钟，所以挂钟走60分钟时，台钟走62分钟。

设当标准时间走60分时，即挂钟走58分，台钟走x1分钟，则

（3）因为闹钟比台钟每小时慢2分钟，所以台钟走60分钟时，闹钟走58分钟。

设当标准时间走60分，台钟走x1分时，闹钟走x2分，则

（4）因为手表比闹钟每小时快2分钟，所以闹钟走60分钟时，手表走62分钟。

设当标准时间走60分时，闹钟走x2分，手表走x3分，则

答：

手表走时不准，走慢了，每小时慢分，即大约慢8秒。

例3一个指在九点钟的时钟，分针追上时针需多少分钟？

解：

设在钟盘面上时针转过x格后，它与分针重叠，这时分针转动了（45＋x）分，由于分针转动的速度是时针的12倍，所以有方程

例4时钟的分针和时针在24小时中，形成过多少次直角？

解：

因为时针1小时转动30°，所以1分钟转动°，分针每分钟转动6°．

　　设x分钟后，时针与分针成直角，则有方程

x（6°－°）=90°．

针24小时会有多少次差90°的倍数呢？

设有n次，则

由此解得n=88．

在这88次中，时针与分针所成角度分别为90°，180°，270°，360°，其中180°，360°不合要求，因此总共有44次直角。

（注：

我们用两针重合的方法也可算出同样的结果。

）

例5时钟的分针和时针现在恰好重合，那么经过多少分钟后，可以成为一条直线？

直线上。

也可这样解：

设经x分钟后两针在一直线上，这时分针转动了x分的刻度，而时

例6在早上不到6点时，某人看了一下手表，发现分针与时针很接近，还差3分钟就重合了，问此时是什么时间？

解：

设此时是5时x分，在手表面上，因为分针1分钟转动6°，时针1小时转动30°，则1分钟转动°，时针从0点到5点x分转动了（150＋度，分针从0分到x分转动了6x度。

因为此时分针还差3分钟与时针重合，即还差3×6°=18°，所以有方程150＋－6x=18．

　　解之，得x=24．

所以，此时为5时24分。

下面是关于时钟的一个更精彩的算题。

我们知道爱因斯坦是一位伟大的物理学家，他是相对论的奠基人，他的科学成就使人类跨越了一个时空。

有一次爱因斯坦卧病在床，他的一位朋友来探望他，为解除他的烦闷，他的朋友出了一个问题让他思考。

设想钟表的位置在12点整，这时把长短针对调一下，它们的位置还是合理的。

但是，在6点整时，如果把长短针对调，就成了一个笑话，因为这时短针正指在12，而长针正指在6，这种情况不可能发生。

那么，钟表的长短针在什么位置，它们对调后能使得在新的位置上所指的仍是实际上可能的时间？

爱因斯坦悠然地对他朋友说，这个问题对病床上的人确是一个很好的消遣，只可惜它消磨不了我太多时间。

说着他坐起身来，在纸上画了一个草图，然后写出了问题的解答，所花的时间比你们听这个故事的时间还短。

问题是怎样解决的呢？

第一类情况，当时针与分针重合时，它们可以对调。

这种情况在例1中已经解决，总共在钟面上有11个位置。

除此以外还有没有其他可能呢？

设时钟走了x个刻度，分针走了y个刻度，仿照例1有方程

当两针对调后，就变成时针走了y个刻度，分针走了x个刻度。

如果设分针已在此之前走了n圈，又可得方程

把m，n看成已知数解这个方程组，得

由0≤x，y≤60，m，n为正整数，可知m，n只能取从0到11，总共有144组解。

其中当m=0，n=0与m=11，n=11时，两针都是在12这个位置,当m=n时，就是第一类情况中的11个重合的位置。

当m≠n时，可求出其余的两针不重合时的另外的132个位置。

对一个卧病之人，爱因斯坦的思维仍这样敏捷，不禁使后人为这位巨匠的天赋而惊叹。

行测试题精选解答：

时钟问题常见种类与解法

1、二点到三点钟之间，分针与时针什么时候重合？

分析：

两点钟的时候，分针指向12，时针指向2，分针在时针后5×2＝10（小格）。

而分针每分钟可追及1－＝（小格），要两针重合，分针必须追上10小格，这样所需要时间应为（10÷）分钟。

解：

（5×2）÷（1－）＝10÷＝10（分）

答：

2点10分时，两针重合。

2、在4点钟至5点钟之间，分针和时针在什么时候在同一条直线上？

分析：

分针与时针成一条直线时，两针之间相差30小格。

在4点钟的时候，分针指向12，时针指向4，分针在时针后5×4＝20（小格）。

因分针比时针速度快，要成直线，分针必须追上时针（20小格）并超过时针（30小格）后，才能成一条直线。

因此，需追及（20＋30）小格。

解：

（5×4＋30）÷（1－）＝50÷＝54（分）

答：

在4点54分时，分针和时针在同一条直线上。

3、在一点到二点之间，分针什么时候与时针构成直角？

分析：

分针与时针成直角，相差15小格（或在前或在后），一点时分针在时针后5×1＝5小格，在成直角，分针必须追及并超过时针，才能构成直角。

所以分针需追及（5×1＋15）小格或追及（5×1＋45）小格。

解：

（5×1＋15）÷（1－）＝20÷＝21（分）

或（5×1＋45）÷（1－）＝50÷＝54（分）

答：

在1点21分和1点54分时，两针都成直角。

4、星期天，小明在室内阳光下看书，看书之前，小明看了一眼挂钟，发现时针与分针正好处在一条直线上。

看完书之后，巧得很，时针与分针又恰好在同一条直线上。

看书期间，小明听到挂钟一共敲过三下。

（每整点，是几点敲几下；半点敲一下）请你算一算小明从几点开始看书？

看到几点结束的？

分析：

连半点敲声在内，一共敲了三下，说明小明看书的时间是在中午12点以后。

12点以后时针与分针：

第一次成一条直线时刻是：

（0＋30）÷（1－）＝30÷＝32（分）

即12点32分。

第二次成一条直线时刻是：

（5×1＋30）÷（1－）＝35÷＝38（分）

即1点38分。

第三次成一条直线的时刻是：

（5×2＋30）÷（1－）＝40÷＝43（分）

即2点43分。

如果从12点32分开始，到1点38分，只敲2下，到2点43分，就共敲5下（不合题意）

如果从1点38分开始到2点43分，共敲3下。

因此，小明应从1点38分开始看书，到2点43分时结束的。

5、一只挂钟，每小时慢5分钟，标准时间中午12点时，把钟与标准时间对准。

现在是标准时间下午5点30分，问，再经过多长时间，该挂钟才能走到5点30分？

分析：

1、这钟每小时慢5分钟，也就是当标准钟走60分时，这挂钟只能走60－5＝55（分），即速度是标准钟速度的＝

。

2、因每小时慢5分，标准钟从中午12点走到下午5点30分时，此挂钟共慢了5×（17－12）＝27（分），也就是此挂钟要差27分才到5点30分。

3、此挂钟走到5点30分，按标准时间还要走27分，因它的速度是标准时钟速度的，实际走完这27分所要时间应是27÷。

解：

5×（17－12）＝27（分）27÷＝30（分）

答：

再经过30分钟，该挂钟才能走到5点30分。

　　解题关键：

时钟问题属于行程问题中的追及问题。

钟面上按“时”分为12大格，按“分”分为60小格。

每小时，时针走1大格合5小格，分针走12大格合60小格，时针的转速是分针的，两针速度差是分针的速度的，分针每小时可追及。

　　例1：

从5时整开始，经过多长时间后，时针与分针第一次成了直线?

　　5时整时，分针指向正上方，时针指向右下方，此时两者之间间隔为25个小格（表面上每个数字之间为5个小格），如果要成直线，则分针要超过时针30个小格，所以在此时间段内，分针一共比时针多走了55个小格。

由每分钟分针比时针都走11/12个小格可知，此段时间为55/（11/12）=60分钟，也就是经过60分钟时针与分针第一次成了直线。

　　例2：

从6时整开始，经过多少分钟后，时针与分针第一次重合?

　　6时整时，分针指向正上方，时针指向正下方，两者之间间隔为30个小格。

如果要第一次重合，也就是两者之间间隔变为0，那么分针要比时针多走30个小格，此段时间为30/（11/12）=360/11分钟。

　　例3：

在8时多少分，时针与分针垂直?

　　8时整时，分针指向正上方，时针指向左下方，两者之间间隔为40个小格。

如果要两者垂直，有两种情况，一个是第一次垂直，此时两者间隔为15个小格（分针落后时针），也就是分针比时针多走了25个小格，此段时间为25/（11/12）=300/11分钟;另一次是第二次垂直，此时两者间隔仍为15个小格（但分针超过时针），也就是分针比时针多走了55个小格，此段时间为55/（11/12）=60分钟，时间变为9时，超过了题意的8时多少分要求，所以在8时300/11分时，分针与时针垂直。

由上面三个例题可以看出，求解此类问题（经过多少时间，分针与时间成多少夹角）时，采用上述方法是非常方便、简单、快捷的，解题过程形象易懂，结果正确率高，是一种非常好的方法。

解决此类问题的一个关键点就是抓住分针比时针多走了多少个小格，而不论两者分别走了多少个小格。

下面再通过几个例题来介绍这种方法的用法和要点。

时钟是我们日常生活中不可缺少的计时工具。

生活中也时常会遇到与时钟相关的问题。

　　关于时钟的问题有：

求某一时刻时针与分针的夹角，两针重合，两针垂直，两针成直线等类型。

要解答时钟问题就要了解、熟悉时针和分针的运动规律和特点。

　　一个钟表一圈有60个小格，这里计算就以小格为单位。

1分钟时间，分针走1个小格，时针指走了1/60*5=1/12个小格，所以每分钟分针比时针多走11/12个小格，以此作为后续计算的基础，对于解决类似经过多长时间时针、分针垂直或成直线的问题非常方便、快捷。

　　例4：

从9点整开始，经过多少分，在几点钟，时针与分针第一次成直线?

　　9时整时，分针指向正上方，时针指向正右方，两者之间间隔为45个小格。

如果要第一次成直线，也就是两者之间间隔变为30个小格，那么分针要比时针多走15个小格，此段时间为15/（11/12）=180/11分钟。

　　例5：

一个指在九点钟的时钟，分针追上时针需要多少分钟?

　　9时整时，分针指向正上方，时针指向正右方，两者之间间隔为45个小格。

如果要分针追上时针，也就是两者之间间隔变为0个小格，那么分针要比时针多走45个小格，此段时间为45/（11/12）=540/11分钟。

　　例6：

时钟的分针和时针现在恰好重合，那么经过多少分钟可以成一条直线?

　　时针和分针重合，也就是两者间隔为0个小格，如果要成一条直线，也就是两者间隔变为30个小格，那么分针要比时针多走30个小格，此段时间为30/（11/12）=360/11分钟。

【针对性练习】

　　1.十点与11点之间，两针在什么时刻成直线（不包括重合情况）？

（）

　　A.10时21分B.10时22分时21时21分

　　2现在是下午3点，从现在起时针和分针什么时候第一次重合？

　　3。

分针和时针每隔多少时间重合一次？

一个钟面上分针和时针一昼夜重合几次？

　　4。

钟面上5点零8分时，时针与分针的夹角是多少度？

　　5。

在4点与5点之间，时针与分针什么时候成直角？

　　点过多少分时，时针和分针离“9”的距离相等，并且在“9”的两边？

　　【参考答案详解】

　　1.答案A满足.分针：

6度/分时针度/分，十点时，两针夹角为60度，设需要时间为x分，则如图有=180-6x，x=分，即10时分两针成直线。

答案A满足。

　　2.现在是下午3点，从现在起时针和分针什么时候第一次重合？

　　解析：

分针：

6度/分时针度/分

　　3点整，时针在分针前面15格，所以第一次重合时，分针应该比时针多走15格，即90度，用追及问题的处理方法解：

90/度/分=16分钟，所以下午3点16分钟，时针和分针第一次重合。

　　3.分针和时针每隔多少时间重合一次？

一个钟面上分针和时针一昼夜重合几次？

　　解析：

分针：

6度/分时针度/分

　　当两针第一次重合到第二次重合，分针比时针多转360度。

所以两针再次重合需要的时间为：

360/=720/11分，一昼夜有：

24×60=1440分，所以两针在一昼夜重合的次数：

1440分/（720/11）分/次=22次

　　4.钟面上5点零8分时，时针与分针的夹角是多少度？

　　解析：

分针：

6度/分时针度/分

　　5点零8分，时针成角：

5×30+8×=154度，分针成角：

8×6=48度，所以夹角是154-48=106度。

　　5在4点与5点之间，时针与分针什么时候成直角？

　　解析：

整4点时，分针指向12，时针指向4。

此时，时针领先分针20格。

时，分两针成直角，必须使时针领先分针15格，或分针领先时针15格。

因此，在相同时间内，分针将比时针多走（20-15）格或（20+15）格。

（20-15）/（1-1/12）=60/11,即4点5分，（20+15）/（1-1/12）=38分，即4点38分。

　　6.9点过多少分时，时针和分针离“9”的距离相等，并且在“9”的两边？

　　解析：

设经过X分，×X=270-6×X,解得X=540/13分，所以答案是9点过41分。

行测数学运算：

时钟问题作者:

公务员考试网时间:

2010-01-08|公务员考试论坛|来源:

中国公务员考试信息网

行测数学运算：

时钟问题

基本知识点：

1.设时钟一圈分成了12格，则时针每小时转1格，分针每小时转12格。

2.时针一昼夜（24小时）转2圈，分针一昼夜转24圈。

3.钟面上每两格之间为30°，时针与分针成某个角度一般都有对称的两种情况。

4.时针与分针一昼夜重合22次，垂直44次，成180°也是22次。

【例1】清晨5点时，时钟的时针和分针的夹角是多少度？

（）

A.30度B.60度C.90度D.150度

［答案］D

［解析］清晨5点时，时针和分针相差5格，则5×30°＝150°。

【例2】中午12点整时，钟面上时针与分针完全重合。

那么到当晚12点时，时针与分针还要重合了多少次？

（）

A.10B.11C.12D.13

［答案］B

［解一］从中午12点到晚上12点，时针走了1圈，分针走了12圈，比时针多走了11圈。

因此，时针与分针重合了11次。

选择B。

［解二］根据基本知识点：

由于时针和分针24小时内重合22次，所以12小时内重合11次。

【例3】小李开了一个多小时会议，会议开始时看了手表，会议结束时又看了手表，发现时针和分针恰好互换了位置。

问这次会议大约开了1小时多少分？

（）#中国公务员考试信息网

A.51B.47C.45D.43

［答案］A

［解析］根据题意，会议开了1个多小时，那么分针应该转了1圈多不到2圈，时针转了1格多不到2格。

由于“时针和分针恰好互换了位置”，所以时针和分针所转角度之和应该是整整两圈。

假设这个过程经过了T小时，时针12小时转一圈，那么T小时应该转了T/12圈；分针1小时转一圈，T小时应该转了T圈，那么T+T/12＝2，得到T＝24/13小时，约合1小时51分。

【例4】某时刻钟表时针在10点到11点之间，此时刻再过6分钟后分针和此时刻3分钟前的时针正好方向相反且在一条直线上，则此时刻为几点几分？

（）

A.10点15分B.10点19分

C.10点20分D.10点25分

［答案］A

［解析］代入B、C、D，很明显，这三个时刻的3分钟之前都还是10点多，因此时针在钟面上的“10”与“11”之间，而这三个时刻6分钟之后已经至少是25分了，即分针已经在钟面上的“5”上或者之后了。

我们知道，钟面上的“10”与“11”之间反过来对应的是“4”与“5”之间，所以这三个选项对应的时间与条件不符，所以选择A。

核心提示

钟面问题很多本质上是追及问题，可选用公式T＝T0+111T0，其中：

T为追及时间，即分针和时针要“达到条件要求”的真实时间。

T0为静态时间，即假设时针不动，分针和时针“达到条件要求”的时间。

例5从钟表的12点整开始，时针与分针的第一次垂直与再一次重叠中间相隔的时间是（）。

A.43分钟B.45分钟C.49分钟D.61分钟

［答案］C

［解析］从12点整往后，时针与分针第一次垂直到再一次重叠的静态时间T0＝45（分钟），根据公式，其间隔时间T＝T0+T0/11≈49（分钟）。

【例6】（国家2006一类-45、国家2006二类-45）从12时到13时，钟的时针与分针可成直角的机会有多少次?

（）

A.1次B.2次C.3次D.4次

［答案］B

［解一］从12时到13时，时针旋转了30°；分针旋转了360°。

分针与时针所成的角度从0°变化到330°（其中包括90°和270°），因此有2次成直角的机会。

选择B。

［解二］根据公式：

从12点开始算，时针与分针成直角的“静态时间”为15分钟或45分钟，追及时间为15+1511=16411、45+4511=49111分钟，所以垂直两次。

【例7】（广东2008年）时针与分针在5点多少分第一次垂直？

（）

A.5点10分B.5点101011分C.5点11分D.5点12分

［答案］B

［解析］根据公式：

时针与分针5点后第一次成直角的“静态时间”为10分钟，追及时间为10+1011=101011分钟，所以选择B。

强华公务员

【例8】时针与分针两次垂直的间隔有多长时间？

（）

A.32B.32811分C.33分D.34分

［答案］B

［解一］根据公式：

时针与分针两次垂直间隔的“静态时间”为30分钟，代入公式算得追及时间为30+3011=32811分钟，所以选择B。

［解二］根据基本知识点：

时针与分针24小时内垂直44次，所以垂直间隔为：

24×6044=32811分钟。

核心提示

当时钟问题涉及“坏表”时，其本质是“比例问题”。

解题的关键是抓住“标准比”，按比例计算。

【例9】（国家2005二类-46）有一只钟，每小时慢3分钟，早晨4点30分的时候，把钟对准了标准时间，则钟走到当天上午10点50分的时候，标准时间是多少?

（）

A.11点整B.11点5分C.11点10分D.11点15分

［答案］C

［解析］标准比：

标准时间走60分钟时，慢钟走57分钟。

此时，慢钟从4点30分走到10点50分，一共走了6小时20分，合380分钟，假设标准时间走了x分钟，那么：

x∶380=60∶57，可得：

x＝400（分钟）。

说明标准时间比慢钟快400-380＝20分钟，慢钟走到了10点50分，实际上应该是11点10分了。

【例10】（国家2005一类-46）一个快钟每小时比标准时间快1分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢3分钟。

如将两个钟同时调到标准时间，结果在24小时内，快钟显示10点整时，慢钟恰好显示9点整。

则此时的标准时间是多少？

（）

A.9点15分B.9点30分C.9点35分D.9点45分

［答案］D

［解析］快钟、慢钟与标准时间的差的标准比为1∶3。

假设现在是9点x分（快钟显示10点整，慢钟显示9点整），那么（60-x）∶（x-0）＝1∶3，解得：

x＝45。

所以标准时间是9点45分。

时钟是我们日常生活中不可缺少的计时工具,生活中也时常会遇到与时钟相关的问题。

关于时钟的问题有：

求时间差：

例：

从上午五点十五分到下午两点四十五分之间，共有多少时间？

小时小时30分小时30分小时50分

解析：

这种属于最简单的时钟问题。

答案是9.30C

求慢（快）表在几小时后显示什么时间？

例：

有一只钟，每小时慢3分钟，早晨4点30分的时候，把钟对准了标准时间，则钟走到当天上午10点50分的时候，标准时间是（）。

A．11点整B．11点5分c．1l点1O分D．11点15分

解析：

慢表显示经过的时间是：

10：

50-4：

30=6小时20分钟=380分钟，实际经过的时间应该是：

380÷[（60-3）/60]=400分钟=6小时40分钟，答案为C：

4：

30+6：

40=11：

10。

例：

一个快钟每小时比标准时间快1分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢3分钟。

如将两个钟同时调到标准时间，结果在24小时内，快钟显示10点整时，慢钟恰好显示9点整。

则此时的标准时间是（）。

A．9点15分B9点30分c．9点35分D9点45分

解析：

这是2个不准确的时钟问题，也是这种问题的一个延伸。

我们可以看到，在一个小时内，快钟与慢钟有4分钟的差距，而4分钟里面，1分钟时快走造成的，3分钟时慢走造成的。

所以当它们（快慢钟）的差距有60分钟时，那么一样，1/4的时间=15分钟时快走造成的，3/4的时间（45分钟）时慢走造成的。

所以标准时间为9点45